একটি ট্রানজিটিভ সমাপ্তি / পথ অস্তিত্ব ওরাকল গণনা করা

Question

এখানে ট্রানজিটিভ সমাপ্তি সম্পর্কে কয়েকটি প্রশ্ন ( 1 , 2 , 3 ) রয়েছে যা আমাকে ভাবতে বাধ্য করে যে এরকম কিছু সম্ভব হলে:

অনুমান আমরা একটি ইনপুট নির্দেশ গ্রাফ পেতে "এবং ধরনের প্রশ্নের উত্তর দিতে চাই ?", অর্থাত জিজ্ঞাসা যদি একটি গ্রাফ সকর্মক সম্পূর্ণতে দু'রকমের মধ্যে একটি প্রান্ত বিদ্যমান ? (equivalently, "সেখান থেকে একটি পথ থেকে মধ্যে ?")।$G$$(u,v)\in G^+$$G$$u$$v$$G$

প্রদত্ত পরে ধরে নিন আপনাকে সময়ে প্রিপ্রোসেসিং চালানোর অনুমতি দেওয়া হবে এবং তারপরে টাইম প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে ।$G$$f(n,m)$$g(n,m)$

একথাও ঠিক যে, যদি (অর্থাত কোন প্রাক-প্রক্রিয়াকরণ অনুমতি দেওয়া হয়), আপনি কি করতে পারেন সময় একটি ক্যোয়ারী উত্তর । (থেকে DFS চালানোর থেকে এবং সত্য আসতে যদি একটি পাথ বিদ্যমান)।$f=0$$g(n)=\Omega(n+m)$$u$$v$

আর একটি তুচ্ছ ফলাফল হ'ল যদি , আপনি ট্রানজিটিভ ক্লোজার গণনা করতে পারেন এবং তারপরে প্রশ্নের উত্তর দিতে পারেন ।$f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})$$O(1)$

মাঝখানে কিছু কি? আপনি যদি অনুমতি পেয়ে থাকেন তবে প্রিপ্রসেসিংয়ের সময় বলুন, আপনি চেয়ে দ্রুত উত্তর দিতে পারবেন ? এটি উন্নত হতে পারে ?$f=n^2$$O(m+n)$$O(n)$

আর একটি ভিন্নতা হ'ল আপনার প্রিপ্রোসেসিং সময় রয়েছে তবে কেবল স্পেস রয়েছে, আপনি চেয়ে আরও দক্ষতার সাথে প্রশ্নের উত্তর দিতে প্রিপ্রোসেসিং ব্যবহার করতে পারেন ?$poly(n,m)$$o(n^2)$$O(n+m)$

আমরা ট্রেড অফ সম্পর্কে সাধারণভাবে কিছু বলতে পারি যা এই জাতীয় প্রশ্নের উত্তর দিতে দেয়?$f,g$

কিছুটা অনুরূপ ট্রেড অফ কাঠামো জিপিএস সিস্টেমে বিবেচনা করা হয়, যেখানে অবস্থানগুলির মধ্যে সমস্ত জোড় দূরত্বে একটি সম্পূর্ণ রাউটিং টেবিল রাখা অসম্ভব তাই এটি আঞ্চলিক টেবিল সংরক্ষণ করে এমন দূরত্বের ধারণাটি ব্যবহার করে তবে পুরো দূরত্বের গণনা করার ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য ক্যোয়ারী গতিবেগের অনুমতি দেয় গ্রাফ (সাধারণত পয়েন্টগুলির মধ্যে কেবল আনুমানিক দূরত্ব পাওয়া যায়)।

Comments

দুটি নোডের মধ্যে হামিং দূরত্ব $i$ এবং $j$ প্রবেশ করতে পারে $t$হপস আরও তথ্যমূলক মেট্রিক হতে পারে।

— চাদ ব্রিউবেকার

Answer 1

পরিকল্পনাকারী গ্রাফগুলির জন্য কমপ্যাক্ট পুনঃপ্রেরণযোগ্যতা ওরেগলগুলি বিদ্যমান,

মিক্কেল থারুপ: প্ল্যানার ডিগ্রাফগুলিতে পুনঃব্যবহারযোগ্যতা এবং আনুমানিক দূরত্বের জন্য কমপ্যাক্ট ওরাকল । জে এসিএম 51 (6): 993-1024 (2004)

তবে সাধারণ গ্রাফের জন্য "শক্ত" (এমনকি বিচ্ছিন্ন গ্রাফ)

মিহাই প্যাট্রাস্কু: সেল-প্রোব লোয়ার বাউন্ডের ল্যান্ডস্কেপকে একীকরণ করছে । সিয়াম জে। কম্পিউটার। 40 (3): 827-847 (2011)

তবুও, একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা ঘনিষ্ঠ থেকে অনুকূল পুনর্ব্যবহারযোগ্যতা লেবেল গণনা করতে পারে

এডিথ কোহেন, ইরান হাল্পেরিন, হাইম কাপলান, উরি জুইক: 2-হপ লেবেলের মাধ্যমে পুনঃব্যবস্থাপনা এবং দূরত্বের অনুসন্ধানগুলি । সিয়াম জে। কম্পিউটার। 32 (5): 1338-1355 (2003)

ম্যাক্সিম এ। বাবেঙ্কো, অ্যান্ড্রু ভি গোল্ডবার্গ, অনুপম গুপ্ত, বিশ্বনাথ নাগারাজন: হাব লেবেল অপ্টিমাইজেশনের জন্য অ্যালগরিদম । আইসিএএলপি 2013: 69-80

কোহেন এট আল এর কাজ উপর বিল্ডিং। এবং অন্যেরা, প্রয়োগের গবেষণা (ডাটাবেস সম্প্রদায়) এর বেশ কিছুটা আছে যেমন দেখুন

রুমিং জিন, গুয়ান ওয়াং: সাধারণ, দ্রুত এবং স্কেলযোগ্য পুনঃব্যবস্থাপনা ওরাকল । পিভিএলডিবি 6 (14): 1978-1989 (2013)

ইউসুক ইয়ানো, টাকুয়া আকিবা, যোইচি ইওয়াটা, ইউচি যোশিদা: ল্যান্ডমার্কগুলি এবং পাথগুলি ছাঁটাইযুক্ত লেবেলগুলি দ্বারা গ্রাফগুলিতে দ্রুত এবং স্কেলেবল পুনঃসারণযোগ্য প্রশ্নগুলি । সিআইকেএম 2013: 1601-1606

Answer 2

আমি আপনার প্রশ্নের আংশিক উত্তর দেব: এরকম নির্মাণ কেনা কঠিন হতে পারে তার কিছু কারণ রয়েছে বলে মনে হচ্ছে।

মনে করুন যে কোনও এন-নোড এম-এজ নির্দেশিত গ্রাফ দেওয়া হয়েছে আপনি এটি টি (এম, এন) সময়ে প্রিক্রোসেস করতে পারেন যাতে পুনঃব্যবহারযোগ্য প্রশ্নের উত্তরগুলি Q (m, n) সময়ে উত্তর দেওয়া যায়। তারপরে, উদাহরণস্বরূপ, আপনি একটি এন-নোড এম-এজ গ্রাফের মধ্যে একটি ত্রিভুজ খুঁজে পেতে পারেন$T(O(m),O(n))+n q(O(m),O(n))$সময়। অত: পর$T(m,n)=O(n^2)$ এবং $q(m,n)=O(n)$একটি যুগান্তকারী ফলাফল বোঝায়। ত্রিভুজ খুঁজে পাওয়ার জন্য আমাদের কাছে সেরা অ্যালগরিদম রয়েছে$O(n^\omega)$ সময় এবং এটি অস্পষ্ট কিনা $\omega=2$।

হ্রাসটি দেখতে, ধরুন আমরা কিছু গ্রাফে একটি ত্রিভুজ খুঁজে পেতে চাই $G$। এর 4 টি সেট 4-স্তরযুক্ত গ্রাফ তৈরি করুন$n$ প্রতিটি নোড $X,Y,Z,W$ যেখানে প্রতিটি আসল নোড $v$ ভিতরে $G$ কপি আছে $v_X,v_Y,v_Z,v_W$। এখন প্রতিটি প্রান্তের জন্য$(u,v)$ ভিতরে $G$ নির্দেশিত প্রান্ত যুক্ত করুন $(u_X,v_Y),(u_Y,v_Z),(u_Z,v_W)$। এটি গ্রাফটি সম্পূর্ণ করে। এখন ইন প্রিপ্রোসেসিং করা$T(O(m),O(n))$ সময়, এবং জিজ্ঞাসা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করুন $v_X,v_W$ প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য $v$।

সম্ভবত আরও কিছু কাজ করে কেউ একটি গ্রাফের ত্রিভুজগুলির তালিকাতেও হ্রাস পরিবর্তন করতে পারে (বর্তমানে এটি কেবলমাত্র ত্রিভুজগুলিতে নোডগুলি তালিকাভুক্ত করে)। যদি কেউ দক্ষতার সাথে এটি করতে পারে তবে 3SUM এর প্রয়োজনীয়তার উপর ভিত্তি করে কেউ শর্তসাপেক্ষে কিছুটা নিচের দিকে যেতে পারে$n^{2+o(1)}$ পাশাপাশি সময়, 2010 থেকে প্যাট্রস্কুর একটি ফলাফল ব্যবহার করে।