3 টি ফলাফল সহ এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য চেরনফ-টাইপ বৈষম্য

Question

মনে করুন আমাদের কাছে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল রয়েছে যা অ-সংখ্যাসূচক মান a, b, c গ্রহণ করে এবং কীভাবে অনুশীলনমূলক বিতরণটির পরিমাণ নির্ধারণ করতে চায় $n$এই পরিবর্তনশীল নমুনা সত্য বিতরণ থেকে বিচ্যুত। নিম্নলিখিত অসমতা ( কভার এবং থমাস থেকে ) এই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

উপপাদ্য 12.4.1 (স্যানভের উপপাদ্য): আসুন $X_1, X_2, \ldots, X_n$ আইআইডি $\sim Q(x)$।
দিন$E \subseteq \mathscr{P}$সম্ভাবনা বিতরণের একটি সেট হতে হবে। তারপর

$$Q^n(E) = Q^n(E \cap \mathscr{P}_n) \leq (n+1)^{|\mathcal{X}|}2^{-nD(P^*||Q)},$$ কোথায় $$P^* = \arg\min_{P \in E} D(P||Q),$$ এর বিতরণ যা আপেক্ষিক এনট্রপিতে নিকটতম ।$E$$Q$

এই অসমতা ছোট জন্য বেশ আলগা । বাইনারি ফলাফলের জন্য, , এবং চেরনফ-হফিংডিং আবদ্ধ হওয়া আরও কঠোর।$n$$|\mathcal{X}|=2$

জন্য কি একইভাবে কড়া বাঁধা ?$|\mathcal{X}|=3$

Comments

আমি বিশ্বাস করি আপনি পরিবর্তন করতে পারেন | এক্স | to | X | -1, কারণ পদ্ধতিগুলি ওগ প্রকারের মধ্যে "শেষ প্রকার", আপনি একবার বাকীটি জানার পরে দেওয়া হয়।

— টমাস আহলে

Answer 1

আপনি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করে মোটামুটি ভাল সীমানা পেতে পারেন যা এবং শূন্য অন্যথায় ( ট্রায়ালগুলির মধ্যে এবং বিভাগগুলিতে রয়েছে)। কোন ফিক্সড বা অপরিবর্তিত স্বাধীন এবং সেইজন্য হয় Chernoff সীমা ব্যবহার বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। তারপরে উপর আবদ্ধ ইউনিয়ন করুন ।$Y_{ij}$$X_i = j$$1 \le i \le n$$1 \le j \le 3$$j$$Y_{ij}$$\sum_i Y_{ij}$$j$

যদি উপরেরটি পর্যাপ্ত না হয় তবে আমি প্রস্তাব দিচ্ছি যে আপনি বল এবং বিনের মডেলটি দেখুন যেমন আপফাল এবং মিতেনম্যাচারের পাঠ্যপুস্তকে। সেই মডেলটি আপনার মতোই, তবে কিছু আপনার বাক্সে অন্যের চেয়ে বেশি বল জমে যাওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে, তাই না? সেই মডেলটিতে পয়সন অনুমানের সাথে জড়িত আরও কিছু পরিশীলিত কৌশল রয়েছে যা সম্ভবত অ-ইউনিফর্ম বিন সম্ভাবনার সাথে আপনার সেটিংয়ের ক্ষেত্রে প্রসারিত হবে।

Answer 2

চেরনফ হয়েফিং সীমানা সম্পর্কে কিছুই নেই যা বুলিয়ান ভেরিয়েবলগুলির জন্য নির্দিষ্ট। তাহলে বাস্তব র্যান্ডম ভেরিয়েবল সঙ্গে মূল্যবান IID হয় আপনি আবেদন করতে পারেন একটি Chernoff আবদ্ধ। একটি ভাল রেফারেন্স হ'ল "র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদমের বিশ্লেষণের জন্য পরিমাপের ঘনত্ব" ( http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.120.2561&rep=rep1&type=pdf )$X_1,\ldots,X_n$$0 \leq X_i \leq 1$

Comments

আমি আসল-মূল্যবান ভেরিয়েবলের চেয়ে শ্রেণীবদ্ধে আগ্রহী, একটি স্পেসিফিকেশন যুক্ত করেছেন

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ