মনোোটোন -2 সিএনএফ সূত্রগুলির গণনা সমাধান

Question

একটি মনোোটোন -2 সিএনএফ সূত্র হল একটি সিএনএফ সূত্র যেখানে প্রতিটি ধারাটি 2 টি ইতিবাচক আক্ষরিক দ্বারা রচিত হয়।

এখন, আমার কাছে মনোটোন -2 সিএনএফ সূত্র । যাক এস সেট হতে এফ এর পরিতৃপ্ত বরাদ্দকরণ। আমার কাছে একটি ওরাকল ও রয়েছে যা নিম্নলিখিত তথ্যগুলি দিতে সক্ষম:$F$$S$$F$$O$

1. সেট এর কার্ডিনালিটি (অর্থাত্ F এর সমাধানের সংখ্যা )।$S$$F$
2. একটি ভেরিয়েবল : $x$
   • ইতিবাচক আক্ষরিক এক্স সহ এর সমাধানের সংখ্যা ।$S$$x$
   • Inণাত্মক আক্ষরিক containing x ধারণকারী এর সমাধানের সংখ্যা ।$S$$\lnot x$
3. দেওয়া 2 ভেরিয়েবল এবং এক্স 2 : $x_1$$x_2$
   • এক্স 1 ∧ x 2 ধারণকারী এর সমাধানের সংখ্যা ।$S$$x_1 \land x_2$
   • মধ্যে সমাধান সংখ্যার ধারণকারী এক্স 1 ∧ ¬ এক্স 2 ।$S$$x_1 \land \lnot x_2$
   • In x 1 ∧ x 2 ধারণকারী এর সমাধানের সংখ্যা ।$S$$\lnot x_1 \land x_2$
   • In x 1 ∧ ¬ x 2 ধারণকারী এর সমাধানের সংখ্যা ।$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$

লক্ষ্য করুন ওরাকল "সীমাবদ্ধ" is: এটি শুধুমাত্র কাজ করে এফ , এটি একটি সূত্র ব্যবহার করা যাবে না ফাঃ ' ≠ এফ ।$O$$F$$F' \neq F$

---

প্রশ্ন:

প্রদত্ত 3 ভেরিয়েবল , x 2 , x 3 তাতে সমাধান সংখ্যা নির্ধারণ করা সম্ভব এস ধারণকারী ¬ এক্স 1 ∧ ¬ এক্স 2 ∧ ¬ এক্স 3 মধ্যে বহুপদী সময় ব্যবহার এফ এবং প্রদত্ত তথ্য হে ?$x_1$$x_2$$x_3$$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$F$$O$

বিঃদ্রঃ:

আপনি x 1 , x 2 , x 3 এর 8 টি সম্ভাব্য সংমিশ্রণের অন্য যে কোনওটি দিয়ে প্রশ্নের মধ্যে প্রতিস্থাপন করতে পারেন । সমস্যা একই থাকবে।$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$x_1$$x_2$$x_3$

---

অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা:

আমি এক সপ্তাহ আগে নিম্নলিখিত অনুশীলনমূলক তথ্য জুড়ে এসেছি। যাক ঐ ধারণকারী সমাধান সেট হতে ¬ এক্স 1 ∧ ¬ এক্স 2 , এবং দিন এস ¬ এক্স 1 ∧ ¬ এক্স 2 ∧ এক্স 3 ⊂ এস ঐ সমাধানের সেট ধারণকারী করা ¬ এক্স 1 ∧ ¬ x 2 ∧ x 3 । এখন, এটি ক্ষেত্রে মনে হয় যে, শর্ত থাকলে $S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3$$C$এই সম্পর্কটিও ধারণ করে:

যেখানেϕ=1.618033 ...স্বর্ণের অনুপাত। শর্তসিনিম্নলিখিত বলে মনে হচ্ছে:"x1,x2,x3প্রায় একই সংখ্যায় প্রায়এফ এউল্লেখ করাহয়েছে"।$\frac{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2}|}{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3}|} \simeq \phi$

$\phi = 1.618033...$$C$$x_1$$x_2$$x_3$$F$

Comments

আপনি যখন "নেতিবাচক আক্ষরিক -x সমেত সমাধানগুলি" বলছেন - আপনি কি "x = 0 সহ সমাধান" বলতে চান?

— নোট

@ নোম: হ্যাঁ, ঠিক

— জর্জিও ক্যামেরানি

সহজ পর্যবেক্ষণ: যেহেতু ওরাকল হে সম্ভাব্য প্রশ্নের সংখ্যা বহুবচনভাবে সীমাবদ্ধ, সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই আপনি একটি অ্যালগোরিদমের শুরুতে সমস্ত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারেন। অতএব, আমরা অতিরিক্ত ইনপুট দ্বারা ওরাকলটি প্রতিস্থাপন করতে পারি, এই প্রতিশ্রুতি দিয়ে যে এই সংখ্যাগুলি সঠিক। আমি মনে করি যে এই প্রতিশ্রুতি সূত্রটি ওরাকল হিসাবে বিবেচনা করার চেয়ে কিছুটা সহজ।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়োশি: হ্যাঁ, আমি আপনার সাথে একমত

— জর্জিও ক্যামেরানি

@vzn: 2CNF- এর সিদ্ধান্ত সংস্করণ । এটি মনোোটোন মামলার গণনা সংস্করণ (একটি মনোোটোন 2 সিএনএফ সূত্র এফ দেওয়া হয়েছে , আপনাকে এটির কত সন্তুষ্টিজনক কার্যভার রয়েছে তা গণনা করতে হবে)। $P$$F$

— জর্জিও ক্যামেরানি

Answer 1

এই অনুপ্রেরণামূলক সত্যটি ব্যবহার করার জন্য আপনি আনুমানিক সংখ্যাগুলি অন্যকে আনুমানিক সংখ্যা দিতে পারে কিনা তা জানতে চাইবেন। তবে সঠিক কেসটির জন্য, আমি মনে করি এটি সহজ করার কোনও সহজ উপায় হতে পারে। এখানে একটি স্কেচ আছে।

$T \subset S$$I \cap S = T$$|S|=k$

প্রুফ রূপরেখা:

1. যদি 2-অনুমানগুলি 3-অনুমান দেয় তবে তারা প্রতিটি কে-এর জন্য পলটাইমে কে-প্রজেকশন দেয়।
2. যদি 2-অনুমানগুলি 4-অনুমান দেয় তবে কোনও গ্রাফের স্বতন্ত্র সেটগুলির সংখ্যা এফপিতে থাকে, সুতরাং এফপি = # পি।

$k\geq 3$$x_1,...,x_k,v \in G$${x_1,...,x_k,v}$

$G'$$G'$$G'$${x_1,...,x_k,v}$

${e_1,...,e_m}$$G_k$${e_1,...,e_k}$$G_{k+1}$$G_k$$G_0$$2^{|G|}$

Comments

আমি যে অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা ব্যবহার না করতে পছন্দ করব! আমি অবশ্যই সঠিক গণনা পছন্দ করি। তবে ঘটনাক্রমে আমি সঠিক সংখ্যা নির্ধারণের চেষ্টা করার সময় সেই ঘটনাটি লক্ষ্য করেছি।

— জর্জিও ক্যামেরানি

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. হ্যাঁ, এটি শক্ত: আপনি যেমনটি বলেন, এই প্রশ্নের ইতিবাচক উত্তরটি # পি = এফপি বোঝাবে।

— জর্জিও ক্যামেরানি

Answer 2

কিছু পর্যবেক্ষণ, একটি উত্তর না।

প্রশ্নের নোটের পাশাপাশি, 3 টি আক্ষরিকের যেকোন সংমিশ্রণটি একই ভেরিয়েবলের সাথে অন্য কোনও সংখ্যার সাথে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং একসাথে ওরাকল সরবরাহ করতে পারে এমন সংখ্যক পদগুলির সাথে। এটি 3 ছেদকৃত সেটগুলির ভেন চিত্রটি দেখে এবং অন্যান্য অঞ্চলের ক্ষেত্রে 8 টি অঞ্চলের প্রত্যেককে প্রকাশ করার পরে এটি ঘটে। নোট করুন যে এর জন্য সূত্রটি মনোটোন বা 2 সিএনএফ হওয়ার দরকার নেই।

$2^{n-3}$

সুতরাং প্রশ্নটি বহুতল আকারে এই ক্ষতিকারক-আকারের এক্সপ্রেশনটি সংকুচিত করতে একঘেয়ে 2CNF হওয়ার সম্পত্তিটি ব্যবহার করা সম্ভব কিনা তা নিয়ে সত্যই প্রশ্ন।

আমি একটি সহজ প্রশ্ন দেখার চেষ্টা করেছি, যখন সমাধানের সংখ্যা সহ কেবলমাত্র একটি পরামর্শের স্ট্রিংয়ের মধ্যে ওরাকলকে সীমাবদ্ধ করেছিলাম, যখন একক বা জোড়যুক্ত আক্ষরিক সংমিশ্রণের জন্য গণনা উপলব্ধ না হয়। কোন একক আক্ষরিক সম্মানের সাথে সমাধানের সংখ্যার দ্রুত গণনা পাওয়ার জন্য সমাধানগুলির সংখ্যা সম্পর্কে জ্ঞানকে কাজে লাগানোর কোনও উপায় আমি দেখতে পাচ্ছি না।

$S$$x_1$$|S|$

Comments

প্রকৃতপক্ষে, প্রদত্ত তথ্য অন্তর্নিহিত কঠোরতা পরাস্ত করার জন্য যথেষ্ট শক্তিশালী হওয়া প্রয়োজন। এটি জানা যায় যে এনপি = আরপি না করে একঘেয়ে 2-স্যাট সমাধানের জন্য কোনও এফপ্রাস নেই।

— mhum

$D$$D$$F$$D$

@ ওয়াল্টার: হ্যাঁ, আমি এটি বুঝতে পারি। আমার বক্তব্যটি এমনকি আরও সাধারণ ক্ষেত্রেও পরিষ্কার নয়: একক আক্ষরিক সমন্বিত সমাধানের সংখ্যার থেকে মোট সমাধানের সংখ্যা থেকে যাওয়া।

— আন্দ্রেস সালামন

এটি হতে পারে যে আপনার সূত্রটি মূলত রৈখিক: কোনও পথে স্বাধীন সেটগুলি ফিবোনাচি ক্রম অনুসরণ করে। এটি দেখার একটি উপায় হ'ল পার্টিশন ফাংশন (1 1; 1 0) এ আইগেনুয়ালু হিসাবে phi রয়েছে।

— কলিন ম্যাককুইলান

আমি আরও কঠোর ফলাফল নিয়ে কিছু স্লাইডগুলি খুঁজে পেয়েছি : isid.ac.in/~antar/Talks/Counting-Hard-Core_KBS_slides.pdf (পৃষ্ঠা ১১ দেখুন)

— কলিন ম্যাককুইলান