নেই

বোঝাতে দ্বারা ন্যূনতম আউট ডিগ্রী , এবং ইন-ডিগ্রী ন্যূনতম। $\delta^+(G)$ $G$ $\delta^-(G)$

একটি সম্পর্কিত প্রশ্নে , আমি হ্যামিলটোনীয় চক্রের উপর ডাইরাকের উপপাদ্যটির গৌইলা-হুরি সম্প্রসারণের কথা উল্লেখ করেছি , যা প্রস্তাব দেয় যে যদি $\delta^+(G),\delta^-(G) \geq \frac{n}{2}$ তাহলে জি হ্যামিলটনিয়ান ian

সা commentদ তার মন্তব্যে একটি ভিন্ন প্রসারণ সম্পর্কে মন্তব্য করেছেন যা দৃ stronger় বলে মনে হচ্ছে, গ্রাফটিকে দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত করা দরকার except

শক্তিশালী সংযোগ ছিল অপ্রয়োজনীয় প্রমাণিত 30 বছর সম্পর্কে Ghouila-হুরি উপপাদ্য পরে এটি প্রথম প্রকাশিত হয়, এবং আমি হতাশ ছিল একই এক্সটেনশন সাঈদ উপস্থাপন জন্য ঝুলিতে পারেন।

সুতরাং প্রশ্নটি হ'ল:

কে প্রমাণিত (পারে যে কেউ রেফারেন্স খুঁজে) যে বোঝা হ্যামিল্টনিয়ান হয়, যে দেওয়া দৃঢ়ভাবে সংযুক্ত করা হয়? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$ $G$ $G$

এখানেও কি শক্তিশালী সংযোগটি অপ্রয়োজনীয়, যেমন শক্তিশালী সংযোগ বোঝায়? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$

(নোট করুন যে গ্রাফটি হ্যামিলটোনীয় হওয়ার জন্য স্পষ্টতই দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত থাকতে হবে, আমি জিজ্ঞাসা করছি এই শর্তটি ডিগ্রি শর্তের দ্বারা বোঝানো হয়েছে কিনা)।

reference-request graph-theory

— আর বি
সূত্র

উত্তর:

আমি যে প্রকরণটির প্রস্তাব দিয়েছিলাম তা হ'ল উডাল উপপাদ্যের কিছুটা ভিন্নতা । সম্ভবত আমি এটি ব্যাং-জেনসেন এবং গুটিনের বইতে দেখেছি । আমি যখন একটি মন্তব্য লিখেছিলাম তখন আমি সঠিকতার জন্য বইটি চেক করিনি। সুতরাং আমি গ্রাফটি লিখেছি তা নিশ্চিত হওয়ার জন্য দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত হওয়া উচিত। বিটিডাব্লু, যে বিবৃতিটি হোল্ড করেছে কারণ উডাল উপপাদ্যের বিশেষ কেস হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। তদ্ব্যতীত দৃ strongly়ভাবে সংযোগের প্রয়োজন হয় না।

এটি ব্যাঙ্গ-জেনসেন এবং গুটিনের বইয়ের উপপাদ্য .6.৪..6 :

যাক আদেশের একটি digraph হতে । এবং সমস্ত জোড়ার জন্য যদি এমন হয় যে থেকে পর্যন্ত কোনও চাপ নেই তবে হ্যামিলটোনীয়। $D$ $n\ge 2$ $\delta^+(x)+\delta^-(y) \ge n$ $x$ $y$ $x$ $y$ $D$

তার মানে আপনার প্রশ্নের দ্বিতীয় অংশের উত্তরটি হ্যাঁ।

একটি শক্ত বাঁধা কিনা তা নিয়ে সন্দেহ ছিল । এখানে আমি এটির উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করি। আমরা কমপক্ষে থেকে এর প্রয়োজনীয়তা হ্রাস করতে পারি না , নীচের গ্রাফটি বিবেচনা করুন। দ্বি নির্দেশিত ত্রিভুজ তৈরি করছে এবং একটি দ্বি নির্দেশিত । হ্যামিলটোনিয়ান চক্রটি যদি শুরু হয় তবে এটি পরবর্তী পদক্ষেপে তে যেতে পারে না কারণ এর একমাত্র উপায় ব্যবহার করা হয় তবে, ফিরে যাওয়ার একমাত্র উপায় $n$ $n$ $k<n$ $a,b,c$ $e,d$ $k_2$ $e$ $d$ $d$ $b$ $b$ $e$ । অন্যদিকে পর হ্যামিল্টনিয়ান চক্র যেতে পারে না , কারণ তারপর শুধুমাত্র ফিরে পথ সরাসরি যাচ্ছে ব্যবহার পরবর্তী প্যাচসমূহ, কিন্তু আবার আমরা পূর্ববর্তী অবস্থানে আছে। এছাড়াও চিত্রটি থেকে এটি স্পষ্ট যে প্রতিটি ভার্টেক্সের কমপক্ষে ডিগ্রি এবং ইন ডিগ্রি রয়েছে । প্রতি দুই অবাধ এর সমষ্টি সুতরাং-আউট অন্তত হয় । আমরা অবাধ করার গ্রাফ এই ধরণের প্রসারিত করতে পারেন । $e$ $c$ $e,d$ $d$ $b$ $2$ $4=5-1 = n-1$ $n$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

পি.এস 1: অবশ্যই নিশ্চিত যে উপরোক্ত উপপাদ্যটি সাধারণ ডিগ্রাফের জন্য রয়েছে। অর্থাত লুপ বা সমান্তরাল প্রান্ত ছাড়াই ডিগ্রাফ।

পি.এস 2: আমার কাছে এখনই ভাল টেক্সস সরঞ্জাম নেই। সুতরাং ইমেজ ভাল না।

— সাঈদ
সূত্র

যখন কেবল দু'জন লেখক রয়েছেন, তাদের "ফার্স্ট এবং দ্বিতীয়" হিসাবে উল্লেখ করা ভাল, তবে "ফার্স্ট এট আল।" এর পরিবর্তে তারা তাদের প্রাপ্য ক্রেডিট প্রাপ্ত করে। ইত্যাদি। ("এবং অন্যান্য") কেবল তখনই ব্যবহার করা উচিত যখন সম্পূর্ণ লেখকের তালিকা এত দীর্ঘ হয় যে এটি পুনরুত্পাদন করা বিশ্রী হবে।

— ডেভিড রিচার্বি

আপনার দ্বিতীয় প্রশ্নের উত্তরটি ইতিবাচক:

যদি তবে strongly়ভাবে সংযুক্ত $\delta^+(G)+\delta^-(G) \ge n$ $G$

প্রমাণ: একটি গ্রাফ হতে দিন যা be়ভাবে সংযুক্ত নয়। আমরা প্রমাণ করব যে । দৃ of ়ভাবে সংযুক্ত উপাদানগুলিতে এর পচন লিখুন । যাক একটি দৃঢ়ভাবে সংযুক্ত উপাদান যা বেসিনে (অর্থাত কোন প্রান্ত বাইরে যেতে হতে ) এবং (অর্থাত কোন প্রান্ত ঢোকা একটি উৎস হতে )। কোন প্রান্ত যেতে যেহেতু বাইরে , তারপর $G$ $\delta^+(G)+\delta^-(G) < n$ $G$ $S$ $S$ $T$ $T$ $S$ $S$ । একইভাবে আমরা পাই , এবং এই দুটি জিনিস এক সাথে নিয়ে আমরাQed। $\delta^+(G) \le \delta^+(S) \le |S|-1$ $\delta^-(G) \le |T|-1$

δ^{+ +} (জি) + + δ^{-} (জি) \leq | এস | + + | টি | - 2 \leq এন - 2 ।

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \le |S|+|T|-2 \le n-2 \ .$

— মবিয়াস ডাম্পলিং
সূত্র

এ থেকে মনে হয়

যথেষ্ট sufficient

\geq n - 1

$\ge n-1$

— জেফ্রি ইরভিং

@ জিফ্রেআইআরভিং হ্যাঁ, এমনটিই মনে হচ্ছে।

— মোবিয়াস

এটি আমাকে ভাবতে বাধ্য করে যে হ্যামিলটোনসিটির জন্য এন -1 যথেষ্ট কিনা।

— আরবি

@ আরবি, না এটি যথেষ্ট নয়।

— Saeed

δ^{-} + δ^{+} = n - 1

$\delta^-+\delta^+ = n-1$

এটি একটি শক্তিশালী দাবি প্রদর্শনের জন্য @ মোবিয়াস উত্তরের একটি বর্ধন:

$\delta^+ + \delta^- \geq n-1$ $\forall u,v\in V, d(u,v)\leq 2$

প্রমাণ:

$(u,v)\in E$

$A=\{x\in V: (u,x)\in E\}, B=\{y\in V: (y,v)\in E\}$

$(u,v)\not \in E$ $A \cup B \subseteq V\setminus \{u,v\}$ $|A\cup B|\leq n-2$

এন - 1 \leq δ^{+ +} + + δ^{-} \leq | একজন | + + | বি | = | একজন \cup বি | + + | একজন \cap বি | \leq এন - 2 + + | একজন \cap বি |

$n-1 \leq \delta^+ + \delta^- \leq |A|+|B| = |A\cup B| + |A\cap B| \leq n-2 + |A\cap B|$

$|A\cap B| \geq 1$ $\exists w\in V:(u,w),(w,v)\in E$ $d(u,v)=2$

$\blacksquare$

— আর বি
সূত্র