গণ্য জ্যামিতির গবেষকরা বিএসএস / রিয়েল-র‌্যাম মডেলটিকে বেশি পছন্দ করেন সেগুলি কী কী?

Question

পটভূমি

প্রকৃত সংখ্যার তুলনায় প্রকৃত সংখ্যার তুলনায় গণনা আরও জটিল, যেহেতু আসল সংখ্যাগুলি অসীম বস্তু এবং সেখানে প্রচুর পরিমাণে আসল সংখ্যা থাকে, সুতরাং আসল সংখ্যাগুলি একটি সীমাবদ্ধ বর্ণমালার উপর সীমাবদ্ধ স্ট্রিং দ্বারা বিশ্বস্ততার সাথে প্রতিনিধিত্ব করা যায় না।

সীমাবদ্ধ স্ট্রিংগুলির তুলনায় ধ্রুপদী গুণগততার বিপরীতে যেখানে গণনার বিভিন্ন মডেল যেমন: ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস, ট্যুরিং মেশিন, পুনরাবৃত্ত ফাংশন, ... সমতুল্য হয়ে উঠুন (কমপক্ষে স্ট্রিংগুলির উপর কার্যকারিতার তুলনায় গণ্যতার জন্য), গণনার জন্য প্রস্তাবিত বিভিন্ন মডেল রয়েছে বাস্তব সংখ্যা যা সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। উদাহরণস্বরূপ, টিটিই মডেলটিতে (এছাড়াও [ওয়েই০০] দেখুন) যা শাস্ত্রীয় টুরিং মেশিনের মডেলের নিকটতম, আসল সংখ্যাগুলি অসীম ইনপুট টেপগুলি (টুরিংয়ের ওরাকলগুলির মতো) ব্যবহার করে প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং তুলনা এবং সিদ্ধান্ত নেওয়া সম্ভব নয় দুটি প্রদত্ত আসল সংখ্যার মধ্যে সমতা সম্পর্ক (সময়ের সীমাবদ্ধ পরিমাণ)। অন্যদিকে বিবিএস / রিয়েল-র‌্যাম মডেলগুলিতে যা র‌্যাম মেশিনের মডেলের অনুরূপ, আমাদের এমন ভেরিয়েবল রয়েছে যা নির্বিচারে আসল সংখ্যা সঞ্চয় করতে পারে এবং তুলনার এবং সাম্যতা মডেলের পারমাণবিক ক্রিয়াকলাপগুলির মধ্যে are এই এবং অনুরূপ কারণে অনেক বিশেষজ্ঞ বলেছেন যে বিএসএস / রিয়েল-র্যাম মডেলগুলি বাস্তববাদী নয় (কার্যকর করা যায় না, কমপক্ষে বর্তমান ডিজিটাল কম্পিউটারগুলিতে নয়), এবং তারা টিটিই বা অন্যান্য সমমানের মডেলগুলিকে কার্যকর ডোমেন তাত্ত্বিক মডেলের মতো পছন্দ করে, কো-ফ্রিডম্যান মডেল ইত্যাদি

যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি , তবে গণনার জ্যামিতিতে ব্যবহৃত গণনার ডিফল্ট মডেলটি হ'ল বিএসএস (ওরফে রিয়েল-র্যাম , [বিসিএসএস ৯৮]) মডেল।

অন্যদিকে, এটি আমার কাছে মনে হয় যে কম্পিউটারের জ্যামিতির অ্যালগরিদমগুলি প্রয়োগ করার ক্ষেত্রে (যেমন এলইডিএ ), আমরা কেবল বীজগণিত সংখ্যার সাথে কাজ করছি এবং কোনও উচ্চ-ধরণের অসীম বস্তু বা গণনা জড়িত নেই (এটি কি সঠিক?) সুতরাং এটি আমার কাছে সম্ভবত (সম্ভবত নির্লজ্জভাবে) মনে হয়েছে যে এই সংখ্যাগুলি মোকাবেলা করার জন্য যে কেউ সুনির্দিষ্ট স্ট্রিংগুলির মাধ্যমে গণনার শাস্ত্রীয় মডেলটিও ব্যবহার করতে পারে এবং সংখ্যার সাধারণ মডেলটি (যা অ্যালগরিদমের বাস্তবায়নের জন্যও ব্যবহৃত হয়) সঠিকতা এবং জটিলতা নিয়ে আলোচনা করতে পারে অ্যালগরিদমের।

---

প্রশ্নাবলী:

কমপিটেশনাল জ্যামিতির গবেষকরা বিএসএস / রিয়েল-র‌্যাম মডেলটি ব্যবহার করতে পছন্দ করেন এমন কারণগুলি কী কী? (বিএসএস / রিয়েল-র‌্যাম মডেলটি ব্যবহারের জন্য নির্দিষ্ট গণনা জ্যামিতির কারণ)

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে আমি উল্লেখ করেছি (সম্ভবত নিষ্পাপ) ধারণা নিয়ে সমস্যাগুলি কী? (গণনার ক্লাসিক মডেল ব্যবহার করে এবং গণনা জ্যামিতিতে বীজগণিত সংখ্যায় ইনপুটগুলি সীমাবদ্ধ করে)

---

সংযোজন:

অ্যালগরিদম ইস্যুতে জটিলতাও রয়েছে, বিএসএস / রিয়েল-র্যাম মডেলটিতে নিম্নলিখিত সমস্যাটি নির্ধারণ করা খুব সহজ:

$S$$T$
$\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t}$

যদিও কোনও কার্যকর পূর্ণসংখ্যার-র‌্যাম অ্যালগরিদম এটি সমাধানের জন্য পরিচিত নয়। উদাহরণস্বরূপ জেফিকে ধন্যবাদ।

---

তথ্যসূত্র:

1. লেনোর ব্লাম, ফিলিপ কাকার, মাইকেল শুব, এবং স্টিফেন স্যামেল, "জটিলতা এবং রিয়েল গণনা", 1998
2. ক্লাউস ওয়েইরাচ, "গণনাযোগ্য বিশ্লেষণ, একটি ভূমিকা ", 2000

Comments

যাইহোক, যদি এটি সুস্পষ্ট না হয় তবে বর্গমূলের সমস্যার সমষ্টিটির খুব প্রাকৃতিক জ্যামিতিক ব্যাখ্যা থাকে: আপনি যদি দুটি বহুভুজীয় পথের দৈর্ঘ্যকে পূর্ণসংখ্যার-সমন্বয়কৃত শীর্ষগুলি দিয়ে তুলনা করতে চান তবে এটি সমাধান করতে হবে।

— ডেভিড এপস্টেস্টিন

Answer 1

প্রথমত, গণনা ভূগোলকরা এটি বিএসএস মডেল হিসাবে ভাবেন না। আসল র‌্যাম মডেলটি মাইকেল শামোস তার ১৯৮৮ পিএইচডি থিসিস ( কম্পিউটেশনাল জ্যামিতি ) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করেছিলেন , যা যুক্তি দিয়ে ক্ষেত্রটি চালু করেছিল। ১৯৮৫ সালে প্রকাশিত প্রথম গণনা জ্যামিতি পাঠ্যপুস্তকে ফ্রেমো প্রেপাটারা শমোসের থিসিসটি সংশোধন ও প্রসারিত করেছিলেন। আসল র‌্যামও বেন-অর দ্বারা সংজ্ঞায়িত বীজগণিত গণনা গাছের মডেলের সাথে সমান ( অভিন্নতা বাদে; পাস্কেলের উত্তর দেখুন! ) , শুব, এবং স্যামেলের প্রচেষ্টাগুলি 1989 সালে প্রকাশিত হয়েছিল, সত্যিকারের র‌্যাম প্রতিষ্ঠিত হওয়ার পরে, এবং গণ্য জ্যামিতি সম্প্রদায় প্রায় সম্পূর্ণ উপেক্ষা করেছিল।

কম্পিউটেশনাল জ্যামিতির সর্বাধিক (শাস্ত্রীয়) ফলাফলগুলি সমন্বয়মূলক জ্যামিতির বিষয়গুলিতে প্রচুর পরিমাণে আবদ্ধ থাকে , যার জন্য সমন্বয়কারী বা বীজগণিত হিসাবে অনুমানগুলি (সর্বোত্তম) অপ্রাসঙ্গিক বিঘ্ন হয়। নেটিভ হিসাবে কথা বলতে গেলে, এগুলি সম্পর্কে প্রমাণিত করার সময় স্বেচ্ছাসেবী বিষয়গুলি, লাইনগুলি, চেনাশোনাগুলি এবং প্রথম শ্রেণীর বস্তুগুলির মতো বিবেচনা করা সম্পূর্ণ প্রাকৃতিক বলে মনে হয় এবং এগুলির সাথে গণনা করার জন্য অ্যালগরিদমগুলি ডিজাইন ও বিশ্লেষণ করার সময় তাই সমান স্বাভাবিক।

$p$$q$$q$$r$$q,r,s$$qr$$st$? ইনপুট সমন্বয়গুলিতে নিম্ন-ডিগ্রি বহুবর্ষের চিহ্নটি মূল্যায়ন করে এই প্রতিটি আদিমত্ব প্রয়োগ করা হয়। (সুতরাং এই অ্যালগরিদমগুলি দুর্বল বীজগণিত সিদ্ধান্ত গাছের মডেলটিতে বর্ণনা করা যেতে পারে )) যদি ইনপুট স্থানাঙ্কগুলি পূর্ণসংখ্যার হয়ে থাকে তবে এই আদিমগুলি কেবলমাত্র ধ্রুবক-ফ্যাক্টর বৃদ্ধির সাথে সঠিকভাবে মূল্যায়ন করা যেতে পারে, এবং তাই আসল র‌্যাম এবং চলমান সময়গুলিতে পূর্ণসংখ্যার র্যাম একই।

অনুরূপ কারণে, বেশিরভাগ লোকেরা যখন অ্যালগরিদমগুলি বাছাই করার বিষয়ে চিন্তা করেন, তখন তারা তাদের কী বাছাই করে তা বিবেচনা করে না , যতক্ষণ না তথ্য সম্পূর্ণ অর্ডারযুক্ত মহাবিশ্ব থেকে আসে এবং ধ্রুবক সময়ে যে কোনও দুটি মানের তুলনা করা যায়।

সুতরাং সম্প্রদায় "বাস্তব" জ্যামিতিক অ্যালগরিদমের নকশা এবং তাদের ব্যবহারিক প্রয়োগের মধ্যে উদ্বেগের একটি পৃথকীকরণ গড়ে তুলেছে; তাই এলইডিএ এবং সিজিএল এর মতো প্যাকেজগুলির বিকাশ। এমনকি সঠিক গণনাতে কাজ করা লোকদের ক্ষেত্রেও, আসল অ্যালগরিদমের মধ্যে একটি পার্থক্য রয়েছে , যা অন্তর্নিহিত মডেলের অংশ হিসাবে সঠিক আসল গাণিতিক ব্যবহার করে এবং বাস্তবায়ন , যা পৃথক গণনা ব্যবহারের জন্য শারীরিক কম্পিউটিং ডিভাইসের অন্যথায় অপ্রাসঙ্গিক সীমাবদ্ধতার দ্বারা বাধ্য হয়।

$\times$

কয়েকটি জ্যামিতিক অ্যালগরিদম রয়েছে যা সত্যিই বীজগণিত গণনা গাছের মডেলের উপর নির্ভর করে এবং তাই শারীরিক কম্পিউটারগুলিতে ঠিক এবং দক্ষতার সাথে প্রয়োগ করা যায় না । একটি ভাল উদাহরণ হ'ল সরল বহুভুজগুলির ন্যূনতম-লিঙ্ক পাথগুলি, যা একটি বাস্তব র‌্যামের উপর রৈখিক সময়ে গণনা করা যেতে পারে, তবে সঠিকভাবে উপস্থাপনের জন্য চতুর্দিকে এক চতুর্ভুজ বিটগুলির প্রয়োজন । আরেকটি ভাল উদাহরণ চ্যাজেলের হায়ারারিকিকাল কাটিং , যা সিম্প্লেক্স রেঞ্জ অনুসন্ধানের জন্য পরিচিত সবচেয়ে দক্ষ অ্যালগরিদমে ব্যবহৃত হয়। এই কাটাগুলি ত্রিভুজগুলির সেটগুলির একটি শ্রেণিবিন্যাস ব্যবহার করে, যেখানে প্রতিটি স্তরের ত্রিভুজের কোণগুলি পূর্ববর্তী স্তরে ত্রিভুজগুলির প্রান্তের মধ্য দিয়ে রেখার ছেদ বিন্দু। সুতরাং, এমনকি যদি ইনপুট স্থানাঙ্কগুলি পূর্ণসংখ্যা হয় তবে এই ত্রিভুজগুলির জন্য শীর্ষস্থানীয় স্থানাঙ্কগুলি আনবাউন্ডড ডিগ্রির বীজগণিত সংখ্যা; তবুও, কাটা কাঠামো তৈরি এবং ব্যবহারের জন্য অ্যালগরিদমগুলি ধরে নিয়েছে যে স্থানাঙ্কগুলি স্থির সময়ে ঠিকঠাকভাবে পরিচালনা করতে পারে।

সুতরাং, আমার সংক্ষিপ্ত, ব্যক্তিগতভাবে পক্ষপাতদুষ্ট উত্তরটি হ'ল: টিটিই, ডোমেন তত্ত্ব, কো-ফ্রেডম্যান এবং "রিয়েলিস্টিক" রিয়েল-নাম্বার গণনার অন্যান্য মডেলগুলি সমস্ত বিষয় বিবেচনা করে যা গণনা জ্যামিতি সম্প্রদায়, পুরোপুরি কেবল যত্ন করে না issues ।

Comments

সম্ভবত এটি যুক্ত করা উচিত যে পুরো সফল অবস্থায়, এই দৃষ্টিকোণটি কয়েকটি অদ্ভুত বিকৃতির দিকে পরিচালিত করেছে যার মধ্যে একাধিক-পলিউলগ (এন) প্যারামেট্রিক অনুসন্ধান আলগোরিদিমগুলি অনেক সরল লগ (সংখ্যাসম্য নির্ভুলতা) বাইনারি অনুসন্ধানের অ্যালগরিদমগুলিতে পছন্দ করা হয়

— ডেভিড এপস্টেস্টিন

$\Omega(n \log n)$

জোশুয়া: হ্যাঁ, উদাহরণস্বরূপ দেখুন arxiv.org/abs/1010.1948

— ডেভিড এপস্টিন

@ ডেভিড এপস্টিন: খুব আকর্ষণীয়! আপনি কি আমার অন্যান্য প্রশ্নের উত্তর হিসাবে এটি পোস্ট করতে চান: cstheory.stackexchange.com/questions/608/…

— জোশুয়া গ্রাচো

Answer 2

এটি একেবারেই সত্য নয় যে আসল র্যাম / বিএসএস মডেলটি বীজগণিত গণনা গাছের মডেলের সমতুল্য। পরেরটি আরও শক্তিশালী কারণ একটি বহুপদী গভীরতা গাছ ক্ষতিকারক আকারের হতে পারে। এটি অ-ইউনিফর্ম তথ্য এনকোডিংয়ের জন্য প্রচুর জায়গা দেয়। উদাহরণস্বরূপ, মায়ার আউফ ডের হাইড দেখিয়েছেন যে বীজগণিত (এমনকি লিনিয়ার) সিদ্ধান্তের গাছগুলি সাবসেটের যোগফলের মতো দক্ষতার সাথে কঠিন সমস্যার সমাধান করতে পারে তবে এটি বাস্তব (RAMP / BSS) মডেলের অসম্ভব (অনুমানমূলক)।

Comments

দুর্দান্ত পয়েন্ট !!

— জেফি

Answer 3

এখানে জেফের দুর্দান্ত উত্তরের একটি মন্তব্য:

রৈখিক প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদমের জটিলতা ফাঁক (কম্বিনেটর বনাম অবিচ্ছিন্ন) সমাধান করার জন্য শর্ত, আনুমানিকতা এবং রাউন্ড অফের ধারণা প্রস্তাবিত হয়েছিল। সমস্যার উদাহরণের শর্তটি আউটপুটের নির্ভুলতার উপর ইনপুটটির ছোট ছোট প্রতিচ্ছবিগুলির প্রভাবের অনুমান করে। অবস্থার ধারণাটি প্রথম অ্যালান টুরিংয়ের দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। জিম রেনেগার একটি রৈখিক প্রোগ্রামের শর্তের ধারণাটি চালু করেছিলেন।

এল Blum, reals উপর কম্পিউটিং কোথায় টুরিং নিউটন পূরণ করে, , দ্য এএমস, ভলিউম 51, NUMBER টি 9, (2004), 1024-1034 বিজ্ঞপ্তিগুলিকে

উ: টিউরিং, ম্যাট্রিক্স প্রসেসের গোলটেড-অফ ত্রুটি, কোয়ার্ট। জে মিচ। Appl। ম্যাথ। 1 (1948), 287–308

জে। রেএনজিএআর, রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের জটিলতা তত্ত্বের সাথে শর্ত সংখ্যা সংহত করে, সিয়াম জে অপ্টিম Op 5 (1995), 506–524

এফ। CUCKER, এবং জে। PEAA, একটি সসীম-নির্ভুলতা মেশিন দিয়ে পলিহেড্রাল কনিক সিস্টেম সমাধানের জন্য একটি প্রাথমিক-দ্বৈত অ্যালগরিদম, অপ্টিমাইজেশন 12 (2002), সিয়াম জার্নাল 52 (52), 522–554।