টুরিং মেশিনগুলির সমাপ্তি অযোগ্য?

Question

আমার একটি নির্বুদ্ধ প্রশ্ন আছে: এমন কোনও ট্যুরিং মেশিন রয়েছে কি যার অবসানটি সত্য, তবে কোনও প্রাকৃতিক, ধারাবাহিক এবং চূড়ান্তভাবে অক্ষতত্ত্বীয় তত্ত্ব দ্বারা অপ্রতিরোধ্য? আমি একটি নির্দিষ্ট উদাহরণের চেয়ে নিছক অস্তিত্বের প্রমাণ চাই।

অर्डিনাল বিশ্লেষণের সাথে এর কিছু সংযোগ থাকতে পারে । প্রকৃতপক্ষে, একটি ট্যুরিং মেশিন , আমরা কে তার সমাপ্তি (বা এই অধ্যাদেশগুলির সর্বাধিক) প্রমাণ করে একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ তত্ত্বের সর্বনিম্ন অর্ডিনাল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি । তাই আমি অনুমান চাওয়াই অস্তিত্ব আছে কিনা সমতুল্য হবে যেমন যে ?$M$$O(M)$$M$$O(M) \geq \omega_1^{CK}$

Comments

মাপদণ্ডটি অন্য উপায়ে কাজ করা উচিত নয়? কেবলমাত্র এক্স এক্সের থামগুলিতে একটি অ্যাক্সিয়াম হিসাবে যুক্ত করা কোনও এক্সের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হবে যা আসলে সমস্ত ইনপুটগুলিতে থামে (এবং সীমাবদ্ধ যদি আপনি এটি কেবল টিএম এর জন্য করেন তবে) ite কোয়ান্টিফায়ারগুলি বিপরীত হয়ে গেলে, কীভাবে এমন কোনও টিএম সম্পর্কে থামিয়ে দেওয়া যায় যে ইনপুটটি অ্যাক্সিয়োম্যাটিক সিস্টেমের জন্য ধারাবাহিকতার প্রমাণ না হয়ে অন্যথায় অসীম লুপে প্রবেশ করে।

— যোনাতন এন

আপনার পরামর্শ আকর্ষণীয়, ধন্যবাদ। প্রশ্নটি গঠনের সময় আমি আপনার উদ্বেগ সম্পর্কে অবহিত ছিলাম, এজন্য প্রয়োজনীয়তাগুলিতে আমি "প্রাকৃতিক" যুক্ত করেছি। অবশ্যই, সমস্যাটি হ'ল আমরা কী "প্রাকৃতিকতা" এর একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দিতে পারি যা এই কৃত্রিম নির্মাণকে বাতিল করে দেবে।

— সুপার 8

উত্তরটি হ'ল কারণ যদি এটি বন্ধ হয়ে যায়, তবে একটি কেবল মেশিনটি চালায় এবং এটি একটি সীমাবদ্ধ পদক্ষেপে থামবে এবং একটি প্রমাণ দেয় এবং এই সত্যটি যে কোনও যুক্তিসঙ্গত শক্তিশালী প্রমাণ সিস্টেমে রূপান্তরিত হতে পারে। অন্যদিকে ভাবেন যে গডেলের অপ্রতিরোধ্য থিমকে এনকোড / রূপান্তর / অনুবাদ করা সম্ভব, একটি অ-থামানো যন্ত্রে যার জন্য অ-থামানো অপ্রতিরোধ্য is এই প্রশ্নটি অনুরূপ, এমন কোনও টিএম রয়েছে যা সমস্ত ইনপুটগুলিতে থামে তবে সম্পত্তিটি প্রমাণযোগ্য নয় cs.se

— vzn

আপনি একটি টুরিং মেশিন নির্মাণ করতে পারেন $M$যা গুডস্টেইনের ক্রমকে গণনা করে $G(n)$ ইনপুট এর $n$ এবং এটি পৌঁছলে থামে $0$.এই থামছে $M$পেরানো পাটিগণিত প্রমাণ করা যায় না; অর্থ্যাৎ গুডস্টেইনের উপপাদ্যটি গাণিতিকের পিয়ানো অ্যাক্সিম ব্যবহার করে প্রমাণযোগ্য নয়। দেখুন লরি কারবি, জেফ প্যারিস, Peano গাণিতিক জন্য অ্যাক্সেসযোগ্য স্বাধীনতা ফলাফল (1982)

— Marzio ডি Biasi

ধন্যবাদ, আমি এই প্রবেশগুলি জানতাম না। আমি যা জিজ্ঞাসা করছি তা আরও শক্তিশালী, তবে আমি কোনও যুক্তিসঙ্গত তত্ত্বের (যেমন পিএর মতো নির্দিষ্ট তত্ত্বের চেয়ে) অপ্রতিরোধ্যতার কবিতা চাই । আমি নিশ্চিত না যদিও প্রশ্নের একটি নির্দিষ্ট উত্তর আছে কিনা।

— সুপার 8

Answer 1

একটি ট্যুরিং মেশিনের সমাপ্তি (একটি নির্দিষ্ট ইনপুটটিতে) হ'ল ক $\Sigma^0_1$ বাক্য এবং সমস্ত প্রথম ফার্স্ট-অর্ডের গাণিতিক তত্ত্বগুলি সম্পূর্ণরূপে $\Sigma^0_1$ বাক্য, সমস্ত সত্য $\Sigma^0_1$ বিবৃতি এই তত্ত্বগুলিতে প্রমাণযোগ্য।

আপনি তাকান তাহলে সম্পূর্ণতা স্থানে বিরাম , সমস্ত ইনপুট উপর অর্থাত একটি টি এম স্থগিত, তাহলে সেই একটি হল$\Pi^0_2$-সমর্থ্য বাক্য এবং যে কোনও গুণগত অক্ষরূপে ধারাবাহিক তত্ত্বের পক্ষে যথেষ্ট শক্তিশালী (যেমন রবিনসনের বলার প্রসারিত $Q$ তত্ত্ব) একটি টিএম আছে যার সম্পূর্ণতা সেই তত্ত্বে প্রমাণিত হতে পারে না।

Comments

হ্যাঁ, আমি সামগ্রিকতার সন্ধান করছিলাম, অবশ্যই সমস্যাটি একটি নির্দিষ্ট ইনপুটটির জন্য তুচ্ছ। আমি আপনার দাবির বিষয়ে এবং এটি কীভাবে প্রমাণ করব সে সম্পর্কে চিন্তা করব, তবে এই মুহুর্তে আমি দেখতে পাচ্ছি না যে "গণনাযোগ্য অডিওম্যাটাইজেবল" তত্ত্বগুলি বিবেচনা করে উল্লিখিত সমস্যাটিকে কীভাবে বাতিল করা যায়? এছাড়াও, আপনার বিবৃতিতে টিএম বিবেচিত তত্ত্বের উপর নির্ভর করে, আমরা কি কোনওরকম তিরস্কারের মাধ্যমে আমার দৃ statement় বক্তব্যটি পেতে পারি?

— সুপার 8

এখানে একটি সহজ উপায়: এই জাতীয় তত্ত্বের সম্ভাব্য মোট গণনীয় ফাংশনগুলির সেটটি সিএ, মোট গণনাযোগ্য ফাংশনগুলির সেটটি সিই নয়, অথবা বিকল্পভাবে আপনি তত্ত্বের সম্ভাব্য মোট ফাংশনগুলির বিরুদ্ধে তির্যক করতে পারেন।

— কাভেঃ

দ্বিতীয় চিন্তায়, আমি নীচে সমস্যার সীমাবদ্ধতা বিবেচনা করার পরামর্শ দিই। অর্ডিনাল নোটেশন সিস্টেম দেওয়া হয়েছে$\sigma$ একটি অর্ডিনাল উপস্থাপন $\alpha$, আমরা একটি সম্পর্কিত "প্রাথমিক তত্ত্ব" সংজ্ঞায়িত করতে পারি $\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$ যা স্থানান্তরিত অন্তর্ভুক্ত করতে সক্ষম করে $\alpha$। একটি টিএম দেওয়া হয়েছে$M$, আমরা তখন সংজ্ঞায়িত করব would $O(M)$ সবচেয়ে ছোট অর্ডিনাল হিসাবে $\alpha$ যেমন সমাপ্তি $M$ একটি তত্ত্ব দ্বারা প্রমাণ করা যেতে পারে $\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$(যেমন স্বরলিপি সিস্টেম অবাধে চয়ন করা যেতে পারে)। এই সংজ্ঞাটি কি অর্থবোধ করে?

— সুপার 8

@ সুপার 8, আমি নিশ্চিত নই সাধারণত তত্ত্বগুলির সাথে অধ্যাদেশগুলির সংঘটিত প্রচলিত নয়, এটি করার জন্য বিভিন্ন উপায় রয়েছে। আপনি পিআরএর মতো দুর্বল তত্ত্ব দিয়ে শুরু করতে পারেন এবং খুব ভাল মৌলিক অনুক্রমগুলি ইত্যাদির সাথে গণনাযোগ্য অর্ডিনালগুলিতে অন্তর্ভুক্ত করতে পারেন তবে আপনি কেন এটি করতে চান তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই।

— কাভেঃ

ঠিক আছে, আমি সমস্যাটি বুঝতে পারি নি, আমি নিজে থেকে আরও ভাল সংজ্ঞা দেওয়ার চেষ্টা করব।

— সুপার 8

Answer 2

আমি কোনও যুক্তি বিশেষজ্ঞ নই, তবে আমি বিশ্বাস করি উত্তরটি হ'ল না । যদি টুরিং মেশিনটি বন্ধ হয়ে যায় এবং সিস্টেমটি যথেষ্ট শক্তিশালী হয় তবে আপনার ইনপুটটিতে টুরিং মেশিনের সম্পূর্ণ গণনা ইতিহাস লিখতে সক্ষম হবেন। যখন কেউ যাচাই করে যে গণনার ফলাফল হ'ল রূপান্তরের একটি সমাপ্তি ক্রম, তখন কেউ দেখতে পাবে যে মেশিনটি থামছে। আপনি আপনার তত্ত্বটিতে ট্যুরিং মেশিনগুলিকে আনুষ্ঠানিকভাবে নির্বিশেষে নির্বিশেষে আপনার কোনও যুক্তিসঙ্গত তত্ত্বের মধ্যে এটি দেখাতে সক্ষম হওয়া উচিত যা কোনও মেশিন থামিয়ে দেয় যা আসলে বন্ধ হয়ে যায়। সাদৃশ্যের মাধ্যমে, প্রমাণ করার চেষ্টা করুন যে একটি সীমাবদ্ধ পরিমাণ এটির সমান যা সমান; উদাহরণস্বরূপ, 5 + 2 + 3 + 19 + 7 + 6 = 42, বা 5 + 5 + 5 = 15 প্রমাণ করুন। যতক্ষণ পদক্ষেপের সংখ্যা সীমাবদ্ধ ততক্ষণ এটি যেমন সর্বদা সম্ভব তেমনি একটি সীমাবদ্ধ গণনার ফলাফলও প্রমাণ করছে।

যেমন একটি অতিরিক্ত স্পষ্ট বক্তব্য - আপনার তত্ত্বটি অসঙ্গতিপূর্ণ হলেও আপনি এখনও দেখিয়ে দিতে পারেন যে মেশিনটি থামছে, আসলে তা না হলেও, যেহেতু আপনি কোনও বেমানান তত্ত্বের কোনও ডাব্লুএইচএফিকে প্রমাণ করতে পারেন, তা নির্বিশেষে হোক না কেন is আসলে সত্য।

Comments

আমি আপনার প্রথম বিষয়টির সাথে একমত, নীচে আমার উত্তর দেখুন। আপনার দ্বিতীয় বিষয় সম্পর্কে, একটি বেমানান তত্ত্ব একটি (প্রকৃতপক্ষে নির্বিঘ্নিত) টিএম এর সমাপ্তিও প্রমাণ করবে, যেখানেই ধারাবাহিক তত্ত্বগুলির প্রতিবন্ধকতা রয়েছে।

— সুপার 8

আমি মনে করি আমরা একই কথা বলছি; আমি কেবল লক্ষ্য করেছি যে আপনি প্রশ্নের "ধারাবাহিক" বলেছেন, এটি মিস করার জন্য দুঃখিত। আমি মনে করি কাভেহের উত্তর একই জিনিসগুলিকে .েকে দেয় এবং যাইহোক, আরও মার্জিতভাবে লিখিত।

— ফিলিপ হোয়াইট