জটিলতা শ্রেণি অপারেটরদের জন্য একটি ভাল রেফারেন্স?

Question

জটিলতা শ্রেণি অপারেটরগুলি সম্পর্কে লেখার সময় আমি উল্লেখ করতে পারি এমন কোনও ভাল এক্সপোজিটরি নিবন্ধ বা সমীক্ষা উপস্থিত থাকলে আমি আগ্রহী : অপারেটরগুলি যা তাদের মধ্যে কোয়ানটিফায়ার যুক্ত করার মতো জটিলতা ক্লাসে রূপান্তরিত করে।

অপারেটরগুলির উদাহরণ

নিম্নলিখিতগুলি অপারেটরগুলির একটি খালি ন্যূনতম তালিকা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যা একটি উত্তর বর্ণনা করতে সক্ষম হওয়া উচিত। এখানে, $\mathbf C$ ভাষার একটি অবাধ সেট, একটি অবাধ সসীম বর্ণমালা শেষ হয়ে গেছে $\Sigma$ ।

$\exists \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\\quad \bigl[x \in L \iff \exists c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \bigr] \end{array} \right\}\right.$

• $\exists$ অপারেটর দৃশ্যতঃ ওয়াগনার [1] প্রবর্তন করেন স্বরলিপি যদ্যপি $\bigvee\! \mathbf C$ চেয়ে$\exists \mathbf C$ । এইভাবে নির্মিত শ্রেণীর সর্বাধিক বিখ্যাত উদাহরণ হ'ল$\mathsf{NP} = \exists \mathsf P$ । এই অপারেটর একটি পরিপূরক কোয়ান্টিফায়ার দিয়ে আসে$\forall$ , যাসংজ্ঞা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যা সহজেই সমগ্র বহুপদী অনুক্রমের সংজ্ঞায়িত করতে অনুমতি দেয়: উদাহরণস্বরূপ,। এটি সম্ভবত প্রথম অপারেটর হতে পারে যা সংজ্ঞায়িত হয়েছিল।$\exists c$$\forall c$$\mathsf{\Sigma_2^P P = \exists \forall P}$

$\oplus \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n)) \;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\bigl[x \in L \iff \#\{ c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \not\equiv 0 \pmod{2}\bigr]\end{array} \right\}\right.$

• $\oplus$ অপারেটর অনুরূপ $\exists$ মধ্যে অপারেটর যে $\oplus\mathbf C$ সার্টিফিকেট যা বিদ্যমান যে ক্লাসে যাচাইযোগ্য হয় সংখ্যা উদ্বেগ $\mathbf C$ , কিন্তু এর পরিবর্তে certficiates সংখ্যা মডিউল বড়, মোট ছাত্র $2$ । এই শ্রেণী বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যাবে $\mathsf{\oplus P}$ এবং $\mathsf{\oplus L}$ । " $\mathsf{Mod_k \cdot}$ " অনুরূপ অপারেটর অন্য মডুলি কে জন্য বিদ্যমান $k$।

$\mathsf{co}\mathbf C := \Bigl\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\Big|\, \exists A \in \mathbf C \;\forall x \in \Sigma^\ast: \bigl[x \in L \iff x \notin A \bigr] \Bigr\}$

• এটি পরিপূরক অপারেটর, এবং , , , এবং সম্পূর্ণ শ্রেণীর অধীনে বন্ধ রয়েছে বলে জানা যায় না এমন অন্যান্য শ্রেণীর সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয় ।সি ও এন পি সি ও সি = পি সি ও এম ও ডি কে$\mathsf{ coNP}$$\mathsf{coC_=P}$$\mathsf{coMod_kL}$

$\mathsf{BP}\cdot\mathbf C := \left\{ (\Pi_0, \Pi_1) \,\left|\, \begin{array}{l} \Pi_0, \Pi_1 \subseteq \Sigma^\ast \;\mathbin\&\; \exists A \in \mathbf C \; \exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\left[\begin{array}{l} \bigl(x \in \Pi_0 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \leqslant \tfrac{1}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \mathbin\& \\ \bigl(x \in \Pi_1 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \geqslant \tfrac{2}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \end{array}\right]\end{array}\right\}\right.$

- ব্যবধানের জন্য ক্ষমা চাই with

• অপারেটর দৃশ্যত Schöning প্রবর্তন করেন [2], যদিও ভাষা (অর্থাত তিনি একজন সম্ভাব্যতা ফাঁক অনুমতি না) এবং স্পষ্ট ধ্রুবক ব্যবহার না করেই সংজ্ঞায়িত করতে বা । সংজ্ঞা এখানে উৎপাদনের অঙ্গীকার-সমস্যার পরিবর্তে, হ্যা-দৃষ্টান্ত দিয়ে এবং কোন-দৃষ্টান্ত । দ্রষ্টব্য যে , এবং ; এই অপারেটর তোদা এবং Ogiwara [3] ব্যবহার করত দেখাতে হবে যে ।$\mathsf{BP}$$\tfrac{1}{3}$$\frac{2}{3}$$\Pi_1$$\Pi_0$$\mathsf{BPP = BP\cdot P}$$\mathsf{AM = BP\cdot NP}$$\mathsf{P^{\#P} \subseteq BP\cdot\oplus P}$

মন্তব্য

অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ অপারেটরগুলি যেগুলি স্ট্যান্ডার্ড ক্লাসগুলির সংজ্ঞা থেকে বিমূর্ত করতে পারে তারা হলেন (ক্লাস থেকে এবং ) এবং (ক্লাস থেকে এবং )। বেশিরভাগ সাহিত্যে এটিও অন্তর্নিহিত যে (সিদ্ধান্তের ক্লাস থেকে ফাংশন সমস্যা সৃষ্টি করে) এবং (সিদ্ধান্ত শ্রেণি থেকে গণনা ক্লাস ) জটিলতা অপারেটরও।$\mathsf{C_= \cdot\mathbf C}$$\mathsf{C_= P}$$\mathsf{C_= L}$$\mathsf C\cdot\mathbf C$$\mathsf{PP}$$\mathsf{PL}$$\mathsf{F\cdot}$$\#\cdot$

বোরচার্ট এবং সিলভেস্ট্রি [৪] এর একটি নিবন্ধ আছে যা প্রতিটি শ্রেণির জন্য একজন অপারেটরকে সংজ্ঞায়িত করার প্রস্তাব দেয় তবে এটি সাহিত্যে খুব বেশি উল্লেখ করা হয় বলে মনে হয় না; আমি এও উদ্বিগ্ন যে এই ধরনের একটি সাধারণ পদ্ধতির সূক্ষ্ম সংজ্ঞাযুক্ত সমস্যা থাকতে পারে। তারা পরিবর্তে কবলার, শেনিং এবং টোরেন [৫] এর একটি ভাল উপস্থাপনা উল্লেখ করে, যা এখন প্রায় ২০ বছরেরও বেশি বয়সী এবং এটিও অপসারণ থেকে বলে মনে হচ্ছে ।$\oplus$

প্রশ্ন

জটিলতা শ্রেণীর অপারেটরগুলির জন্য কোন বই বা নিবন্ধটি একটি ভাল রেফারেন্স?

তথ্যসূত্র

[1]: কে। ওয়াগনার, সংহত ইনপুট উপস্থাপনা , অ্যাক্টা ইনফর্মের সাথে সংযুক্ত সমস্যাগুলির জটিলতা । 23 (1986) 325–356।

[২]: ইউ.সি. শানিং, সম্ভাব্য জটিলতা ক্লাস এবং স্বল্পতা , প্রোকে। জটিলতা তত্ত্বের কাঠামোর বিষয়ে দ্বিতীয় আইইইই সম্মেলন, 1987, পৃষ্ঠা 2-8; জে.কম্পটেও সিস্টেম সায়।, 39 (1989), পৃষ্ঠা 84-100।

[3]: এস তোদা এবং এম। ওগিওয়ারা, গণনা ক্লাসগুলি কমপক্ষে বহু- সময়কালীন স্তরক্রম , সিয়াম জে.কম্পুট হিসাবে কম শক্ত। 21 (1992) 316–328।

[৪]: বি এবং বোরচার্ট, আর। সিলভেস্ট্রি, ডট অপারেটর , তাত্ত্বিক কম্পিউটার সায়েন্স ভলিউম 262 (2001), 501–523।

[৫]: জে.ক্যাবলার, ইউ। শ্যাকিং, এবং জে। টরন, গ্রাফ আইসোমরফিজম সমস্যা: এর স্ট্রাকচারাল জটিলতা, বীরখুজার, বাসেল (1993)।

Comments

একটি জটিলতা অপারেটরের ধারণার জন্য একটি উল্লেখযোগ্য পূর্বসূরী হ'ল চিকিত্সা: []]: এস জ্যাচোস, প্রব্যাবিলিস্টিক কোয়ানটিফায়ার্স , অ্যাডভারসিস এবং জটিলতা ক্লাস: একটি ওভারভিউ, প্রোক। জটিলতা তত্ত্ব মধ্যে কাঠামো সম্মেলন (pp.383--400), বার্কলে, ক্যালিফোর্নিয়া, 1986, যা সাথে উপরে Schöning [2] এর দ্বারা উদাহৃত হয় । $\mathsf{BP\cdot NP}$

— নিল দে বৌদ্রাপ

জাচোসের দ্বারা এটি আবারও সহায়তা করতে পারে: সম্মিলিত জটিলতা: জটিলতা ক্লাসে অপারেটরগুলি

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো

@ নীলদেবিউড্র্যাপ জাচোসই প্রথম যা জটিল শ্রেণি অপারেটরদের ধারণাটি নিয়ে এসেছিল। আমি তাঁর বক্তৃতাগুলি থেকে স্মরণ করি যা তিনি স্পষ্টভাবে এটি বলেছেন। এছাড়া সংখ্যাগুরু অপ্রতিরোধ্য জন্য এক, হয় । ${\exists^+}$

— তাইফুন পে

@ টেফুনপে: প্রকৃতপক্ষে, বর্ণনার []] (উপরে আমার মন্তব্যে) বর্ণিত দ্বি-পক্ষীয় ফর্মালিজম ব্যবহার করে বর্ণনা করার জন্য দরকারী । ∃ + বি পি $\exists^+$$\mathsf{BP\cdot}$

— নিল দে বৌদ্রাপ

@NieldeBeaudrap এছাড়া অন্য এক যে সীমাবদ্ধ দ্বি-পার্শ্বযুক্ত ত্রুটি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ${\exists _{1/2}}$

— তাইফুন পে

Answer 1

অপারেটরগুলির অনেক সংজ্ঞা সহ একটি রেফারেন্স এখানে রয়েছে (যদিও অনেকগুলি বিবরণ নেই):

এস। জাচোস এবং এ। প্যাগোর্টজিস, সম্মিলিত জটিলতা: জটিলতা ক্লাসে অপারেটরগুলি , চতুর্থ প্যানহেলেনিক লজিক সিম্পোজিয়ামের কার্যক্রিয়া (পিএলএস 2003), থেসালোনিকি, জুলাই 7-10 2003।

• এটি একটি পরিচয় অপারেটর সংজ্ঞায়িত ই , সেইসাথে অপারেটার গ ণ - এন (সংশ্লিষ্ট ∃ উপরে), বি পি , আর (বেষ্টিত একতরফা ত্রুটির সংশ্লিষ্ট), ⊕ , ইউ গ্রহণ (একটি অনন্য সঙ্গে অ নিয়তিবাদ সংশ্লিষ্ট ট্রানজিশন), পি (সীমাবদ্ধ দ্বি-পার্শ্বযুক্ত ত্রুটির সংশ্লিষ্ট), এবং Δ (যা একটি ক্লাসের জন্য সি ফর্ম সি ∩ গ ণ সি )।$\mathcal E$$\mathsf{co}$$\mathsf{N}$$\exists$$\mathsf{BP}$$\mathsf{R}$$\oplus$$\mathsf U$$\mathsf P$$\Delta$$\mathbf C$$\mathbf C \cap \mathsf{co}\mathbf C$

• এটি দেখায় যে:

  1. E রচনার সম্মতিতে একটি পরিচয় উপাদান [সংজ্ঞা 1];$\mathcal E$
  2. সি ও - স্ব-বিপরীত [সংজ্ঞা 2];$\mathsf{co}$
  3. এন হ'ল আদর্শবান [সংজ্ঞা 3] - অন্তর্নিহিত হ'ল বি পি , আর , ⊕ , ইউ এবং$\mathsf{N}$$\mathsf{BP}$$\mathsf{R}$$\oplus$$\mathsf U$$\mathsf{P}$ এছাড়াও idempotent হয়;
  4. সি ও এর সাথে বি পি এবং পি যাত্রা- [সংজ্ঞা ৪ এবং ৮], যখন while এরসাথে ডান-কম্পোজিশনের অধীনে$\mathsf{BP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{co}$$\oplus$ গ ণ - [সংজ্ঞা 6];$\mathsf{co}$
  5. উপরের অপারেটরগুলি সমস্ত মনোোটোন (এটি সি 1 ⊆) ⊆ সি 2⟹সমস্ত অপারেটরের জন্য ও ⋅ সি 1 ⊆ ও ⋅ সি 2${\mathbf C_1 \subseteq \mathbf C_2} \implies {\mathcal O\cdot\mathbf C_1 \subseteq \mathcal O\cdot\mathbf C_2}$$\mathcal O$ পরবর্তী):

সর্বত্র, এটি উপায়ে একটি থাবা যে এই অপারেটার যেমন ঐতিহ্যগত জটিলতা ক্লাস, সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত বর্ণনা Σ পি 2 পি , জেড পি পি , একজন এম , এম এ , ইত্যাদি$\mathsf{\Sigma^p_2 P}$$\mathsf{ZPP}$$\mathsf{AM}$$\mathsf{MA}$

Answer 2

কোনও জটিলতা অপারেটরের ধারণার (এবং ধারণাটির কিছু অ্যাপ্লিকেশন প্রদর্শনের জন্য) প্রবর্তনীয় রেফারেন্স হিসাবে, আমি এখনও অবধি সেরা খুঁজে পেয়েছি

ডি কোজেন, গণনা তত্ত্ব (স্প্রিংগার 2006)

যা গণনা সংক্রান্ত জটিলতা এবং সম্পর্কিত বিষয়গুলিতে বক্তৃতা নোটগুলি থেকে প্রাপ্ত। 187 পৃষ্ঠায় ("পরিপূরক বক্তৃতা জি: টোডোর উপপাদ্য"), তিনি অপারেটরগুলি সংজ্ঞায়িত করেছেন

• আর (ক্লাস আর পি তে যেমন বাউন্ডড একতরফা ত্রুটিযুক্ত এলোমেলো শংসাপত্রগুলির জন্য)$\mathsf R$$\mathsf{RP}$
• বি পি (সীমান্ত দ্বি-পার্শ্বযুক্ত ত্রুটিযুক্ত এলোমেলো শংসাপত্রগুলির জন্য, উপরে দেখুন)$\mathsf{BP}$
• পি (আনবাউন্ডেড ত্রুটিযুক্ত এলোমেলো শংসাপত্রের জন্য,উপরের মন্তব্যেসিএফ সি )$\mathsf P$$\mathsf C$
• ⊕ (একটি বিজোড় সংখ্যা শংসাপত্রের জন্য, উপরে দেখুন)$\oplus$
• Σ পি ( বহুতল দৈর্ঘ্যের শংসাপত্রের অস্তিত্বের জন্য, সিএফ ∃ উপরে)$\Sigma^{\mathrm{p}}$$\exists$
• Σ ঠ ণ ছ (অস্তিত্বের হে ( লগ ঢ ) -length শংসাপত্র রয়েছে, CF ∃ উপরে)$\Sigma^{\mathrm{log}}$$O(\log n)$$\exists$
• Π পি এবং Π এল ও জি (পরিপূরক অপারেটরগুলি Σ পি এবং Σ এল ও জি :উপরে re উপর মন্তব্য দেখুন)$\Pi^{\mathrm{p}}$$\Pi^{\mathrm{log}}$$\Sigma^{\mathrm{p}}$$\Sigma^{\mathrm{log}}$$\forall$
• # (উপরে গণনা শ্রেণীর সংজ্ঞা, সিএফ মন্তব্য উপরে)$\#$

এবং অঘোষিতভাবে সংজ্ঞায়িত গ ণ - স্বাভাবিক ভাবেই পৃষ্ঠা 12 তে।$\mathsf{co\text-}$

এই অপারেটরগুলির সাথে কোজেনের চিকিত্সা কেবল "সাধারণ" জটিলতার ক্লাসগুলির সাথে কীভাবে সংযুক্ত রয়েছে তা বোঝাতে এবং টোডের উপপাদ্য বর্ণনা করার জন্য যথেষ্ট, তবে তাদের সম্পর্কের বিষয়ে খুব বেশি আলোচনা করে না এবং কেবলমাত্র মোট 6 পৃষ্ঠাগুলির জন্য তাদের উল্লেখ করেছে (সর্বোপরি কী আছে অনেক বিস্তৃত বিষয়কে আচ্ছাদন করে একটি বই)। আশা করি এর চেয়ে ভাল রেফারেন্স কেউ দিতে পারেন।