আপনি একতাবদ্ধতা স্থগিত করলে সঠিক "কোয়ান্টাম" কম্পিউটিংটি কতটা শক্তিশালী?

সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন।

"কোয়ান্টাম" সার্কিটগুলির গণ্য শক্তি কী, যদি আমরা অ-একক (তবে এখনও অবিরত) গেটগুলি অনুমতি দিই এবং আউটপুটটিকে নিশ্চিত করে সঠিক উত্তর দেওয়ার প্রয়োজন হয়?

এই প্রশ্নটি যখন আপনি সার্কিটগুলি কেবলমাত্র একক গেটের চেয়ে বেশি ব্যবহার করার অনুমতি দেবেন তখন class শ্রেণীর কী হয় সে সম্পর্কে এক অর্থে এই প্রশ্নটি । (আমরা যদি এখনও গণনার একটি সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞায়িত মডেল রাখতে সক্ষম হতে চাই তবে আমরা আমাদের নিজেদেরকে ওভার অবিশ্বাস্য গেটগুলিতে সীমাবদ্ধ রাখতে বাধ্য হই )) $\mathsf{EQP}$ $\mathbb C$

(ইউনিটরির ক্ষেত্রে এই জাতীয় সার্কিট সম্পর্কে পরিচিত ফলাফল সম্পর্কে আমার পক্ষ থেকে কিছু বিভ্রান্তির আলোকে এই প্রশ্নটি কিছু সংশোধন করেছে।)

প্রায় "সঠিক" কোয়ান্টাম গণনা

আমি সংজ্ঞায়িত $\mathsf{EQP}$ সমস্যার যা ঠিক একটি অভিন্ন কোয়ান্টাম বর্তনী পরিবার, যেখানে প্রতিটি ঐকিক এর কোফিসিয়েন্টস দ্বারা গণনীয় দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে বর্গ হতে এই প্রশ্ন অনুরোধে জন্য বহুপদী সময় বেষ্টিত টুরিং মেশিন (ইনপুট স্ট্রিং থেকে $1^n$ ) প্রতিটি ইনপুট আকারের জন্য $n$ , এবং নির্দেশিত নেটওয়ার্ক হিসাবে সার্কিটের বিন্যাসটি বহুপদী সময়েও উত্পাদিত হতে পারে। দ্বারা "ঠিক" মীমাংসিত আমি বলতে চাচ্ছি যে আউটপুট বিট উৎপাদনের পরিমাপ $|0\rangle$ কোনও জন্য নিশ্চিতভাবে এবং $|1\rangle$ হ্যাঁ উদাহরণগুলির জন্য নিশ্চিততার সাথে।

আদেশ সহকারে:

এমনকি একক গেটে সীমাবদ্ধ , of এর এই ধারণাটি কোয়ান্টাম ট্যুরিং মেশিন ব্যবহার করে বার্নস্টেইন এবং ওয়াজিরানি বর্ণিত বর্ণনার থেকে পৃথক। উপরের সংজ্ঞাটি একটি সার্কিট পরিবারকে principle নীতিগতভাবে একটি সীমাহীন গেট সেট করতে দেয় - প্রতিটি পৃথক সার্কিট কেবল একটি সীমাবদ্ধ সাবসেট ব্যবহার করে, অবশ্যই - কারণ গেটগুলি ইনপুটগুলি থেকে কার্যকরভাবে কার্যকর হয়। (একটি কোয়ান্টাম ট্যুরিং মেশিন আপনার পছন্দসই যে কোনও সীমাবদ্ধ গেট সেট অনুকরণ করতে পারে তবে কেবল সীমাবদ্ধ গেট সেটগুলি অনুকরণ করতে পারে, কারণ এতে কেবল সীমাবদ্ধ সংখ্যার স্থান রয়েছে)) $\mathsf{EQP}$ $\{ C_n \}$ $C_n$
গণনার এই মডেলটি কোনও সমস্যা তুচ্ছ করে , কারণ এমন একটি একক গেট থাকতে পারে যা তে যে কোনও সমস্যার সমাধানকে হার্ড-কোড করে (এর -টাইম গণনার পরে নির্ধারিত হয়)। সুতরাং সমস্যার নির্দিষ্ট সময় বা স্থান-জটিলতা এই জাতীয় সার্কিটগুলির জন্য অগত্যা আকর্ষণীয় নয়। $\mathsf P$ $\mathsf P$

আমরা এই সতর্কতামূলক পর্যবেক্ষণগুলিতে যুক্ত করতে পারি যে কোয়ান্টাম কম্পিউটারগুলির ব্যবহারিক প্রয়োগগুলি যেভাবেই শুনতে পাবে। গুনতি এই মডেল তাত্ত্বিক কারণে প্রাথমিকভাবে আকর্ষণীয় , সম্ভবপর গণনার পরিবর্তে ঐকিক রূপান্তরের রচনা সঙ্গে সংশ্লিষ্ট এক হিসাবে, এবং এছাড়াও একটি সঠিক সংস্করণ হিসেবে । বিশেষ করে, উপরে আদেশ সহকারে সত্ত্বেও, আমরা । $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP}$

সংজ্ঞা কারণ পথ আমি কি যে বিযুক্ত-log মধ্যে রেখে দেওয়া যেতে পারে তাই হয় । [ মোসকা + জালকা ২০০৩ ] এর মাধ্যমে, একক সার্কিট নির্মাণের জন্য বহু-কাল-অ্যালগরিদম রয়েছে যা ইনপুট মডিউলটির উপর নির্ভর করে কিউএফটি-র সঠিক সংস্করণ তৈরি করে ডিস্ক্রিটি-লোগের উদাহরণগুলি ঠিক সমাধান করে। আমি বিশ্বাস করি যে গেটের যেভাবে গণনা করা হয় সেভাবে সার্কিট-নির্মাণের উপাদানগুলিকে এমবেড করে আমরা উপরে বর্ণিত হিসাবে into এ ডিসক্রিটি-লোগ লাগাতে পারি । (সুতরাং D ফলাফল অকার্যকর- মূলত দ্বারা ধারণ করে তবে মোসকা + জালকা নির্মাণের উপর নির্ভর করে)) $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$ $\in \mathsf{EQP}$

স্থগিত করা একতা

যাক গণনীয় বর্গ যে আমরা যদি আমরা সীমাবদ্ধতা হল দরজা ঐকিক হতে সাসপেন্ড পেতে, হতে হবে এবং তাদের বিপরীত রূপান্তরের ওভার বিস্তার করার অনুমতি দেয়। আমরা কি এই শ্রেণিটি (বা এমনকি এটির বৈশিষ্ট্যযুক্ত) অন্যান্য traditional অ- ক্লাস- পারি? $\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$ $\mathbf C$

আমার জিজ্ঞাসার অন্যতম কারণ: যদি "অ-একক কোয়ান্টাম" সার্কিট পরিবারগুলির দ্বারা ত্রুটি সহ দক্ষতার সাথে সমাধানযোগ্য সমস্যার শ্রেণি হয় - যেখানে YES উদাহরণগুলি আউটপুট দেয় $\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}$ $|1\rangle$ সম্ভাব্যতার সাথে কমপক্ষে 2/3 ভাগ করুন, এবং সর্বাধিক ১/৩ (রাষ্ট্র-ভেক্টরকে স্বাভাবিক করার পরে) এর সম্ভাব্যতার কোনও উদাহরণ নেই - তারপরে [অ্যারোনসন 2005] দেখায় যে । তা হ'ল: স্থগিত করা একাত্মতা এই ক্ষেত্রে আনবাউন্ডেড ত্রুটির অনুমতি দেওয়ার সমতুল্য। $\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP}$

জন্য কি একই রকম ফলাফল বা কোনও পরিষ্কার ফলাফল পাওয়া যায় ? $\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$

complexity-classes quantum-computing

— নিল ডি বৌদ্রাপ
সূত্র

স্বজ্ঞাতভাবে, আমি

হতে অনুমান করব ।

C

${\bf C}$

C o C_{=} P

${\bf CoC_=P}$

— তাইফুন পে

এটি কোনও খারাপ অনুমান নয়, যেমন

হ'ল

এর সীমাহীন- (একতরফা) -অরর সংস্করণ যেমন

এর আনবাউন্ডেড ত্রুটি সংস্করণ ; এবং

উভয়

এবং এর পরিপূরক রয়েছে,

ছেদ এবং পরিপূরকের অধীনে বন্ধ থাকার কারণে।

c o C_{=} P = N Q P

$\mathsf {coC_=P = NQP}$

E Q P

$\mathsf {EQP}$

P P

$\mathsf {PP}$

B Q P

$\mathsf{BQP}$

P P

$\mathsf{PP}$

C_{=} P

$\mathsf {C_=P}$

P P

$\mathsf {PP}$

— নিল দে বৌদ্রাপ

এই ক্লাসে এনপি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে তা কি স্পষ্ট? (এবং এই শ্রেণিটি কি পোস্ট-সিলেকশনের সাথে ইসকিউর মতো?)

— রবিন কোঠারি

@ রবিনকোথারি: শূন্য-ত্রুটির শর্তের কারণে আমি এগুলির কোনওটিই বিবেচনা করব না। দ্বিতীয় প্রশ্নটি প্রথমটির চেয়ে বেশি বলে মনে হয়। তাইফুনের সাথে আমার চুক্তি যে

(... এবং সেইজন্য

)ও একটি যুক্তিসঙ্গত অনুমান যে এটি যদি কোনও পূর্বনির্ধারিত শ্রেণি হতে চলেছে তবে সেটাই প্রধান সন্দেহ, তবে অবশ্যই সত্য যদি এটি তুচ্ছ পর্যবেক্ষণ না হয়।

E Q P_{G L} = c o C_{=} P

$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} = coC_=P}$

C_{=} P

$\mathsf{C_=P}$

— নিল ডি বৌদ্রাপ

আপনি কি এই শ্রেণীর কোনও সমস্যা জানেন যা পি তে নেই?

— রবিন কোঠারি

সংক্ষিপ্ত উত্তর. দেখা যাচ্ছে যে একক রূপান্তরকরণের প্রয়োজনীয়তা স্থগিত করে এবং প্রতিটি ক্রিয়াকলাপকে অবিচ্ছিন্ন হতে হবে, সঠিক ফাঁক-নির্ধারণযোগ্য শ্রেণির জন্ম দেয়। প্রশ্নে নির্দিষ্ট ক্লাসগুলি এবং 'নতুন' সাবক্লাস , উভয়ই এবং মধ্যে বসে । এই ক্লাসগুলির মোটামুটি প্রযুক্তিগত সংজ্ঞা রয়েছে, যা নীচে সংক্ষেপে বর্ণিত হয়েছে; যদিও এই সংজ্ঞাগুলি এখন নীতিগতভাবে অ-এককীয় "কোয়ান্টামের মতো" অ্যালগরিদমগুলির ক্ষেত্রে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। $\mathsf{LWPP}$ $\mathsf{LPWPP}$ $\mathsf{SPP}$ $\mathsf{C_=P}$

গণনা ক্লাস গ্রাফ ইসোমোরফিসম ধারণ করে। এটিতে পুরো ক্লাসের , তাই আমরা সঠিক একক কোয়ান্টাম অ্যালগোরিদমগুলি অ-একক শ্রেণীর মতো শক্তিশালী হওয়ার আশা করব না (যেমনটি আমরা অন্যথায় প্রদর্শন করতে পারি )। $\mathsf{SPP}$ $\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP \subseteq BQP}$

দীর্ঘ উত্তর।

আমার প্রশ্নে, আমি পুনরায় সংজ্ঞায়নের প্রস্তাব দিয়েছিলাম যে ইউনিফর্ম সার্কিট পরিবারগুলি যেগুলি গেটগুলি দক্ষতার সাথে গণ্যযোগ্য, তবে সীমাবদ্ধ গেট সেট থেকে অগত্যা টানা হয় না সেগুলি সমাধান করতে পারে for আমি এখন এতটা নিশ্চিত নই যে এইভাবে নতুন করে সংজ্ঞায়িত করা ভাল ধারণা , যদিও আমি বিশ্বাস করি যে এই জাতীয় সার্কিট পরিবারগুলি পড়াশোনা করার পক্ষে উপযুক্ত। আমরা মত এই শ্রেণীর কিছু কল করতে পারেন পরিবর্তে। $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

এটা তোলে দেখানোর জন্য করে সম্ভব , যা সম্প্রতি পর্যন্ত সেরা জন্য আবদ্ধ পরিচিত । ক্লাসটি কমবেশি সমস্যাগুলির সাথে মিলে যায় যার জন্য একটি এলোমেলোম অ্যালগরিদম রয়েছে, যেখানে কোনও উদাহরণগুলি সম্ভাব্যতার সাথে যথাযথভাবে 0.5 থাকে এবং 1 এর ফলাফল উত্পন্ন করে কিছু সম্ভাবনার সাথে যা দক্ষতার সাথে হতে পারে এবং হুবহু যৌক্তিক আকারে গণনা করা, যা 0.5 (তবে সম্ভবত তাত্পর্যপূর্ণভাবে কাছাকাছি) এর চেয়ে বড় 0.5 এর প্রযুক্তিগত সংজ্ঞা $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C} \subseteq LWPP}$ $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{LWPP}$ ননডেটারিস্টেমিক ট্যুরিং মেশিনের পরিপ্রেক্ষিতে উপস্থাপিত হয় তবে এটি আর আলোকিত হয় না। $\mathsf{LWPP}$

আমরা যদি সংজ্ঞায়িত এর বিপরীত-গেট সমতুল্য হতে , যাতে এটি সমস্যার যা ঠিক দ্বারা সমাধেয় হয় সেট বিপরীত দক্ষতার গণনীয় গেট কোফিসিয়েন্টস, তারপর সঙ্গে বর্তনী পরিবারের । $\mathsf{GLP}_{\mathbb C}$ $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$ $\mathsf{GLP_{\mathbb C} = LWPP}$
যদি আমরা সীমাবদ্ধ গেট-সেটগুলিতে সীমাবদ্ধ রাখি, তবে এটি দেখানো সম্ভব যে ইউনিটরি সার্কিট পরিবারগুলি একটি উপসেটে সিমুলেট করা যেতে পারে , যাকে আমরা । ( উপরের এর বর্ণনা ব্যবহার করে , এটি এলোমেলোভাবে অ্যালগরিদমের সাথে মিলে যায় যেখানে ইয়েস উদাহরণগুলির জন্য 1 আউটপুট পাওয়ার সম্ভাবনা হ'ল , কিছু পলিনোমিয়াল , কিছু পূর্ণসংখ্যা $\mathsf{LWPP}$ $\mathsf{LPWPP}$ $\mathsf{LWPP}$ $m^{t(x)} / 2^{p(|x|)}$ $p$ $m$ , এবং কিছু দক্ষতার সাথে গণনাযোগ্য বহুপদী ।) $t$

আমরা সংজ্ঞায়িত তাহলে এর বিপরীত-গেট সমতুল্য হতে যেমন স্বাভাবিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, আমরা দেখাতে পারি যে । $\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$ $\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} \subseteq LPWPP}$

ডিস্ক্রিট লগ সম্পর্কিত একটি সংশোধন।

উপরের ফলাফলগুলি বীজগণিত সহগগুলি উপস্থাপনের জন্য স্ট্যান্ডার্ড কৌশলগুলিতে নির্ভর করে, যা ইনপুট থেকে স্বতন্ত্র (তবে যা ইনপুট আকারের উপর নির্ভর করে)। মূল প্রশ্নের বিবরণে, আমি দাবি করেছি যে [ মোসকা + জালকা ২০০৩ ] দেখায় যে ডিস্ক্রিটি এলওজি দক্ষতার সাথে গুণযোগ্য গুণাগুণ সহ একটি গেট-সেট দ্বারা ঠিক সমাধানযোগ্য। সত্যটি আরও জটিল বলে মনে হচ্ছে। যদি কেউ নির্ভুল দ্রবণীয়তার বিষয়ে চিন্তা করে তবে আমি সহগের সঠিক প্রতিনিধিত্বকে গুরুত্বপূর্ণ বলে বিবেচনা করি: তবে মোসকা এবং জালকা কোনও ইনপুট-নির্ভর উপায়ে এটি করার কোনও উপায় সরবরাহ করে না। সুতরাং এটি স্পষ্ট নয় যে ডিসক্রেট লোগো আসলে বা নতুন শ্রেণিতে $\mathsf{EQP}$ । $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

রেফারেন্স।

ডি বিউড্রাপ, সঠিক গণনা এবং কোয়াস্টাম -কোয়ান্টাম জটিলতার বিষয়ে , [ আরএক্সিব: 1509.07789 ]।

— নিল ডি বৌদ্রাপ
সূত্র

খুব সুন্দর!!! একটি নিষ্পাপ প্রশ্ন: আপনি নমুনা জটিলতা বিবেচনা করার সময় আপনি বর্ণিত সার্কিটগুলির শক্তি কী (স্বেচ্ছাচারিত অবলম্বনযোগ্য; সঠিক বা আনুমানিক)। (সম্ভবত তারা সম্ভাব্য বন্টনগুলির শ্রেণীর তারা দিতে পারে))

— গিল কালাই

@ গিলকালাই: আপনি যদি এই সার্কিটগুলি গণনা করেন (যেমন তাদের 1-আদর্শ বা 2-আদর্শ সংরক্ষণ করে) বিতরণগুলিতে কোনও আক্রমণকারীকে চাপিয়ে না দেন, তবে একজনকে ঠিক কীভাবে টেনারগুলি মানচিত্র করতে চান তা নির্ধারণ করতে হবে যা এই জাতীয় সার্কিট সম্ভাব্যতা বন্টন বর্ণনা করে। যদি কেউ ধারণা করে যে এই বিতরণগুলি সিউডো-সম্ভাবনা বিতরণের পরিবর্তে কোনওভাবে গোপনে কোয়ান্টাম রাজ্য হয়, তবে একজন পদার্থবিজ্ঞানী যে পদ্ধতিতে বেছে নিতে পারে তা স্বাভাবিক পদ্ধতিতে পুনর্নবীকরণ করতে পারে তবে এই পছন্দটি আমাদের উপর চাপিয়ে দেওয়া হয় না।

— নিল ডি বৌদ্রাপ

এই বলে যে: যে কোনও প্রতিবন্ধকতা চাপুক না কেন, আমি তাত্ক্ষণিকভাবে জানি না যে আমি কীভাবে প্রশ্নের উত্তর দিতে যাব। কিন্তু উপর Aaronson এর কাজ থেকে PostBQP , আমরা জানি আনুমানিক স্যাম্পলিং বর্গ অন্তত হয় পিপি -hard।

— নিল দে বৌদ্রাপ