পূর্ণসংখ্যার উপর 3SUM সমস্যার জন্য দুটি অ্যালগরিদমের তুলনা করা

17

ইলিয়া বারান, এরিক ডি ডামাইন, মিহাই পাত্রাসু রচিত "সাবউক্যাড্রিক অ্যালগোরিদম ফর 3 এসএমএম" পত্রিকার জন্য নিম্নলিখিত জটিলতা রয়েছে

3SUM সমস্যা: একটি তালিকা দেয়া $L$ এর $n$ পূর্ণসংখ্যার যদি আছে $x,y,z \in L$ যেমন যে $x+y=z.$

$w-$ $O(n^2/ \max\{w \log w, \log n (\log \log n)^2 \})$ $AC0$ $O(n^2/ w^2 \log w)$ $O(n^2/(MB))$ $O(n^2/ MB \log M )$

সম্প্রতি, গ্রন্ডলুন্ড এবং পেট্টির "থ্রিসমস, ডিজেনরেটস এবং লাভ ট্রায়াঙ্গলস" একটি গবেষণাপত্র প্রমাণ করেছে যে "3 এসএমএমের সিদ্ধান্তের গাছের জটিলতা হ'ল q স্ক্রুট $O(n^{3/2}\sqrt{\log n})$ , এবং সেখানে রয়েছে $O(n^2(\log \log n)^2/\log n)$ সময়ে চলমান এলোমেলোভাবে 3SUM অ্যালগরিদম এবং in চলমান একটি নির্ধারিত অ্যালগরিদম $O(n^2(\log \log n)^{5/3}/(\log n)^{2/3})$ সময়।

এই ফলাফলগুলি 3SUM অনুমানের সবচেয়ে শক্তিশালী সংস্করণকে খণ্ডন করে, যেমন এর সিদ্ধান্ত গাছ (এবং অ্যালগোরিদমিক) জটিলতা $Ω(n^2)$ ""

এই দ্বিতীয় কাগজ এখানে দেখুন ।

স্পষ্টতই, উভয়ই গুরুত্বপূর্ণ কাগজপত্র। এই অঞ্চলে বিশেষজ্ঞ না হয়ে, আমার প্রশ্নটি বিভিন্ন জটিলতার মডেলগুলিকে প্রদত্ত, এর প্রভাব এবং তাত্পর্যকে কীভাবে তুলনা করতে হবে সে সম্পর্কে question এই সমস্যা সম্পর্কে অন্য কোনও অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ মন্তব্যও স্বাগত। উদাহরণস্বরূপ প্রথম কাগজ ইতিমধ্যে বাতিল করে দিয়েছিল $\Omega(n^2)$ আবদ্ধ করে দিয়েছে?

cc.complexity-theory ds.algorithms

— kodlu
সূত্র

14

এখানে কয়েকটি পয়েন্ট রয়েছে যা নতুন ফলাফলগুলিতে দৃষ্টিভঙ্গি দিতে সহায়তা করে।

সিদ্ধান্ত গাছ জটিলতার ফলাফল বড়। আক্রমণটির একটি লাইন (এবং জেফ এরিকসন এ সম্পর্কে আরও কিছু বলতে পারে) ছিল সমস্যাটির সিদ্ধান্তের জটিলতা (অর্থাত্ সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় তুলনা সংখ্যার) দেখার মাধ্যমে 3SUM নিম্ন সীমাবদ্ধ চেষ্টা করা উচিত। আশা ছিল কাছাকাছি কিছু $\Omega(n^2)$ কিছু অর্জনযোগ্য।

এই ফলাফলটি বাউন্ডের সাথে নির্ধারিতভাবে সেই যুক্তিকে ট্র্যাশ করে । মনে রাখবেন যে সমস্যার প্রকৃত জটিলতা সম্পর্কে এটি কিছু বলে না। এটি বলে যে নীচের দিকে সিদ্ধান্তের গাছটি হতে চলেছে না। এবং এটি (অন্যান্য প্রমাণের সাথে) 3SUM "নৈতিকভাবে" নিকটবর্তী যে মৌলিক ভিত্তিতে সন্দেহ পোষণ করে $O(n^{3/2})$ $n^2$ ।

অ্যালগরিদমিক ফলাফলটি নিঃশর্তভাবে subquadratic (অর্থাত্ শব্দ-সমান্তরাল মডেলটিতে নয়)। এটি একটি বিরাট ব্যাপার, যদিও আমি মনে করি যে কেউ কেউ কিছু ধ্রুবক জন্য এটি not) না হয়ে পড়ে থাকতে পারে । $O(n^{2-\epsilon})$ $\epsilon$

@ ডমোটরপ যেমন বলেছেন, এটি খুব ভাল নতুন সিরিজের নতুন ফলাফলের সূচনা হতে পারে। এটি বলা সত্যিই কঠিন। বর্তমান উপরের সীমাটি টিমোথী চ্যানের কিছু জাদু কৌশল দ্বারা সিদ্ধান্তের অ্যালগরিদমটিকে "পুনরায় বাস্তবায়ন" থেকে আসে। এটিকে আরও ধাক্কা দেওয়া যেতে পারে এটা অনুমেয়।

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র

4

জেফ এরিকসন এ সম্পর্কে আরও বলতে পারেন - আসলেই বলার মতো বেশি কিছু নয়। আমি প্রমাণ করেছি যে একটি প্রাকৃতিক সিদ্ধান্ত গাছের মডেলটির গভীরতা প্রয়োজন ; নতুন কাগজটি দেখায় যে খুব সামান্য শক্তিশালী মডেল সহ গভীরতা যথেষ্ট। রেট্রোসেক্টে, এক্স + ওয়াই এবং সংক্ষিপ্ততম পথগুলি বাছাই করার ক্ষেত্রে ফ্রেডম্যান এবং চ্যানের ফলাফলের আলোকে এই ফলাফলটি অবাক করা উচিত নয়। তবে আক্রমণটির প্রাকৃতিক রেখাটি পুরোপুরি বন্ধ হয়ে যায়। যেমন আমি শেঠকে বলেছিলাম, আমি একই সাথে অবিশ্বাস্যরকম উপশম এবং অবিশ্বাস্য alousর্ষা করছি।

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

O (n^{3 / 2})

$O(n^{3/2})$

— জেফি

14

প্রথম কাগজটি মূলত একটি subquadratic অ্যালগরিদম দেয় যদি আমরা জানি যে প্রতিটি ইনপুট সংখ্যার বিট রয়েছে এবং আমরা এক ধাপে দুটি বিট সংখ্যা যুক্ত করতে পারি । এটি খুব আশ্চর্যজনক ফলাফল নয় এবং এটি কোনও । $w$ $w$ $\Omega(n^2)$

দ্বিতীয় কাগজ এ জাতীয় কোনও অনুমানগুলি ব্যবহার করে না এবং সিদ্ধান্ত গাছগুলির জন্য এর ঘনিষ্ঠকে উন্নত করে , যা অবাক করে দেয়, যদিও এটি সমস্ত অ্যালগরিদমের পক্ষে যতটা বড় হবে না, যার জন্য তারা কেবল সামান্য উন্নতি করেছে (এইভাবে দৃ stron়তম অনুমানকে অস্বীকার করা) । আমি অনুমান করব যে খুব শীঘ্রই আরও ফলাফলগুলি অনুসরণ করবে। $n$

— domotorp
সূত্র

আমি উভয় উত্তর দিয়ে খুশি, কিন্তু শুধুমাত্র একটি গ্রহণ করতে পারে, তাই আমি আরও বিস্তারিত উত্তর গ্রহণ।

— কোডলু