প্ল্যানার গ্রাফগুলির কোন বৈশিষ্ট্য উচ্চতর মাত্রা / হাইপারগ্রাফগুলিতে সাধারণীকরণ করে?


12

একজন প্ল্যানার গ্রাফ গ্রাফ যা সমতল এমবেড করা যেতে পারে, উত্তরণ প্রান্ত থাকার ছাড়া হয়।

যাক একটি হতে -uniform-hypergraph, অর্থাত্ একটি hypergraph যেমন আকার ট যে তার সব hyperedges আছে।G=(X,E)k

বিমানে হাইপারগ্রাফগুলি এম্বেড করার বিষয়ে কিছু কাজ হয়েছে (গুচ্ছ বা অন্য কোনও প্রয়োগের প্রসঙ্গে) তবে প্রায়শই, কেবলমাত্র ডেটা বিমানে এম্বেড করা যায় না। সমাধানটি হ'ল এটি হ'ল এটি কিছুটা লোকসান সহ জোর করে নেওয়া, বা আমি এখানে পরামর্শ হিসাবে এটি উচ্চ মাত্রায় এম্বেড করতে পারি:

Planarity (আইএমও, অন্তত) একটি প্রাকৃতিক এক্সটেনশান একটি " -simple-এম্বেডিং" এর (এটা জন্য একটি পরিচিত ভিন্ন নাম রয়েছে?) জি : একটি এম্বেডিং এম : এক্স আর বিদ্যমান আছে যেমন যে পৃষ্ঠতলের যা সংযুক্ত হন তখন, প্রতিটি হাইপারডজের সমস্ত উল্লম্বগুলি এবং এন্ডপয়েন্টগুলি ব্যতীত ছেদ করে না।kGM:XRk

(2 ডি তে এনালগের কথা চিন্তা করুন, যেখানে প্রতিটি পৃষ্ঠ আপনার পছন্দ মতো আঁকতে পারে এমন এক প্রান্ত))

এখানে 3-ইউনিফর্ম-হাইপারগ্রাফের বৈধ 3-সাধারণ-এম্বেডিংয়ের একটি উদাহরণ's (প্রতিটি ভার্টেক্সটি এতে থাকা হাইপারডিজ দ্বারা বর্ণযুক্ত, এবং প্রতিটি মুখ একটি হাইপারডিজ উপস্থাপন করে)।

উদাহরণস্বরূপ এম্বেডিং

3-সরল গ্রাফের আরেকটি উদাহরণ হ'ল 5 টির উপরে সম্পূর্ণ 3-ইউনিফর্ম-হাইপারগ্রাফ । এটি সহজেই আর 3 তে 4 পয়েন্ট নিন যা 2 ডি বিমানের মধ্যে পড়ে না, একটি ত্রিভুজাকার পিরামিড (তাদের উত্তল হাল) তৈরি করুন এবং পিরামিডের মাঝখানে পঞ্চম বিন্দুটি রাখুন এবং এটি অন্য শীর্ষে সংযুক্ত করে।G=(V,V×V×V)R3

একইভাবে, দেখে মনে হয় যে 6 টি শীর্ষে সম্পূর্ণ 3-ইউনিফর্ম-হাইপারগ্রাফের 3-সাধারণ-এমবেডিং নেই।

প্ল্যানার গ্রাফগুলির কয়েকটি খুব দরকারী বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা গ্রাফ প্ল্যানার হওয়ার সময় হার্ড সমস্যার জন্য উন্নত অ্যালগরিদমগুলিকে অনুমতি দেয়। দুর্ভাগ্যক্রমে, ডেটা প্রায়শই পরিকল্পনাকারী হয় না, যদিও কখনও কখনও এটি নিম্ন মাত্রিক হয়। আমি মনে করি যে প্ল্যানার গ্রাফগুলির কোন বৈশিষ্ট্যগুলি সাধারণীকরণ করা হয়েছে তা বুঝতে আমাদের একই সরঞ্জামের সাহায্যে কোন অ্যালগরিদমগুলি উচ্চ মাত্রার জন্য মানিয়ে নেওয়া যায় তা নির্ধারণ করতে সহায়তা করবে।

কোনও সম্পত্তি যা দরকারী হতে পারে তার উদাহরণ ফ্যোরির উপপাদ্য থেকে আসে যা প্রস্তাব করে যে প্রতিটি প্ল্যানার গ্রাফ এমনভাবে এমবেড করা যেতে পারে যে এর সমস্ত প্রান্তটি সরলরেখার অংশ।

k

জেনারালাইজড করা যায় এমন অন্য কোনও সম্পত্তি কি আছে? উদাহরণস্বরূপ, প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য অয়লারের সূত্রটি কি কোনওভাবে উচ্চতর মাত্রায় সাধারণ করা যেতে পারে? (যদিও এই মুহুর্তে আমি এর অর্থ কী হবে তা নিশ্চিত নই))

উত্তর:


8

প্রথম মন্তব্য হিসাবে, আপনার ফোকাস হাইপারগ্রাফগুলিতে রয়েছে বলে মনে হয় তবে আমি মনে করি হাইপারগ্রাফ এম্বেড করা সম্পর্কিত বেশিরভাগ সাহিত্যই সরল জটিলগুলির সাথে কাজ করা পছন্দ করে। এই প্রশ্নগুলির একটি ভাল রেফারেন্স হ'ল মাতোসেক, ট্যান্সার এবং ওয়াগনারের এই কাগজ

ফিরির উপপাদ্যটি কি উচ্চ মাত্রায় ধারণ করে?

উত্তর না হয়।

এমবেডডিবিলিটিটির আসলে 3 টি আলাদা ধারণা রয়েছে: স্ট্রেইট, টুকরোজ-লিনিয়ার এবং অবিচ্ছিন্ন (হাইপার) -ডেজ সহ। বিমানে, তারা সকলে মিলে যায়, তবে সাধারণভাবে তারা তা করে না। সরলরেখার এম্বেডিংগুলি সম্পর্কে, প্রথম প্রতি-উদাহরণ ব্রেহমের কারণে

ব্রহ্ম, ইউ। (1983)। একটি ননপলিহেড্রাল ট্রায়াঙ্গুলেটেড এমবিয়াস স্ট্রিপ। Proc। আমের। ম্যাথ। সস।, 89 (3), 519–522। ডোই: 10.2307 / 2045508

এবং ম্যাট্রয়েড তত্ত্ব থেকে ফলাফলগুলি ব্যবহার করে বেশ কয়েকটি উদাহরণ অনুসরণ করেছে।

পিএল এবং টপোলজিকাল এম্বেডিংয়ের মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে, হাউপটভারমুটং থেকে উত্পন্ন সাধারণ পাল্টা উদাহরণগুলির থেকে এই ফলাফল : 5 এবং আরও বেশি মাত্রায়, টপোলজিক্যাল গোলকগুলি রয়েছে যা কোনও অংশবিশেষ-লিনিয়ার কাঠামোকে স্বীকার করে না exist

জেনারালাইজড করা যায় এমন অন্য কোনও সম্পত্তি কি আছে? উদাহরণস্বরূপ, প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য অয়লারের সূত্রটি কি কোনওভাবে উচ্চতর মাত্রায় সাধারণ করা যেতে পারে?

k

একইভাবে, মনে হচ্ছে 6 টি শীর্ষে সম্পূর্ণ 3-হাইপারগ্রাফের 3-সহজ-এম্বেডিং নেই।

প্রকৃতপক্ষে, ভ্যান কাম্পেন-ফ্লোরস বাধা থেকে এই ফলাফল। মাতোসেকের বই ব্যবহার করে বোরসুক উলাম থিয়েরামটিতে এটি উল্লেখযোগ্য বিশদ এবং স্পষ্টতার সাথে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।


8

ওহ ওহ। আপনি খুব যত্নশীল হতে চান। 3 ডি মধ্যে উত্তল পলিটপের যোগাযোগের গ্রাফ যে কোনও গ্রাফ উপলব্ধি করতে পারে। আশ্চর্যজনকভাবে, চক্রটি এন পলিটোপগুলি দ্বারা উপলব্ধ করা যেতে পারে যেগুলি একই পলিটোপের (মাইন্ড বগলস) এর অনুলিপি করা হয় rot এই কাগজটি দেখুন:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

এটি ইতিমধ্যে বোঝাচ্ছে যে আপনি 3 ডি তে ত্রিভুজগুলির ছেদ গ্রাফ হিসাবে বেশ বাজে গ্রাফগুলি এনকোড করতে পারেন। এই কাগজের বিভাগ 4 দেখুন:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

বিটিডাব্লু, আমি জ্যামিতিক ছেদ গ্রাফটি কীভাবে আচরণ করে তা বোঝার চেষ্টা করে আপনার সমস্যার অনুরূপ সংস্করণে আগ্রহী ...


4

শ্নইদার থিওরেম বলে যে একটি গ্রাফ প্ল্যানার হয় যদি এর প্রসেসের পোসেটের মাত্রা সর্বাধিক ৩ থাকে তবে এটি মেন্ডিজের মাধ্যমে স্বেচ্ছাসেবী সরল জটিলগুলিতে বাড়ানো হয়েছে (দেখুন "সরলিক জটিলগুলির জ্যামিতিক উপলব্ধি", গ্রাফ অঙ্কন 1999: 323-332)। আশ্চর্যজনকভাবে যথেষ্ট একটি একই জাতীয় শিরোনাম "একটি আধা-সরল জটিল জ্যামিতিক অনুধাবন" সহ একটি পুরানো কাগজ রয়েছে, তবে আমি সন্দেহ করি যে এটি অন্য কোনও বিষয়ে।


3

খুব গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি: গাছ-প্রস্থ দ্বৈততা।

উদাহরণস্বরূপ দেখুন: হাইপার-গ্রাফের গাছের প্রস্থ এবং ফ্রেডেরিক মাজনয়েট দ্বারা পৃষ্ঠের দ্বৈততা,

বিমূর্তটি নিম্নরূপ:

তৃতীয় গ্রাফ মাইনার্সে রবার্টসন এবং সিমুর লিখেছেন: "মনে হচ্ছে প্ল্যানার গ্রাফের গাছের প্রস্থ এবং এর জ্যামিতিক দ্বৈত গাছের প্রস্থ প্রায় সমান, প্রকৃতপক্ষে, আমরা নিজেদেরকে নিশ্চিত করেছি যে তারা বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই পৃথক।" তারা এর প্রমাণ কখনও দেয়নি। এই কাগজটিতে, আমরা সাধারণ পৃষ্ঠতলগুলিতে হাইপারগ্রাফগুলি এম্বেড করার জন্য এই বিবৃতিটির একটি সাধারণীকরণ প্রমাণ করি এবং আমরা প্রমাণ করি যে আমাদের বাঁধা শক্ত।

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf


1
পার্শ্ববর্তী মন্তব্য হিসাবে, এই দ্বৈত সম্পত্তিটির প্রমাণ প্রথমে ডি পি ল্যাপয়ের তার পিএইচডি থিসিসে (বি। কাউর্সেলের নির্দেশে) দাবি করেছিলেন। প্রমাণটি আমি সঠিক হলে হাইপারম্যাপ পুনরায় লেখার কৌশলগুলি ব্যবহার করে।
সুপার 8

@ সুপার 8, এটি আকর্ষণীয়, আপনার কি পিএইচডি থিসিসের একটি উল্লেখ রয়েছে (নিশ্চিত যে আমি এটি সম্পর্কে অনুসন্ধান করতে পারি, তবে আপনি যদি আরও তথ্য সরবরাহ করেন তবে আরও সুবিধাজনক)।
Saeed

GG
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.