কঠোর চেহারার অ্যালগরিদমিক সমস্যাগুলি উপপাদাগুলি দ্বারা সহজ করে তুলেছে

Question

আমি সুন্দর উদাহরণগুলির সন্ধান করছি, যেখানে নিম্নলিখিত ঘটনাটি ঘটে: (1) একটি অ্যালগোরিদমিক সমস্যাটি কঠিন দেখায়, আপনি যদি এটি সংজ্ঞা থেকে কাজ করে সমাধান করতে চান এবং কেবলমাত্র মানক ফলাফল ব্যবহার করেন। (২) অন্যদিকে, এটি সহজ হয়ে ওঠে, যদি আপনি কিছু (এতটা স্ট্যান্ডার্ড না) তত্ত্বগুলি জানেন।

এর লক্ষ্য শিক্ষার্থীদের জন্য এটি ব্যাখ্যা করা যে আরও তত্ত্বগুলি শেখা দরকারী হতে পারে, এমনকি যারা তত্ত্বের ক্ষেত্রের বাইরেও নেই (যেমন সফ্টওয়্যার ইঞ্জিনিয়ার, কম্পিউটার প্রকৌশলী ইত্যাদি)। এখানে একটি উদাহরণ:

প্রশ্ন: প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা $n, k, l, d$ আছে কি কোনও ভারটেক্স গ্রাফ উপস্থিত রয়েছে (এবং যদি থাকে তবে এটি একটি সন্ধান করুন) যেমন এর ভারটিেক্স সংযোগটি , এর প্রান্তের যোগাযোগটি , এবং এর সর্বনিম্ন ডিগ্রি ?$n$$k$$l$$d$

নোট করুন যে আমাদের প্রয়োজন যে প্যারামিটারগুলি প্রদত্ত সংখ্যার সাথে ঠিক সমান, সেগুলি কেবল সীমাবদ্ধ নয়। আপনি যদি এটিকে স্ক্র্যাচ থেকে সমাধান করতে চান তবে এটি আরও শক্ত হয়ে উঠতে পারে। অন্যদিকে, আপনি যদি নিম্নলিখিত উপপাদ্যের সাথে পরিচিত হন ( বি। বল্লোবাসের এক্সটরমাল গ্রাফ থিওরিটি দেখুন ), পরিস্থিতিটি একেবারেই আলাদা হয়ে যায়।

উপপাদ্য: যাক পূর্ণসংখ্যার হও। নীচের শর্তগুলির মধ্যে একটি সন্তুষ্ট হলে এবং কেবলমাত্র ভার্টেক্স সংযোগের , প্রান্ত সংযোগ এবং নূন্যতম ডিগ্রি সহ একটি ভারটেক্স গ্রাফ উপস্থিত রয়েছে :$n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

• $0\leq k\leq l \leq d <\lfloor n/2 \rfloor$ ,
• $1\leq 2d+2-n\leq k\leq l = d< n-1$
• $k=l=d=n-1.$

ইনপুট পরামিতিগুলির মধ্যে সাধারণ বৈষম্য হওয়ায় এই শর্তগুলি চেক করা খুব সহজ, সুতরাং অস্তিত্বের প্রশ্নটি অনায়াসেই উত্তর দেওয়া যায়। তদ্ব্যতীত, উপপাদ্যটির প্রমাণটি গঠনমূলক, পাশাপাশি নির্মাণ ইস্যু সমাধান করে। অন্যদিকে, এই ফলাফলটি পর্যাপ্ত পরিমাণে দেখা যাচ্ছে না, যাতে আপনি এটি সম্পর্কে প্রত্যেককে জানার আশা করতে পারেন।

আপনি কি এই আত্মায় আরও উদাহরণ প্রদান করতে পারেন, যেখানে একটি (এতটা স্ট্যান্ডার্ড নয়) তাত্ত্বিকটি জানা কোনও কার্যকে সহজতর করে?

Comments

আমি নিশ্চিত না যে আমি আপনার প্রশ্নগুলি পুরোপুরি বুঝতে পেরেছি। আপনি যে উদাহরণটি দিয়েছেন তা হ'ল একটি তুচ্ছ সমস্যা, যার জন্য বল্লোবাস একটি অ্যালগোরিদম দিয়েছে (যা একটি বৈশিষ্ট্য বোঝায়)। সুতরাং আপনার উদাহরণের সাথে আমার ধারণাটি হ'ল যে কোনও অ-তুচ্ছ আলগোরিদিম একটি উত্তর হবে ...

— ব্রুনো

আদিমতা এবং একেএস উপপাদ্য।

— লামিন

@ ব্রুনো: আমার অর্থ হ'ল আপনি যদি একটি উপপাদ্য জানেন যা অজানা নয়, তবে অ্যালগোরিদমিক কাজটি আরও সহজ হয়ে যায়, তাই সম্ভবত এটি কখনও শুনেনি। উপস্থাপিত উদাহরণটি এই অর্থে নিখুঁত নয় যে এখানে উপপাদ্যটি কেবল সহায়তা করে না, এটি আসলে সমস্যাটি সমাধান করে। আমি আসলে যা খুঁজছি তা হ'ল যখন কোনও উপপাদ্য সাহায্য করে, কিছু দরকারী শর্টকাট সরবরাহ করে তবে নিজের মধ্যে সমস্যার সম্পূর্ণ সমাধান করে না।

— আন্দ্রেস ফারাগো

সম্প্রদায় উইকি?

— জোশুয়া গ্রাচো

রবার্টসন – সিউমোর উপপাদ্য, এমন অনুমানও করেছেন যেগুলি নির্বিচারে প্রাইমগুলি সন্ধান সহজ করে তোলে।

— কাভেঃ

Answer 1

তাদের সংখ্যাবৃদ্ধি সারণী দ্বারা প্রদত্ত সহজ গোষ্ঠীর আইসোমর্ফিিজম সিদ্ধান্ত । বহুবর্ষীয় সময়ে এটি করা যায় এই বিষয়টি সরাসরি থেকে অনুসরণ করে যে সমস্ত সীমাবদ্ধ সরল গোষ্ঠী সর্বাধিক 2 টি উপাদান দ্বারা উত্পাদিত হতে পারে এবং বর্তমানে এই সত্যের একমাত্র প্রমাণ প্রমাণিত সীমাবদ্ধ গ্রুপগুলির শ্রেণিবদ্ধকরণ (সম্ভবত বৃহত্তম উপপাদ্য) ব্যবহার করে - লেখক, কাগজপত্র এবং পৃষ্ঠাগুলির ক্ষেত্রে - কখনও প্রমাণিত)।

Comments

এটি একটি মহান উদাহরণ! বিটিডব্লিউ এই উত্তরের মন্তব্যে দাবি করেছে যে এক অর্থে এই উপপাদ্যটি শ্রেণিবিন্যাসের মতোই কঠোর: গণিতফ্রো। ডটকম

— সাশো নিকোলভ

Answer 2

যদি আমি আপনার প্রশ্নের সঠিকভাবে বুঝতে, একটি ক্যানোনিকাল উদাহরণ সিদ্ধান্ত হবে একটি গ্রাফ একটি তা অয়লার বর্তনী তৈরি আছে: চেক যে সমতূল্য জি সংযুক্ত করা হয় এবং প্রত্যেক প্রান্তবিন্দু এমনকি ডিগ্রী আছে।$G$$G$

Answer 3

আজ বিকেলে আমি স্ট্রিংোলজি পড়ছিলাম - "রিয়েল" স্ট্রিং তত্ত্ব ।

সমস্যা: যদি কিছু বর্ণমালার উপরে এবং y দুটি স্ট্রিং থাকে তবে কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার এম , এন যেমন x মি = y এন থাকে ।$x$$y$$m, n$$x^m = y^n$

উপপাদ্য: আছে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যেমন যে এক্স মি = Y এন যদি এবং কেবল যদি x এর Y = Y এক্স ।$m,n$$x^m = y^n$$xy = yx$

Answer 4

সমস্ত in বা প্রদত্ত বিরতিতে একটি প্রকৃত বহুবর্ষের (স্বতন্ত্র) আসল শিকড়গুলির সংখ্যা সন্ধান করা। স্টর্মের উপপাদ্যটি আপনাকে বলেছে যে বহু বহুবিধের একটি ক্রম যা সংখ্যার প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে ব্যবহার করে বাস্তব সহগের সাথে বহুবর্ষের আসল শিকড়গুলির সংখ্যা গণনা করা যেতে পারে।

তারপরে, আপনাকে যা করতে হবে তা হ'ল একটি ক্রম তৈরি করা (যা খুব কঠিন নয়, তবে কিছু প্রান্তের মামলা এবং অ-বিচ্ছেদযোগ্য বহুবর্ষের ক্ষেত্রে পরিচালনা করতে হবে), এবং বব আপনার মামা।

আশ্চর্যের বিষয় হল, এটি বেশ পুরানো (1829) হওয়া সত্ত্বেও খুব কম লোকই এই ফলাফল সম্পর্কে জানে। এটি অনেকগুলি কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেমে ব্যবহৃত হয়, তবে আমার বিশ্ববিদ্যালয়ের যে সমস্ত গণিতের অধ্যাপক আমি জিজ্ঞাসা করেছিলেন তারা স্টর্মের উপপাদ্যটি একেবারেই জানতেন না বা তারা কেবল এটি নামেই জানতেন এবং এটি বহুবর্ষের শিকড়ের সাথে সম্পর্কিত ছিল।

বেশিরভাগ লোকেরা যখন বেশিরভাগ লোককে বলে থাকেন যে সত্যিকারের শিকড়গুলি গণনা করার মতো কিছু ঠিক এটি সহজ এবং কোনও শিকড় সন্ধান করা আরও বেশি কঠিন তা বিবেচনা করে কোনও অনুমানের প্রয়োজন হয় না । (মনে রাখবেন যে ডিগ্রি ≥ 5 এর বহুবচনগুলির জন্য, শিকড়গুলির জন্য একটি "যথাযথ" সূত্রও বিদ্যমান নেই)

Answer 5

উপপাদ্য: প্রতিটি পরিকল্পনাকারী গ্রাফের সর্বাধিক 5 ডিগ্রি সহ একটি মেরু থাকে।

সমস্যা: প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য একটি উপস্থাপনা ডিজাইন করুন যেখানে আমরা ( ইউ , ভি ) ও ( 1 ) সময়ের মধ্যে একটি প্রান্ত কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি ।$O(n)$$(u, v)$$O(1)$

আমরা সর্বাধিক 5 ডিগ্রি সহ ভার্টেক্সটি সরাতে পারি, এবং এটি একটি কী হিসাবে এবং তার প্রতিবেশীদের মান হিসাবে একটি তালিকায় যুক্ত করতে পারি। বাকি গ্রাফটিও প্ল্যানার এবং সর্বোচ্চটি 5 ডিগ্রি সহ একটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে So সুতরাং ব্যবহৃত স্থানটি সর্বোচ্চ । আমরা যাচাই করতে পারেন U এর সন্নিহিত অবস্থা তালিকায় রয়েছে বনাম ; আমরা পরীক্ষা করতে পারবেন যদি বনাম এর সন্নিহিত অবস্থা তালিকায় রয়েছে তোমার দর্শন লগ করা । এটি সর্বাধিক 10 পদক্ষেপ নেয় ।$5n$$u$$v$$v$$u$$10$

Comments

আরও কিছুটা যত্নের সাহায্যে আপনি প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে সঞ্চিত তালিকার আকার 3 এবং সংলগ্নতা 6 পরীক্ষা করতে পদক্ষেপের সংখ্যা হ্রাস করতে পারেন দেখুন: নিম্ন আউট-ডিগ্রি এবং সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের সংযোগ সহ প্ল্যানার ওরিয়েন্টেশন। এম ক্রোবাক এবং ডি এপস্টিন। Theor। বন্দীরা। সী। 86 (2): 243–266, 1991. ics.uci.edu/~eppstein/pubs/Crrpp-TCS-91.pdf

— ডেভিড

Answer 6

আমি মনে করি এই বিভাগের পোস্টারচাইল্ড, কমপক্ষে যতক্ষণ পর্যন্ত অ্যাসিমেট্রি সম্পর্কিত সমস্যা রয়েছে, নিম্নলিখিত সমস্যাটি হ'ল:

প্ল্যানার গ্রাফ , জি 4-কলরয়যোগ্য?$G$$G$

চার রঙ উপপাদ্য থেকে অ্যালগরিদম সহজসাধ্য return true।

Answer 7

আসল বহুবচনগুলির বর্গক্ষেত্রের হিসাবে একটি আসল (বহুভিত্তিক) বহুভুজ প্রকাশ করা যায় কিনা সেমি-সুনির্দিষ্ট প্রোগ্রামিংয়ের হ্রাস দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। এসডিপি জানা দরকার এবং এসডিপি দক্ষতার সাথে সমাধান করা যেতে পারে।$p$

Answer 8

আরেকটি উদাহরণ: একটি অপরিবর্তিত গ্রাফ দেওয়া, এটির কি সর্বনিম্ন কাটা আছে যাতে সমস্ত প্রান্তগুলি পৃথক করা হয়? যদি তা হয় তবে একটি সন্ধান করুন।

প্রথম দর্শনে এটি কঠিন প্রদর্শিত হতে পারে। এটি সহজ হয়ে যায়, তবে, আপনি যদি এই ফলাফলটি জানেন যে কোনও পুনর্নির্দেশিত ভার্টেক্স গ্রাফের সর্বাধিক এন ( এন - 1 ) / 2 সর্বনিম্ন কাট থাকতে পারে এবং সেগুলি বহুবর্ষের মধ্যে তালিকাভুক্ত হতে পারে।$n$$n(n-1)/2$

এটি প্রায় সর্বনিম্ন কাটগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে, যা সর্বনিম্ন কাটের চেয়ে বড় তবে বেশিরভাগ ধ্রুবক উপাদান দ্বারা। তাদের সংখ্যা এখনও বহুবর্ষ দ্বারা আবদ্ধ।

(আমি কোনও রেফারেন্স সন্ধান করি নি, আমার স্মরণশক্তি হ'ল এই ফলাফলগুলি ডি কার্জারের কারণে))

Answer 9

সমস্যা: সীমাবদ্ধ শব্দের উপর একটি এমএসওর (সন্তানের দ্বিতীয়-ক্রমের যুক্তি) সূত্রের সতর্কতা।

উপপাদ্য: এমএসও সীমাবদ্ধ শব্দের চেয়ে সীমাবদ্ধ অটোমেটার সমতুল্য।

উপরেরগুলিকে অসীম শব্দ, সসীম গাছ, অসীম গাছগুলিতে তোলা যায়।

Answer 10

আরও কিছু জটিল উদাহরণ: নননেজিটিভ ম্যাট্রিক্স ফ্যাক্টরিয়েশন , যখন নননেজিটিভ র‌্যাঙ্ক স্থির থাকে।

বলুন আমি আপনাকে এই প্রতিশ্রুতি দিয়ে একটি ম্যাট্রিক্স দিচ্ছি যে সেখানে অ -নেগেটিভ ইউ ∈ এম এম × কে , ভি ∈ এম কে × n যেমন এ = ইউ ভি রয়েছে । সমস্যাটি হ'ল এ'র জন্য এই জাতীয় কারণ নির্ধারণ করা ।$A \in M_{m \times n}$$U \in M_{m \times k}$$V \in M_{k \times n}$$A = UV$$A$

প্রাথমিক রৈখিক বীজগণিত কয়েক লাইন আপনি মধ্যে বহুপদী অসাম্য একটি পদ্ধতি সমাধানে সমস্যা কমে যায় ভেরিয়েবল, যেখানে R ম্যাট্রিক্স আপনি ফ্যাক্টর করতে চান তার নন-নেগেটিভ র্যাঙ্ক হয়।$O(r^2)$$r$

রেনেগার এর অ্যালগরিদমকে হাতুড়ি হিসাবে ব্যবহার করে আপনি এটি সময়ে সমাধান করতে পারেন এবং তাই ইউ এবং ভি পুনরুদ্ধার করতে পারেন । এটি অনুকূলতা থেকে খুব বেশি দূরে নয়, যেহেতু সময় ( এম এন ) ও ( আর ) এনএমএফ সমাধান করা ETH- কঠিন ।$(mn)^{O(r^2)}$$U$$V$$(mn)^{o(r)}$

Answer 11

ডিসিশনাল ডিফি হেলম্যান

এতে বলা হয়েছে: প্রদত্ত যেখানে g একটি চক্র গ্রুপ G এর কিছু জেনারেটর রয়েছে তা g c = g a b কিনা তা যাচাই করুন$(g, g^a, g^b, g^c)$$g$$\mathbb{G}$$g^c = g^{ab}$

পৃথক পৃথক লগ সমস্যাটির কঠোরতার মানক অনুমানের অধীনে, এই সমস্যাটি শক্ত মনে হতে পারে।

তবে, বিলিনিয়ার মানচিত্রের সাহায্যে এই সমস্যাটি সহজ এবং ই ( জি , জি সি ) হিসাবে যাচাই করা যেতে পারে ? = ই ( জি এ , জি খ )

$$e(g,g^c) \stackrel{?}{=} e(g^a,g^b)$$

যেখানে $e: \mathbb{G} \times \mathbb{G} \rightarrow \mathbb{G}_T$

এ সম্পর্কে আরও সিদ্ধান্ত সংক্রান্ত ডিফাই-হেলম্যানম্যান সমস্যা , বোনহ'98 বা পেয়ারিংসের উপর গুগল লুপে পড়তে পারেন

Answer 12

(তুচ্ছভাবে) একটি সীমাবদ্ধ গেমটিতে ন্যাশ ভারসাম্যের অস্তিত্ব, একটি ঘন গ্রাফে হ্যামিলটোনীয় পথের একাধিক পথ, বিভিন্ন ধরণের নির্দিষ্ট পয়েন্ট, আংশিক ক্রমে শালীনভাবে ভারসাম্যপূর্ণ তুলনা এবং অন্যান্য অনেক পিপিএড সমস্যা।

Comments

ন্যাশ ভারসাম্যহীনতার অস্তিত্ব - এবং পিপিএডি বৈশিষ্ট্যযুক্ত অস্তিত্বের অনেকগুলি প্রমাণ - এই সমস্যাগুলির

— কোনওটিকেই

আমি এই সমস্যার সিদ্ধান্ত সংস্করণ উল্লেখ করছি।

— যোনাতন এন

Answer 13

$((V, E), s, t)$$E' \subset E$$s$$t$$(V, E')$$E'$

$s$$t$$(V, E)$$s$$t$

Comments

কেউ বলতে পারেন যে এলপি সহজ know সুতরাং দুটি বড় উপপাদ্য (পলি টাইমে এলপি এবং ম্যাক্সফ্লো-মিনকুট) আমাদের মিনিট কাটগুলি গণনা করতে দেয়।

— চন্দ্র চেকুরি

@ চন্দ্রচেকুরী, আমার ব্যক্তিগত অনুভূতিটি এই প্রশ্নের পুরোপুরি খাপ খায় না: এলপি পলটাইমে দ্রবণীয় যে উপপাদ্যটি বাস্তবে নূন্যতম কাটের জন্য একটি অ্যালগরিদম তৈরি করতে আমাদের সহায়তা করে না। আমাদের আসল এলপি অ্যালগরিদম দরকার।

— সর্বাধিক

আসলে তা না. আপনি যদি কোনও নির্দিষ্ট গ্রাফের মধ্যে ন্যূনতম কাটা মানটি দক্ষতার সাথে খুঁজে পেতে পারেন তবে প্রকৃত কাটাটি নিজেই খুঁজে পেতে আপনি এই জাতীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারেন।

— চন্দ্র চেকুরি

Answer 14

এখানে আরেকটি উদাহরণ রয়েছে: একটি অনির্দেশিত সরল গ্রাফ দেওয়া আছে, এটিতে দুটি ভার্টেক্স-বিচ্ছিন্ন সার্কিট রয়েছে কিনা তা স্থির করুন।

$\leq 2$$\geq 3$

$\geq 3$$K_5$$K_{3,n-3}$

যেহেতু থিওরিমের দ্বারা অনুমোদিত গ্রাফগুলির মধ্যে একটি গ্রাফ কিনা তা যাচাই করা সহজ, সুতরাং এটি আমাদের সিদ্ধান্ত সমস্যার জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম সরবরাহ করে।

দ্রষ্টব্য: (1) উপপাদ্যের প্রমাণ একেবারেই সহজ নয়। (2) একবার আমরা ঠিক করলাম দুই টুকরো করা সার্কিট অস্তিত্ব যে, তা কিভাবে যুক্ত সমাধানের জন্য তত স্পষ্ট বলে মনে হয় সার্চ সমস্যা , যে কিভাবে আসলে হয়, এটি এমন সার্কিট। উপপাদ্য এটিকে সরাসরি পরামর্শ দেয় না।

Answer 15

কম জটিল উদাহরণ: কিছু উপপাদ্য-মতো বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা দেখায় যে কিছু সমস্যার জন্য লোভী অ্যালগরিদমগুলি সর্বোত্তম। এটি নিরবচ্ছিন্নভাবে এতটা স্পষ্ট নয় যে লোভী অ্যালগরিদম দ্বারা সর্বনিম্ন ছড়িয়ে পড়া গাছটি পাওয়া যেতে পারে। কিছুটা অনুরূপ ধারণাটি হ'ল ডিজাকস্ট্রার অ্যালগরিদম কোনও গ্রাফের মধ্যে একটি সংক্ষিপ্ততম পথ খুঁজে পেতে। আসলে উভয় ক্ষেত্রেই সম্পর্কিত "উপপাদ্য" প্রায় একইভাবে অ্যালগরিদমের মতো।

Comments

আমি মনে করি এটি আরও ভাল উত্তর হবে যদি উদাহরণস্বরূপ আপনি এমএসটি-র কাটা সম্পত্তির একটি বিবৃতি অন্তর্ভুক্ত করেন এবং উল্লেখ করেন যে এটি কীভাবে লোভী এমএসটি অ্যালগরিদমের পুরো শ্রেণীর যথার্থতা বোঝায়।

— সাশো নিকোলভ

উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় তালিকাভুক্ত এমএসটি কাটা সম্পত্তি । হতে পারে আপনি অন্যান্য সাধারণীকরণগুলি সেখানে আবৃত না করতে পারেন। বিটিডব্লিউ প্রত্যাহার করুন প্রশ্নকর্তা "তত্ত্বের ক্ষেত্রের বাইরে যারা" পরিবেশনের জন্য উদাহরণগুলি চেয়েছিলেন (প্রদত্ত অন্যান্য চমৎকার উদাহরণগুলি বহিরাগতদের জন্য খুব উন্নত হতে পারে)

— vzn

$T$$e$$T - e$$A$$B$$e$$E(A,B)$

Answer 16

ফিবোনাচি সংখ্যাগুলির ক্রম সন্ধান করুন যা অন্যান্য ফিবোনাচি সংখ্যাগুলির পণ্য। উদাহরণস্বরূপ, ফিবোনাচি 8 নম্বরটি ক্রমানুসারে রয়েছে কারণ 8 = 2 * 2 * 2, এবং 2 একটি ফিবোনাচি সংখ্যা যা 8 এর সমান নয় The ফিবোনাচি সংখ্যা 144 ক্রমযুক্ত কারণ 144 = 3 * 3 * 2 * 2 * 2 * 2, এবং 2 এবং 3 উভয়ই ফিবোনাচি সংখ্যা যা 144 এর সমান নয়।

কারমাইকেল এর উপপাদ্যটি বোঝায় যে 8 এবং 144 এই ক্রমের একমাত্র শর্ত।