আমরা ধরে নিই যে প্রান্তের ওজনগুলি ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যা। একটি নির্দেশ গ্রাফ দেওয়া জি প্রান্ত ওজন সঙ্গে, একটি প্রান্ত কল ই অপ্রয়োজনীয় যদি ই কোনো সর্বনিম্ন-ওজন subgraphs spanning দৃঢ়ভাবে সংযুক্ত অন্তর্গত নয় জি ।
আমরা দাবি করি যে পি = এনপি ব্যতীত, এমন কোন বহু-কালীন অ্যালগরিদম নেই যা সর্বদা একটি নির্ধারিত নির্দেশিত গ্রাফের প্রান্তের ওজন সহ একটি অপ্রয়োজনীয় প্রান্ত খুঁজে পায় যতক্ষণ না সেখানে থাকে। আরো স্পষ্ট করে:
উপপাদ্য । একটি নির্দেশ গ্রাফ দেওয়া জি প্রান্ত ওজন সঙ্গে, এটা একটি অপ্রয়োজনীয় প্রান্ত এটি দ্বারা NP-কঠিন জি বা ঘোষণা করছি যে জি একটি অপ্রয়োজনীয় প্রান্ত নেই।
প্রুফ । মূল পর্যবেক্ষণটি হ'ল যদি জি এর একটি স্বতন্ত্র ন্যূনতম ওজন-দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত স্প্যানিং সাবগ্রাফ থাকে, তবে আপনি একে অপরকে অপ্রয়োজনীয় প্রান্তগুলি সরিয়ে সেই অনুচ্ছেদটি গণনা করতে পারেন। অতএব, এটি দেখাতে বাকি রয়েছে যে স্বতন্ত্রতা ন্যূনতম-ওজন দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত স্প্যানিং সাবগ্রাফ সমস্যাটিকে সহজতর করে না, তবে এটি পরবর্তী লেমা দ্বারা প্রমাণিত। Qed ।
লেমা । একটি নির্দেশ গ্রাফ দেওয়া জি প্রান্ত ওজন সঙ্গে, এটা সর্বনিম্ন-ওজন অতিমাত্রায়-সংযুক্ত এর spanning subgraph ওজন গনা দ্বারা NP-কঠিন জি এমনকি অঙ্গীকার করা হয়েছে যে অধীনে জি একটি অনন্য সর্বনিম্ন-ওজন অতিমাত্রায়-সংযুক্ত subgraph spanning হয়েছে।
প্রুফ । যেমন আপনি জানেন , প্রতিশ্রুতি ব্যতীত হ্যামিলটোনীয় সার্কিট সমস্যা হ্রাস করে এনপি-হার্ড (এমনকি ইউনিট-ওজনের ক্ষেত্রেও) সমস্যা is আমরা প্রতিশ্রুতি দিয়ে সমস্যার প্রতিশ্রুতি ছাড়াই সমস্যা হ্রাস করি।
প্রান্ত ওজন সহ জি নির্দেশিত গ্রাফ হতে দিন । জি এর প্রান্তগুলি ই 0 , ই 1 ,…, ই এম −1 দ্বারা লেবেল করুন , যেখানে এম জি এর প্রান্তগুলির সংখ্যা । যাক W আমি প্রান্ত দেওয়া ওজন হওয়া ই আমি । নতুন ওজন w ′ i = 2 m ডাব্লু i +2 i করতে দিন । তারপরে এটি যাচাই করা সহজ যে নতুন ওজন সহ জি এর একটি স্বতন্ত্র ন্যূনতম ওজন-দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত স্প্যানিং সাবগ্রাফ রয়েছে। সর্বনিম্ন ওজন যাচাই করাও সহজওয়াট একটি দৃঢ়ভাবে সংযুক্ত spanning subgraph এর জি মূল ওজন সঙ্গে ন্যূনতম ওজন থেকে নির্ণিত করা যেতে পারে ওয়াট 'থেকে জি নতুন ওজন সঙ্গে ওয়াট = ⌊ ওয়াট / 2' মি ⌋। Qed ।