জোড়-ভিত্তিক বিযুক্ত সেটগুলির সর্বাধিক সংখ্যক সন্ধানের জটিলতা

Question

ধরে নিন যে আমার কাছে সেটগুলি থেকে নেওয়া উপাদানগুলির সাথে সেট রয়েছে। প্রতিটি সেট মাপের ( ), যেখানে সেটগুলি ওভারল্যাপ করতে পারে। নিম্নলিখিত দুটি সমস্যা এনপি-সম্পূর্ণ কিনা তা আমি নির্ধারণ করতে চাই:$P$$r$$n$$n<r$

সমস্যা উ: হয় সেখানে ( ) স্বতন্ত্র মধ্যে সেট সেট (অর্থাত, তাদের জোড়া জিনিস ছেদ খালি)?$M$$1 \le M \le P$$P$

সমস্যা বি। এখন প্রতিটি সেট থেকে ( ) উপাদান নির্বাচন করা যেতে পারে। আছে ( ) স্বতন্ত্র আকার সেট মধ্যে প্রতিটি সেট? নোট করুন যে প্রতিটি উপাদানকে উপাদানগুলির এক সেট থেকে উপাদানগুলির একটি সেট নেওয়া যেতে পারে ।$k$$k<n$$L$$1 \le L \le P$$k$$P$$k$$n$

মন্তব্য : আমি স্থির করা ক্ষেত্রে ( ) ক্ষেত্রে প্রধানত আগ্রহী ।$k,n$$n \ge 2, k \ge 2$

আমি মনে করি যে সমস্যা এটিকে একটি ইউনিফর্ম পার্টিটাইট হাইপার-গ্রাফ ম্যাচিং সমস্যা হিসাবে ভাবা যেতে পারে । এটি হ'ল, আমাদের হিসাবে এর উপাদান রয়েছে এবং প্রতিটি হাইপার-প্রান্তে গ্রাফের শীর্ষোক্তির একটি উপসেট থাকে ।$n$$r$$r$$n$

1. ইন -uniform -partite অধি-গ্রাফ ম্যাচিং সমস্যা দ্বারা NP-সম্পূর্ণ?$n$$r$

2. আমি মনে করি যে সমস্যা বি কার্ডিনালিটি এর হাইপার-প্রান্ত থেকে নেওয়া কার্ডিনালিটি এর স্বতন্ত্র হাইপার-এজগুলির সন্ধানের সমতুল্য । এই বিধিনিষেধযুক্ত সংস্করণটি (এই অর্থে যে প্রতিটি কার্ডিনালাইটি সেটটি উপাদানগুলির প্রাক-নির্বাচিত সেট থেকে নেওয়া হবে বরং উপাদানগুলি থেকে নির্বিচারে গ্রহণের পরিবর্তে ) সমস্যা এ এনপি-সম্পূর্ণ?$k$$n$$k$$n$$r$

উদাহরণ ( ):$n=3,r=5, P=3$

$A=\{1,2,3\}$ , ,$B=\{2,3,4\}$$C=\{3,4,5\}$

যদি হয় তবে কেবলমাত্র আলাদা আলাদা সেট রয়েছে যা বা বা , কারণ প্রতিটি জোড় , , অ- খালি ছেদ$k=n=3$$M=1$$A$$B$$C$$(A,B)$$(A,C)$$(B,C)$

যদি , আমাদের কাছে স্বতন্ত্র সেট রয়েছে: একটি সমাধান হ'ল , ( এবং উপসেট )।$k=2$$L=2$$\{1,2\}$$\{3,4\}$$A$$B$

Answer 1

এটি সর্বোচ্চ সেট প্যাকিং সমস্যার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে এবং উভয় সমস্যা এ এবং বি হ'ল এনপি-সম্পূর্ণ । নোট করুন যে সমস্যাটি কেবল হলে একটি ম্যাচিং সমস্যা এবং হলে এটিও সহজ । সুতরাং আমি অনুমান করব ।$n=2$$n=1$$n \ge 3$

প্রশ্ন জিজ্ঞাসার পরিবর্তে,

সেটগুলির মধ্যে ডিসজেয়েন্ট সেট আছে ?$M$$P$

আসুন নিম্নলিখিত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা যাক

আমরা সেটগুলি থেকে সর্বাধিক সংখ্যক বিভেদ সেটগুলি পেতে পারি ?$P$

এটি স্পষ্ট যে দ্বিতীয় প্রশ্নটি যদি বহুবর্ষের সময়ে উত্তরযোগ্য হয় তবে এটিই প্রথম যেহেতু আমাদের যা করতে হবে তা হ'ল এই সর্বোচ্চ মানটির তুলনা এবং আউটপুট হ্যাঁ যদি এই সর্বাধিকের চেয়ে কম বা সমান হয় এবং অন্যথায় না হয়।$M$$M$

এছাড়াও, যদি প্রথম প্রশ্নটি বহুবর্ষীয় সময়ে উত্তরযোগ্য হয়, তবে দ্বিতীয়টি খুব বেশি যেহেতু আমরা তে বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার করতে পারি এবং দ্বিতীয় প্রশ্নের উত্তর পেতে পারি এবং কেবলমাত্র একটি উপাদান যুক্ত করতে পারি$M$$O(\log{M})$

সুতরাং আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে উভয় প্রশ্নই সমান। অর্থাত্ প্রশ্ন 1 বহুপদী সময় সমাধানযোগ্য যদি হয় এবং কেবল যদি প্রশ্ন 2 খুব বেশি হয়।

এটি এও স্পষ্ট যে সমস্যাগুলি এনপিতে রয়েছে যেহেতু আমরা সহজেই যাচাই করতে পারি যে সেটগুলি বহির্মুখী j$M$

সুতরাং এখন প্রশ্ন হ'ল আমরা কীভাবে এটিতে পরিচিত এনপি-হার্ড সমস্যা হ্রাস করব? এটি করতে আমরা সর্বোচ্চ সেট প্যাকিং সমস্যা থেকে হ্রাস করি । আমি কেবল সমস্যা A তে মনোনিবেশ করব কারণ সমস্যা বি কে সহজেই সেট করে হার্ড হিসাবে দেখানো যেতে পারে$k=n-1$

সর্বাধিক সেট প্যাকিং সমস্যা একটি স্বেচ্ছাসেবী উদাহরণ বিবেচনা করুন । নোট করুন যে সমস্যা A এবং মূল সর্বাধিক সেট প্যাকিং সমস্যার মধ্যে একমাত্র পার্থক্য হ'ল সমস্যা A তে সেটগুলির আকার সমান হতে হবে। যাক সমস্ত সেট মধ্যে সর্বোচ্চ cardinality হতে । প্রতিটি সেটের সমান কার্ডিনালিটি থাকলে, আমাদের কাজ শেষ হয়ে গেছে এবং সেট কভার সমস্যাটি হ'ল সমস্যা হ'ল এখন ধরুন যে কিছু সেট , আমাদের আছে । আমরা কেবল যোগ উপাদান যা কোনো সেট উপাদান না হলে । সমস্ত sets সেট না করা পর্যন্ত আমরা এই প্রক্রিয়াটির পুনরাবৃত্তি করি$T$$t$$T$$T$$S_i \in T$$|S_i| < t$$(t-|S_i|)$$S_i$$T$$S_i \in T$একই আকার আছে। এটা পরিষ্কার যে এইভাবে নতুন উপাদান যুক্ত করা সর্বাধিক সংখ্যক বিভেদ সেটগুলির আকার পরিবর্তন করে না।

সুতরাং, যদি আমরা বহুবর্ষীয় সময়ে সমস্যা সমাধান করতে পারি তবে আমরা বহুবর্ষের সময় সর্বাধিক সেট প্যাকিং সমস্যাটি সমাধান করতে পারি যেহেতু আমাদের যা করতে হবে তা হল আমাদের যুক্ত করা অতিরিক্ত উপাদানগুলি মুছে ফেলা এবং এটি করা এর আকার পরিবর্তন করে না মধ্যে টুকরো করা সেট সর্বোচ্চ সংখ্যক ।$A$$T$

সম্পাদনা - সমস্যা সম্পর্কিত কিছু অতিরিক্ত তথ্য বি

ধরুন সমস্যা বি এর বহুপদী সময় সমাধান রয়েছে, এখন একটি স্বেচ্ছাসেবী উদাহরণ বিবেচনা করুন $T$ সমস্যা এ $n$উপাদান প্রতি সেট। এখন আমরা একটি ডামি উপাদান যুক্ত করি$d$ প্রতিটি সেট ইন $T$। আমরা এখন নিম্নলিখিত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা।

আমরা গ্রহণ করে যে সংঘবদ্ধ সেটগুলি পেতে পারি সেগুলির সর্বাধিক সংখ্যা $n$ প্রতিটি সেট থেকে উপাদান?

এখন আমরা জানি যে সর্বাধিক সেটগুলির মধ্যে, তাদের মধ্যে একটির মধ্যে ডামি উপাদান থাকতে পারে, তাই যদি উত্তর হিসাবে আমরা সর্বোচ্চ হিসাবে পাই $M$, উদাহরণস্বরূপ প্রকৃত সর্বাধিক সেট সংখ্যা sets $T$ (আমাদের মূল সমস্যা এ) হয় $M$ অথবা $(M-1)$, তবে এটি সর্বাধিক সেট প্যাকিংয়ের জন্য একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টরটিকে প্রায় অনুমান করে। এবং এরকম অনুমান কেবল তখনই সম্ভব$P=NP$। সুতরাং সমস্যা বিও কঠিন।

Comments

সমস্যা বি সম্পর্কিত: আপনি যদি সমস্যা এ এর ​​সমস্ত সেটে একটি ডামি উপাদান যুক্ত করেন তবে আপনি আকারের সেট পান $n+1$। আমার প্রশ্নের মধ্যে প্রদর্শিত উদাহরণে ($n=3, P=3$), আপনি পাবেন যে আকারের বিচ্ছিন্ন সেটগুলির সর্বাধিক সংখ্যা $n-1=2$ 3: $\left\{ {1,d} \right\},\left\{ {2,3} \right\},\left\{ {4,5} \right\}$। তবে সমস্যা A এর সমাধান হ'ল একটি সেট রয়েছে। অন্য কথায়, আমি কেমন সমস্যা বি জন্য একটি সমাধান সমস্যা উ করার জন্য একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর পড়তা দেয় দেখি না

— MJK

আপনি যদি ডামি উপাদান যুক্ত করেন তবে আপনার সেট রয়েছে $A′= \left\{ {1,2,3,d} \right\}, B′= \left\{ {2,3,4,d} \right\}$ এবং $C′= \left\{ {3,4,5,d} \right\}$। সঙ্গে এই নতুন উদাহরণ$n=4$ সমস্যাটির উদাহরণ হ'ল আমরা আগ্রহী Now এখন এই সেটগুলিতে অনুমিত বি অ্যালগরিদমটি চালান ie $n=4$ এবং $k=3$। সেটাই আমি বলছি. মনে রাখবেন যে সমস্যাটি যদি সর্বাধিক মিলের সন্ধান করতে হ্রাস করে$n=2$ অথবা $k=2$।

— ওবিনা ওকেচুকুয়ু