পাই এর গণনা জটিলতা

Question

দিন

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

(যেখানে বাইনারি হিসাবে এনকোড হিসাবে ভাবা হয়)। তাহলে আমরা গণনামূলক জটিলতা সম্পর্কে কী বলতে পারি ? এটা যে পরিষ্কার । এবং যদি আমি ভুল না হয়ে থাকি তবে কোসিলিনিয়ার সময় এবং মেমরির জন্য without বিট গণনা করার জন্য আশ্চর্যজনক "বিবিপি-টাইপ" অ্যালগরিদম পূর্ববর্তী বিট, ফলন ।$n$$L$$L\in\mathsf{EXP}$$n^{th}$$\pi$$(\log n)^{O(1)}$$L\in\mathsf{PSPACE}$

আমরা কি আরও ভাল করতে পারি, এবং গণনাক্রমক্রমকে (বলি) রাখতে পারি? অন্য দিকে, জন্য যা কিছু আছে তার কি (এমনকি একটি অত্যন্ত দুর্বলও, যেমন দৃness়তা)?$L$$L$$\mathsf{TC}^0$

একটি আকর্ষণীয় সম্পর্কিত ভাষা হয়

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

(আবার কোথায়, বাইনারি লেখা হয়) আমাদের আছে$t$

$L' \in \mathsf{NP}^L$

এবং সেইজন্য ; আরও ভাল কিছু জানা থাকলে আমি অত্যন্ত আগ্রহী হব।$L' \in \mathsf{PSPACE}$

Comments

(1) কারণ হ'ল সর্বাধিক বিখ্যাত ট্রান্সসেন্টেন্টাল সংখ্যা এবং এটি সম্পর্কে অনেক কিছু জানা যায়। (২) কারণ আমি একটি দৃ concrete় উদাহরণ চেয়েছিলাম। (আমি অবশ্যই , ইত্যাদি সম্পর্কিত সাদৃশ্যমূলক প্রশ্নগুলিতে খুব আগ্রহী হব , উত্তরগুলির যে পরিমাণে পৃথক হোক।) (3) কারণ চৈতিনের , আমি ইতিমধ্যে উত্তরটি জানি : যথা, বাইনারি অঙ্কের গণনা অসমর্থনীয়! (এবং আমি অনুমান করছি যে একটি হ্রাস দেওয়া সম্ভব এটি দেখানো হচ্ছে যে qu ... কেউ কীভাবে দেখবে?) পরবর্তী অনুসন্ধানের সমস্যাটিও আপত্তিজনক নয়$\pi$$e$$\sqrt{2}$$\Omega$$n^{th}$$\Omega$

— স্কট অ্যারনসন

@ScottAaronson, আমি মনে করি আমরা উপর পুনরুক্তি করতে পারেন সব স্ট্রিং দৈর্ঘ্যের এবং জিজ্ঞাসা যদি হয় ভাষায়; এটি আমাদেরকে প্রথম বিট দেয় । $x$$t$$\langle x, t \rangle$$t$$\Omega$

— usul

আমার অনুরূপ "সংখ্যা-তত্ত্ব-শৈলী" ভাষা রয়েছে: :-)$L = \{ n \mid \text{ the second lower bit of the }n\text{-th prime number is } 1\}$

— মারজিও ডি বিয়াসি

যাইহোক, আমি ওয়েইরাচকে পরীক্ষা করেছিলাম, সেকশন 7.2 এর শেষে এটি বলেছে যে স্বাক্ষরিত- ডিজিট উপস্থাপনা ব্যবহার করে এ এ অনুমতি দিচ্ছে ম বিট ফাংশন এবং তাদের সময় গণনা করা যায় ছাড়াও এবং তাদের ডোমেনের কম্প্যাক্ট সাব-সেট নির্বাচন একটি অঙ্ক) হিসেবে। ( হ'ল বাইনারি সংখ্যার গুণনের জটিলতা))$t_m(n) \lg n$$-1$$0$$1$$t_m$

— কাভেঃ

cs.nyu.edu/exact/doc/pi-log.pdf

— sdcvvc

Answer 1

ঠিক আছে, জেমস লি আমাকে সামির দত্ত এবং রামেশ্বর প্রতাপের এই ২০১১ সালের গবেষণাপত্রে দেখিয়েছেন , যা প্রমাণ করে যে আমার ভাষা ( এর অঙ্কগুলি এনকোডিং ) চতুর্থ স্তরে ( ; কাগজে একটি অনুপস্থিত out চিহ্নিত করার জন্য নীচে সামিডিকে ধন্যবাদ , যা আমি কেবল আমার উত্তরে পুনরাবৃত্তি করলাম! )। যুক্তিযুক্ত সংখ্যাগুলির বাইনারি অঙ্কগুলি গণনা করার জটিলতায় কাগজটি আমার নিম্ন সীমা সম্পর্কে স্পষ্টভাবে আলোচনা করে, যদিও এটি কেবল যুক্তি সংখ্যার বাইনারি অঙ্কগুলি গণনা করার জন্য খুব দুর্বল নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করতে পরিচালিত হয় । আমি ঠিক এটিই খুঁজছিলাম।$L$$\pi$$\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$$\mathsf{PP}$

আপডেট (3 এপ্রিল): counting এর অঙ্কগুলির গণনাক্রমক্রমের হওয়ার মজাদার ফলাফল নিম্নরূপ। ধরুন যে একটি সাধারণ সংখ্যা (যার বাইনারি সম্প্রসারণ দ্রুত "কার্যকরভাবে এলোমেলো" রূপান্তরিত হয়), এবং ধরুন যে (কেবলমাত্র একটি ছোট ওভারহেড জড়িত সিমুলেশন সহ)। তারপরে আপনার কম্পিউটারের সন্ধান করা সম্ভব হবে, উদাহরণস্বরূপ, এর বাইনারি সম্প্রসারণে শেক্সপিয়ারের সম্পূর্ণ কাজগুলির প্রথম ঘটনা । যে শব্দ আপনাকে কিম্ভুতকিমাকার, তারপর হয়তো এটা অতিরিক্ত প্রমাণ হিসাবে গ্রহণ করা উচিত যে । :-)$\pi$$\pi$$\mathsf{P} = \mathsf{PP}$$\pi$$\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$

Comments

ঠিক আছে, তবে এটি বলছে যে এটি করার আগে আমাকে 5 ঘন্টা অপেক্ষা করতে হবে!

— স্কট অ্যারনসন

BTW, কাগজ উপরে উল্লিখিত মূলত সমস্যা হ্রাস এবং ভুল আবদ্ধ উদ্ধৃতি হিসাবে। সর্বাধিক পরিচিত বর্তমানে here এখানে প্রদর্শিত হিসাবে দেখায়: eccc.hpi-web.de/report/2013/177বি i টি এস এল পি পি এইচ পি পি পি পি পি এইচ পি পি পি পি পি $\mathsf{BitSLP}$$\mathsf{PH^{PP^{PP}}}$$\mathsf{PH^{PP^{PP^{PP}}}}$

— সামিডি