বর্গক্ষেত্রের সীমানাযুক্ত ননডেটেরিনিজম দিয়ে গ্রাফ আইসোমর্ফিজম সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে?

বাউন্ডেড ননডেটেরিনিজম একটি নতুন ক্লাস - গঠনের জন্য রিসোর্স-বন্ডেড ডিটারমিনিস্টিক টুরিং মেশিন দ্বারা গৃহীত ভাষাগুলির একটি শ্রেণি এর সাথে একটি ফাংশন যুক্ত করে । এই শ্রেণীর মধ্যে সেই ভাষা রয়েছে যা কিছু ননডেটেরেমনস্টিক ট্যুরিং মেশিন দ্বারা গৃহীত হয় একই সংস্থান সীমার সাথে সম্মতি জানায় যেমন সংজ্ঞা দেওয়া হয় তবে যেখানে বেশিরভাগ ননডেস্ট্রিমেন্টিক পদক্ষেপ গ্রহণের অনুমতি পায় । (আমি কিন্তলা এবং ফিশারের মূল পরিবর্তে স্বর্ণকার, লেভি এবং মুন্ডহেঙ্কের স্বরলিপি ব্যবহার করছি এবং ইনপুটটির আকার is) $g(n)$ $C$ $g$ $C$ $M$ $C$ $M$ $g(n)$ $n$

আমার প্রশ্ন:

গ্রাফিক ইসোমোরফিসম বর্গ - এ রয়েছে এমন একটি ধ্রুবক রয়েছে কি ? $c\ge0$ $c\sqrt{n}$ $\mathsf{PTIME}$

( সম্পাদনা: জোশুয়া গ্রাচো উল্লেখ করেছেন যে এই প্রশ্নের সদর্থক উত্তর জিআইয়ের পক্ষে এমন একটি অ্যালগরিদমকে বোঝায় যা বর্তমানে পরিচিত অ্যাসিম্পটোটিক রানটাইম সীমানা বেশি রয়েছে therefore তাই আমি বাউন্ডটি শিথিল করে খুশি হব) allowing নিরক্ষুবাদী পদক্ষেপ $o(\sqrt{n}\log n)$

পটভূমি

প্রতিটি স্থির ধ্রুবক জন্য , - , নির্ধারিতভাবে অনুসন্ধানের জন্য বেশিরভাগ বহু কনফিগারেশন তৈরি করে। তাছাড়া , এবং প্যাডিং এক মাধ্যম মধ্যে np-সম্পূর্ণ ভাষায় প্রদর্শনী করতে পারেন দ্বারা - যে জন্য । $c \ge 0$ $\mathsf{PTIME} = {c\log n}$ $\mathsf{PTIME}$ $c\log n$ $\mathsf{NP} = \cup_c n^c\text{-}\mathsf{PTIME}$ $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\varepsilon > 0$

কিন্তালা এবং ফিশার পর্যবেক্ষণ করেছেন যে এর সাথে ইনপুট গ্রাফের একটি -ক্লিকটি তবে এটি - । এটি দেখতে, সবচেয়ে বেশি প্রতিবেশী যে শিখর রয়েছে তা বাতিল করুন । যদি খুব কম বাকী অংশ থাকে তবে প্রত্যাখ্যান করুন। অন্যথায় বাকী অংশটি size আকারের একটি গ্রাফ গঠন করে । তারপরে অনুমান করুন একটি সূক্ষ্ম সূত্রের উত্স ব্যবহার করে নিরক্ষুবাদী পদক্ষেপ এবং যাচাই করুন যে তারা বহুবর্ষের মধ্যে একটি চক্র গঠন করেছে। $V$ $(|V|/3)$ $\mathsf{NP}$ $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $|V|/3 - 2$ $\Omega(|V|^2)$ $|V|/3$ $|V| = O(\sqrt{n})$

কিছু অন্যান্য ভাষায় ঘন গ্রাফ এর এছাড়াও মধ্যে - । এটি যে কোনও সমস্যার ক্ষেত্রে ক্ষেত্রে যেখানে শীর্ষে একটি উপসেট একটি শংসাপত্র হিসাবে পরিবেশন করে এবং ইনপুট গ্রাফের আকার । উদাহরণস্বরূপ ঘন গ্রাফের ক্ষেত্রে প্রেরিত পথ বা 3-রঙের প্রতিশ্রুতি সংস্করণ। অন্যান্য সমস্যাগুলির জন্য বৃহত্তর শংসাপত্রের প্রয়োজন বলে মনে হয়, উদাহরণস্বরূপ হ্যামিল্টোনীয় সার্কিট সংজ্ঞায়িত উল্লম্বগুলির একটি তালিকাতে বিটগুলি লাগবে বলে মনে হয় । কেউ এ জাতীয় সমস্যা নির্ধারণের জন্য শংসাপত্রটি অনুমান করার জন্য খুব অল্প পরিমাণে ননডেটেরিনিজম ব্যবহার করতে পারে কিনা তা আমার কাছে স্পষ্ট নয়। $L$ $\mathsf{NP}$ $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $\Omega(|V|^2)$ $\Omega(|V| \log |V|)$

- এনপি-সম্পূর্ণ ভাষাগুলি থাকতে পারে তা প্রদত্ত , এটি জিজ্ঞাসা করা আকর্ষণীয় বলে মনে হয় যে শ্রেণিবদ্ধতায় সম্ভাব্য সহজ ভাষাগুলি কোথায় পড়ে? এক জিআই আশা পারে, একটি ভাষা যে দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হবে বলে মনে হচ্ছে না হিসাবে, কাছাকাছি অনুক্রমের হতে - চেয়ে - । তবে জিআই এর সুস্পষ্ট শংসাপত্রটি ব্যবহার করে মানচিত্রটি নির্দিষ্ট করে বিটস, যা $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\log n$ $\mathsf{P}$ $n$ $\mathsf{P}$ $|V|\log |V|$ । $\omega(\sqrt{n})$

এই প্রশ্নটি সম্পর্কে ভাবার আর একটি উপায়: জিআই-র জন্য একটি সংক্ষিপ্ততম শংসাপত্রের শীর্ষাংশের সেটগুলির মধ্যে একটি মানচিত্র নির্দিষ্ট করা হচ্ছে?

সম্পাদনা করুন: জোশুয়া গ্রোচোর মন্তব্যগুলিকে সম্বোধন করার জন্য আরও কিছু (সংশোধিত) মন্তব্য অনুসরণ করে।

যদি একটি শংসাপত্র বিট ব্যবহার করে এবং বহুপক্ষীয় সময়ে পরীক্ষা করা যায়, তবে ব্রুট ফোর্স জি জি এর জন্য গ্রহণের জন্য একটি অ্যালগরিদম দেয় সময়। আকারের শংসাপত্র সহ $f(n) = \Omega(\log n)$ $poly(n)2^{O(f(n))} = 2^{O(f(n))}$ , ব্রুট ফোর্স গ্রহণ করে একটি অ্যালগরিদম দেয় $O(\sqrt{n})$ সময়, যখন আকারশংসাপত্র $2^{O(\sqrt{n})}$ গ্রহণ করার জন্য একটি দৃ force় বলের পদ্ধতির ফল দেয় $O(\sqrt{n}\log n)$ সময়। লুকসের দীর্ঘ-স্থায়ী উপরের সীমাটি $2^{O(\sqrt{n}\log n)}$ সময়, যা এই দুটি সীমার মধ্যে ধ্রুবক এক্সপোঞ্জার পর্যন্ত। $2^{O(\sqrt{n\log n})}$

এই বিবেচনাগুলি পরামর্শ দেয় যে জিআই-তে বিকল্প উপায় থাকতে পারে। লুক্সের দৃষ্টিভঙ্গি কোনও সংশ্লিষ্ট গ্রুপের জেনারেটরের একটি উপসেট সনাক্তকরণের উপর নির্ভর করে বলে মনে হচ্ছে। একটি ননডেটেরিমেন্টিক মেশিন সুতরাং গোষ্ঠীর একটি উপসেট অনুমান করতে পারে। এই সাবসেটগুলি তখন একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদম উত্পন্ন করার জন্য নিখুঁতভাবে পরীক্ষা করা যেতে পারে। যদি উপাদানগুলির তালিকাটি সংক্ষিপ্তভাবে নির্দিষ্ট করা যায়, কারণ যুক্ত গ্রুপ কখনই গ্রাফের আকারের চেয়ে বেশি বড় হয় না, বা প্রয়োজনীয় জেনারেটরের সংখ্যা সর্বদা ছোট থাকে এবং প্রতিটি পরীক্ষার্থীর সাবসেট পরীক্ষা করা খুব বেশি সময় নেয় না, তাই এটি জিআই-এর বিকল্প পন্থা পেতে পারে।

চন্দ্র এমআর কিন্তলা এবং প্যাট্রিক সি ফিশার, রিলেটিভ বহুবর্ষ-সময়ের বাউন্ডেড কম্পিউটেশনে ননডেটেরিনিজম রিফাইনিং, সিয়াম জার্নাল অন কম্পিউটিং 9 (1), 46–53, 1980. ডও: 10.1137 / 0209003
জুডি গোল্ডস্মিথ, ম্যাথু এ লেভি, মার্টিন মুন্ডহেঙ্ক, সীমাবদ্ধ ননডেটেরিনিজম, সইগ্যাক্ট নিউজ 27 (2), 20-29, 1996. ডয়ি : 10.1145 / 235767.235769
লসলা বাবাই এবং ইউজিন এম। লুকস, গ্রাফগুলির ক্যানোনিকাল লেবেলিং , স্টক 1983, 171-1818। doi: 10.1145 / 800061.808746

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

সুতরাং, যদি গ্রাফটি

আকারের সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স হিসাবে দেওয়া হয় তবে তার মানে কি আমি ভার্টেক্স সেট আকার

কাছে একটি লিনিয়ার সংখ্যাটি নন-ডিস্ট্রিমেন্টিক মুভগুলিকে তৈরি করতে পারি?

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— জন ডি

@ ব্যবহারকারী17410: হ্যাঁ, কোনও উদাহরণের আকার যতক্ষণ না

হয় ততক্ষণ উপস্থাপনের খুব বেশি গুরুত্ব দেওয়া উচিত নয় । (তারা অযৌক্তিকভাবে আকার আছে padded হয়

তারপর অবশ্যই বর্গমূল আবদ্ধ যথেষ্ট।)

O (| V |^{2})

$O(|V|^2)$

Ω ((| V | \log | V |)^{2})

$\Omega((|V|\log|V|)^2)$

— András Salamon

আমি মনে করি আপনি সম্ভবত পরিচিত হিসাবে ভাল একটি অ্যালগরিদম জন্য জিজ্ঞাসা করা হয়েছে ... আমি বুঝতে যদি, একটি

অ্যালগরিদম থেকে

O (\sqrt{n}) - P T I M E

$O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$

নির্ধারক অ্যালগরিদম। বর্তমানের সর্বাধিক পরিচিত ডিটারমিনিস্টিক অ্যালগরিদমতে সময় লাগে

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

।

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

— জোশুয়া গ্রাচো

@ অ্যান্ড্রেসালামন: নিষ্ঠুর বাহিনী =

নয়

n! p o l y (n) \approx 2^{O (n \log n)}

$n!poly(n) \approx 2^{O(n \log n)}$

... এছাড়াও, আমি দেখতে পাচ্ছি না কেন আকারের শংসাপত্র

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

সময়

এর একটি ব্রুট ফোর্স অ্যালগরিদম বাড়ে

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

পরিবর্তে

2^{\sqrt{n} \log n}

$2^{\sqrt{n} \log n}$

- আপনি কি বিস্তারিত বলতে পারবেন? আমি "পিটিটাইম" স্বরলিপিটির সংজ্ঞাটিতে কিছু মিস করছি?

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

— জোশুয়া গ্রাচো

@ মোহাম্মদআল-তুর্কিস্তানি: সম্ভবত, তবে আমাকে এটি সম্পর্কে কিছুটা ভাবতে হবে। বাবাইয়ের অ্যালগরিদমে এমন পয়েন্ট রয়েছে যেখানে একবার বর্ণ-ডিগ্রি পললগের নীচে চলে গেলে এটি পূর্ববর্তী সেরা অ্যালগরিদমের মতো সীমাবদ্ধ-ডিগ্রি জিআই পরীক্ষা প্রয়োগ করে, এবং এটি স্পষ্ট নয় যে কেউ পল্লগ ডিগ্রি জিআই পরীক্ষাটি পললগ-বেঁধে পরিণত করতে পারে কিনা? অবিচ্ছিন্নতাবাদ, বা ধ্রুব রঙ-ডিগ্রি ডিগ্রিটি নেওয়ার জন্য কেউ বাবাইয়ের পুনরাবৃত্তি চালিয়ে যেতে পারে কিনা। যদি এবং যখন আমি বুঝতে পারি যে আমি আমার উত্তর আপডেট করব - আপনার যদি এই বিষয়ে চিন্তাভাবনা থাকে তবে আমি চ্যাট করতে পেরে খুশি, তবে এটি সম্ভবত এটির জন্য সঠিক জায়গা নয়।

— জোশুয়া গ্রাচো

প্রথমত, (যেমনটি এখন প্রশ্ন বিবৃতিতে সম্পাদিত হয়েছে) আপনার প্রশ্নের একটি ইতিবাচক উত্তর তাত্ক্ষণিক গ্রাফ আইসোমরফিজমের জন্য সবচেয়ে খারাপ অবস্থার মধ্যে শিল্পের অবস্থার উন্নতি করবে। একটি অ্যালগরিদম থেকে $O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$ -time নির্ণায়ক অ্যালগরিদম, কিন্তু বর্তমান সেরা জিআই জন্য পরিচিত শুধুমাত্র $2^{O(\sqrt{n})}$ $2^{O(\sqrt{n \log n})}$

দ্বিতীয়ত, এটা এমনকি অবিলম্বে আমার কাছে পরিষ্কার থাকুক বা না থাকুক বর্তমান সেরা অ্যালগরিদম আসলে একটি নয় এলগোরিদম, যদিও এর প্রথম অংশটি স্পষ্টতই কিছুটা অর্থে। অ্যালগরিদম প্রথমে আকার এর শীর্ষের একটি সেট অনুমান করে $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$ পৃথক করতে (জেমলিচেনকো এর কৌশল -ইংরেজিতে প্রকাশের জন্যএখানেদেখুন), যা অনুমান করে করা যায় $\sqrt{n/\log n}$ বিট বিহীন। যাইহোক, সেই মনন এবং (নির্ণায়ক বহু সময়) individualizing পর সবচেয়ে বিখ্যাত বেষ্টিত ডিগ্রী isomorphism পরীক্ষা, যা সময় লাগে প্রযোজ্য (এর উপপাদ্য 9.1এই কাগজ), এবং এটা প্রযোজ্য ক্ষেত্রে $\sqrt{n \log n}$ $n^{O(d /\log d)}$ । পরের অ্যালগরিদমকে হিসাবে রূপান্তর করা যায় কিনা সে সম্পর্কে আমাকে সাবধানে চিন্তা করতে হবে $d=O(\sqrt{n \log n})$ এলগোরিদম (একটি আকর্ষণীয় প্রশ্নের মতো মনে হচ্ছে ...) $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

আপনার কি পে-ওয়াল এর পিছনে নয় সংস্করণগুলির লিঙ্ক রয়েছে? জেমলিয়াচেঙ্কোর কৌতুক বা সীমাবদ্ধ ডিগ্রি আইসোমরফিজম পরীক্ষার প্রকৃত বাস্তবায়ন আমি কখনও দেখিনি। NAUTY এর মতো ডিগ্রি অনুসারে পার্টিশন ভাগ করা গতি বাড়ায়, তবে একই ডিগ্রি সহ আপনার এখনও তাদের উপরের সমস্ত প্রাথমিক চক্রের অনুমতিগুলি AFIK পরীক্ষা করতে হবে।

— চাদ ব্রিউবেকার

@ চাদ: দুর্ভাগ্যক্রমে আমি এই নিবন্ধগুলির অ-বেতনভিত্তিক সংস্করণগুলি সম্পর্কে সচেতন নই। যাইহোক, জেমলিয়াচেঙ্কোর কৌশলটি বাস্তবে বাস্তবায়নের জন্য বেশ সহজ এবং মূলত ডিগ্রি হ্রাস করে। জেমলিয়াচেঙ্কোর কৌশল বাস্তবায়নের জন্য, আমি মনে করি যে একমাত্র প্রশ্নটি হ'ল বিশিষ্ট কোণগুলির গণ্যকরণের সেটগুলি পৃথকীকরণের জন্য (সেটের আকারে ক্ষতিকারক) এবং কার্যকরভাবে ডিগ্রি হ্রাস করে যে কোনও সম্ভাব্য লাভ। আমি জানি না এটি আসলে NAUTY বা অন্যান্য ব্যবহারিক আইসোমরফিজম অ্যালগরিদমে বাস্তবায়িত হয়েছে কিনা।

— জোশুয়া গ্রাচো

@ চ্যাড: যাইহোক, প্রাথমিক চক্রের অনুমতিগুলি পরীক্ষা করার জন্য কেবলমাত্র একটি অযৌক্তিক স্বশাসন সনাক্তকরণই যথেষ্ট; এটি isomorphism পরীক্ষা করার জন্য যথেষ্ট নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি

nontrivial automorphisms যাক ছাড়া একটি গ্রাফ হয়

হতে কোন অগত্যা একটি মৌলিক চক্র - বিন্যাস। তারপর

থেকে isomorphic হয়

, এবং

হয় শুধুমাত্র মধ্যে isomorphism

এবং

। তবে এই আইসমোরিজমটি কেবলমাত্র প্রাথমিক চক্র বিবেচনা করে সনাক্ত করা যায় না।

G

$G$

π

$\pi$

π (G)

$\pi(G)$

G

$G$

π

$\pi$

G

$G$

π (G)

$\pi(G)$

— জোশুয়া গ্রাচো

At the cost of doubling

n

$n$ , ISO can be computed with AUT by putting both graphs in an adjacency matrix.

— Chad Brewbaker

@Chad: If you do that, then there are already

n!

$n!$ prime-cycle permutations of order 2, so you've lost any potential savings. This is related to the fact that the reduction you describe is from ISO to computing a generating set for the automorphism group. There is no known poly-time reduction from ISO to the problem of merely deciding whether a graph has a nontrivial automorphism.

— Joshua Grochow