অ-অভিন্নতার অযৌক্তিক শক্তি

33

দেখুন সাধারণ জ্ঞান বিন্দু থেকে, এটা বিশ্বাস করা যে অ নিয়তিবাদ যোগ সহজ উল্লেখযোগ্যভাবে তার ক্ষমতা, অর্থাত, প্রসারিত চেয়ে অনেক বড় । সর্বোপরি, অ-নির্ধারণবাদ তাত্পর্যপূর্ণ সমান্তরালতাটিকে মঞ্জুরি দেয় যা নিঃসন্দেহে খুব শক্তিশালী বলে মনে হয়। $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

অন্যদিকে, আমরা যদি just to সাথে কেবল অ-অভিন্নতা যুক্ত করি , তবে অন্তর্দৃষ্টি কম স্পষ্ট হয় (ধরে নিই যে আমরা ঘটতে পারে এমন পুনরাবৃত্ত ভাষাগুলি বাদ ) কেউ আশা করতে পারেন যে কেবলমাত্র বিভিন্ন ইনপুট দৈর্ঘ্যের জন্য বিভিন্ন বহু-কালীন অ্যালগরিদমকে অনুমতি দেওয়া (তবে পুনরাবৃত্ত ক্ষেত্রটি ছেড়ে যাচ্ছেন না) অ-নির্ধারণবাদে ঘনিষ্ঠ সমান্তরালতার চেয়ে কম শক্তিশালী বর্ধন। $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}/poly$ $\mathsf{P}/poly$

মজার বিষয় হল, তবে, আমরা যদি এই ক্লাসগুলি খুব বড় শ্রেণীর with এর সাথে তুলনা করি , তবে আমরা নীচের পাল্টা স্বজ্ঞাত পরিস্থিতিটি দেখতে পাচ্ছি। আমরা জানি যে সঠিকভাবে রয়েছে , যা অবাক হওয়ার মতো নয়। (সর্বোপরি, দ্বিগুণ তাত্পর্যপূর্ণ সমান্তরালত্বের অনুমতি দেয় )) অন্যদিকে, বর্তমানে আমরা বাতিল করতে পারি না । $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{NEXP}\subseteq \mathsf{P}/poly$

সুতরাং, এই অর্থে, অ-অভিন্নতা যখন বহুপদী সময় যুক্ত হয়, সম্ভবত এটি চূড়ান্ত, সম্ভাবনাময় অ-নির্ধারণবাদের চেয়ে আরও শক্তিশালী করে তোলে। এমনকি দ্বিগুণ তাত্পর্যপূর্ণ সমান্তরালতা অনুকরণ করা পর্যন্ত এটি যেতে পারে ! যদিও আমরা বিশ্বাস করি এটি কেস নয়, তবে বর্তমানে এটি অস্বীকার করা যায় না তা এখনও বোঝায় যে জটিলতা তাত্ত্বিকরা এখানে "শক্তিশালী শক্তি" নিয়ে লড়াই করে চলেছেন।

অ-অভিন্নতার এই "অযৌক্তিক শক্তি" এর পিছনে কী রয়েছে আপনি কোনও বুদ্ধিমান সাধারণ ব্যক্তিকে কীভাবে ব্যাখ্যা করবেন?

cc.complexity-theory complexity-classes big-picture

— আন্দ্রেস ফারাগো
সূত্র

16

অসাধারণতা বোঝার অসুবিধা (এবং সাধারণ সার্কিটকে নিম্ন-সীমান্ত প্রমাণ করা) অগত্যা বোঝায় না যে অদ্বিতীয়ত্ব শক্তিশালী (এই মতে আপনি আকর্ষণীয় সমস্যাগুলি সমাধান করতে এটি ব্যবহার করতে পারেন)।

— কাভেহ

4

আমি কাউকে বিশ্বাস করি না বা এমনকি । এই প্রশ্নগুলি উন্মুক্ত থাকার বিষয়টি সার্কিটের নিম্ন সীমাগুলি প্রমাণ করতে আমাদের বিব্রতকর অক্ষমতা সম্পর্কে আরও একটি বিবৃতি।

N E X P \subset P / p o l y

$\mathcal{NEXP} \subset \mathcal{P}/\mathrm{poly}$

N P \subset P / p o l y

$\mathcal{NP} \subset \mathcal{P}/\mathrm{poly}$

— থমাস

8

@Thomas: আমি অনুমান না অন্য কেউ জন্য কথা বলতে, কিন্তু বলবে আমি অন্তত একটি খুব ভাল সম্মানিত গবেষক জানি যে যারা প্রকৃতপক্ষে অনুমান যে ।

E X P \subseteq P / p o l y

$\mathsf{EXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

— জোশুয়া গ্রাচো

2

@ থমাস: হুবহু নয়, তবে আমি মনে করি এটি আমরা কতোটা স্বল্পতা বোঝি তা সম্পর্কে নয়। উদাহরণস্বরূপ, আমরা সকলেই জানি, (এবং কলমোগোরভ অনুমান অনুসারে, cstheory.stackexchange.com/a/22048/129 দেখুন ) পিতে -সাইজ সিকেট রয়েছে। অন্য উদাহরণ হিসাবে, দেখে মনে হচ্ছে in হিসাবে পরিচিত কিছু (যদি থাকে) কিছু সমস্যা রয়েছে যা বা বিপিপির ( cstheory.stackexchange.com/questions/1662/… ) এ নয়। এবং তবুও, সিকেটস বিবেচনা করে, কেউ ভাবেন যে র্যান্ডমাইজেশন + টেবিল দেখার চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে আরও শক্তিশালী।

O (n)

$O(n)$

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$

— জোশুয়া গ্রাচো

6

@ থমোস প্রতিধ্বনি করার জন্য যদি আমরা এনএক্সপি পি / পলিতে না প্রমাণ করতে পারি তবে একটি "অযৌক্তিকতার অযৌক্তিক শক্তি" আছে তাই যেহেতু আমরা পি <> এনপি প্রমাণ করতে পারছি না তার মানে অবশ্যই "দক্ষ গণনার অযৌক্তিক শক্তি" থাকতে হবে।

— ল্যান্স ফোর্টনো

33

একটি ফ্লিপ উত্তর হ'ল জটিলতা তত্ত্ব সম্পর্কে এটি প্রথম জিনিস নয় যা আমি কোনও ল্যাপারসনকে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব! এমনকি নন-ইউনিফর্মটির ধারণা এবং এটি কীভাবে ননডেটরাইনিজম থেকে আলাদা তার প্রশংসা করার জন্য, অনেক লোক পেতে ইচ্ছুক নয়, আপনাকে জটিল শ্রেণীর সংজ্ঞা সহ আরও আগাছা নেওয়ার প্রয়োজন।

স্নাতক শিক্ষার্থীদের পি / পলির ব্যাখ্যা করার সময়, আমি যে সহায়কটি পেয়েছি সে সম্পর্কে একটি দৃষ্টিভঙ্গিটি হ'ল এই যে নন-ইউনিফর্মটির অর্থ হ'ল আপনি আরও বড় এবং বৃহত্তর ইনপুট দৈর্ঘ্যে যাওয়ার সময় আপনার আরও ভাল এবং আরও ভাল অ্যালগরিদমের একটি অসীম অনুক্রম থাকতে পারে। অনুশীলন হিসাবে, উদাহরণস্বরূপ, আমরা জানি যে জাগল ম্যাট্রিক্স গুণমানের অ্যালগরিদম ম্যাট্রিক্সের জন্য 100x100 বা তার বেশি আকারের জন্য সবচেয়ে ভাল কাজ করে এবং তারপরে কিছু সময় স্ট্র্যাসেন গুণন আরও ভাল হয় এবং তারপরে আরও সাম্প্রতিক অ্যালগরিদমগুলি কেবলমাত্র জ্যোতির্বিজ্ঞানযুক্ত-বৃহত ম্যাট্রিকগুলির জন্য আরও উন্নত হয় অনুশীলনে উত্থিত হবে না। সুতরাং, আপনি যদি এন এর যে পরিসরের কাজ করে যাচ্ছেন তার জন্য সেরা অ্যালগরিদমটিতে শূন্যের জাদুকরী ক্ষমতাটি কী ছিল?

অবশ্যই, এটি একটি অদ্ভুত ক্ষমতা হবে এবং সমস্ত বিষয় বিবেচনা করা হয়, সম্ভবত বহু-কালীন সময়ে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষমতা হিসাবে কার্যকর নয়। তবে কড়া কথায় বলতে গেলে এটি একটি অতুলনীয় দক্ষতা হবে: পি = এনপি হলেও আপনি স্বয়ংক্রিয়ভাবে পাবেন এটি এমন নয়। তোমরা তো এমনকি কল্পিত উদাহরণ গঠন করা যেতে পারে uncomputable সমস্যার (যেমন, প্রদত্ত 0 ^এন ইনপুট হিসাবে, এন করে ^তম টুরিং মেশিন স্থগিত?) যে এই ক্ষমতা আপনি সমাধান করতে সম্ভব হবে। সুতরাং, এটি অদ্বিতীয়তার শক্তি।

বোঝার জন্য বিন্দু এই অদ্ভুত ক্ষমতা বিবেচনা, আপনি সম্ভবত সার্কিট নিম্ন সীমা প্রমাণ করার খোঁজা সম্পর্কে কিছু বলতে প্রয়োজন এবং এটা সত্য যে, আমাদের লোয়ার বাউন্ড কৌশল অনেক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটা প্রয়োজন চাই, একরূপতা যে একটি অদ্ভুত মত মনে হয় অতিরিক্ত শর্ত যা আমাদের প্রায় প্রয়োজন হয় না।

— স্কট অ্যারনসন
সূত্র

2

আমি সত্যিই "আরও ভাল এবং আরও ভাল অ্যালগরিদমের অসীম অনুক্রম" যুক্তিটি পছন্দ করি। আমি আসলে এই জাতীয় যুক্তিগুলির সন্ধান করছিলাম, যা স্নাতক শিক্ষার্থীদের জন্য বড় ছবিটি ব্যাখ্যা করতে সহায়ক। এই যুক্তিটি কীভাবে প্রযোজ্য, যদি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয় ? জন্য একই মূল প্রশ্ন হলো, restated যেতে পারে যেহেতু বর্তমানে আমরা আলাদা করতে পারবে না থেকে পারেন।

P / p o l y

$P/poly$

B P P

$BPP$

B P P

$BPP$

N E X P

$NEXP$

B P P

$BPP$

— আন্দ্রেস ফারাগো

7

বিপিপি প্রেরণা দেওয়া অনেক সহজ! এটি কেবল র্যান্ডমাইজেশনের শক্তির মডেল করার চেষ্টা করছে, যা (নন-ইউনিফর্মটির বিপরীতে) এমন কিছু যা অনুশীলনে সর্বদা ব্যবহৃত হয়। (ঘটনাক্রমে, যদিও আমি উল্লেখ করতে ভুলে গেছি: অদ্বিতীয়তাকে অনুপ্রাণিত করার একটি ভিন্ন উপায় হ'ল ক্রিপ্টোগ্রাফি দিয়ে point এর চেয়ে আরও ভাল একটি ক্রিপ্টোসিস্টেম থাকতে পারে যা আপনি মনে করেন যে ইউনিফর্ম হামলাকারীদের বিরুদ্ধে কেবলমাত্র ইউনিফর্ম আক্রমণকারীদের বিরুদ্ধে নয়, নির্ধারিত দৈর্ঘ্যে নন-ইউনিফর্ম আক্রমণকারীদের বিরুদ্ধে সুরক্ষিত।)

— স্কট অ্যারনসন

1

আমি সম্পূর্ণরূপে একমত যে

অনুপ্রাণিত করা আরও সহজ। তবে যা পরিষ্কার তা নয়:

এমন শক্তি কী দেয় যা বর্তমানে আমরা তা অস্বীকার করতে পারি না যে এটি

এর দ্বিগুণ ঘনঘটিত সমান্তরালতাও অনুকরণ করতে পারে ? যেহেতু

শুধুমাত্র ফর্ম পৃথক

যদৃচ্ছতা মাধ্যমে, এবং এটি ভাল কারণে অনুমিত হয় যে এখানে যদৃচ্ছতা ক্ষমতাহীন (অর্থাত,

) এই সৌন্দর্য আমাকে একটি অদ্ভুত অবস্থা। আমি পরিস্থিতিগুলির একটি "দার্শনিক বোঝাপড়া" সন্ধান করছি, স্পষ্ট সত্যের বাইরেও যে প্রমাণ করার মতো সরঞ্জামগুলির অভাব রয়েছে

B P P

$BPP$

B P P

$BPP$

N E X P

$NEXP$

B P P

$BPP$

P

$P$

P = B P P

$P=BPP$

।

N E X P \neq B P P

$NEXP\neq BPP$

— আন্দ্রেস ফারাগো

2

কিন্তু যদি এটি সত্যিই হয় মাত্র সত্য যে টুলস উদাসীন হয়? আমাদের হায়ারার্কি উপপাদ্য রয়েছে, যা আমাদের প্রমাণ করতে দেয় যে একই সংস্থানটি আপনাকে আরও শক্তি দেয় (যেমন,

), এবং যখন আমরা হায়ারার্কি উপপাদ্যকে হ্রাস করতে পারি না আমরা সাধারণত আটকে থাকি stuck এটি একটি সাধারণ সমস্যা যা পুরো জটিলতার শ্রেণিবিন্যাস জুড়েই দেখা দেয়,

কোনও নির্দিষ্ট নয় ।

P \neq E X P

$P\ne EXP$

B P P

$BPP$

— স্কট অ্যারনসন

28

এখানে একটি "মসৃণতা" যুক্তি যা আমি সম্প্রতি দাবিটির প্রতিবাদে শুনেছি যে গণনার অ-ইউনিফর্ম মডেলগুলি আমাদের সন্দেহের চেয়ে আরও শক্তিশালী হওয়া উচিত। এক দিকে, আমরা সময় অনুক্রমের উপপাদ্য থেকে জানি সময় গণনীয় ফাংশন আছে ঐ সময়ের মধ্যে গণনীয় হয় না , উদাহরণস্বরূপ। অন্যদিকে, লুপানভের উপপাদ্য অনুসারে, ইনপুটগুলিতে যে কোনও বুলিয়ান ফাংশন আকারের একটি সার্কিট দ্বারা গণনাযোগ্য $O(2^{2n})$ $O(2^{n})$ $n$ $(1+o(1))2^n/n$ । তাই আপনি যদি আমরা যে nonuniformity দাবি অনেক ক্ষমতা, যে যে দেয় না মত আচরণ করা উচিত , তারপর এই দাবি হঠাৎ বন্ধ করা উচিত যখন হয়ে যায় তখন ধরে রাখা । তবে এই আচরণ --- দুটি জটিল ব্যবস্থাগুলি একে অপরের সাথে একসাথে চলে যায় যতক্ষণ না সেগুলির হঠাৎ কোনওটি সর্বশক্তিমান হয়ে ওঠে --- স্বেচ্ছাচারিতা এবং কিছুটা অপ্রাকৃত বলে মনে হয়। $\mathsf{SIZE}(f(n))$ $\mathsf{DTIME}(f(n)^{O(1)})$ $f(n)$ $2^{O(n)}$

অন্যদিকে, যদি সার্কিট শক্তিশালী যথেষ্ট যে কেন quantifiers হঠাৎ বন্ধ গণনার আরো ক্ষমতা দান হবে: তারপর, Karp-লিপটন দ্বারা বহুপদী অনুক্রমের দ্বিতীয় স্তর, যা বিজোড় হতে হবে ভেঙে ? আমি নিশ্চিত না যে এটি আমাদের কোথায় ফেলেছে। $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

— সাশো নিকোলভ
সূত্র

1

অনেক আগ্রহব্যাঞ্জক! এটি দুর্দান্তভাবে বর্ণনা করেছে যে গণনার অ-ইউনিফর্ম (সার্কিট) মডেল সম্পর্কে আমাদের বোঝাপড়া এখনও সম্পূর্ণ থেকে অনেক দূরে।

— আন্দ্রেস ফারাগো

4

এ জাতীয় ধসের সম্ভাবনা রয়েছে কিনা তা নিয়ে মন্তব্য না করেই: দ্বিতীয় স্তরের গণ্য শক্তিতে হঠাৎ বন্ধ হয়ে যাওয়া, যখন উভয় ধরণের পরিমাণের পরিমাণ ঠিকঠাকই যথেষ্ট?

— নিল ডি বৌদ্রাপ

@ নিলদেবিউড্র্যাপ খুব আকর্ষণীয় বিষয়। অবশ্যই এই সমস্ত (আমার উত্তরের জল্পনা সহ) গণিতের চেয়ে বেশি ধর্মতত্ত্ব তবে অনুমান করা মজাদার।

— সাশো নিকোলভ

3

@ সাশো: এটি ধর্মতত্ত্ব বা মতামত নয়: এটি প্রোটো-ম্যাথ, তাই না? এটি সম্ভবত ধারণাগুলি সম্পর্কিত ধারণাগুলির একটি অ্যাকাউন্টিং এবং অন্তর্দৃষ্টি সম্পর্কে তাদের মাপসই করা। অরণ্যে হারিয়ে যাওয়ার মতো আরও বেশি কিছু করার নয়, তবে ভূতের গল্প বলার চেয়ে এটি আরও উত্পাদনশীল। :-)

— নিল ডি বিউড্রাপ

10

আমি ধরে নিয়েছি যে এবং সম্পর্কে কারও সাথে কথা বলার অর্থ সেই ব্যক্তি বনাম প্রশ্ন এবং যাচাই-সমাধানকারী দ্বৈততার সাথে পরিচিত। $\mathbb{P/poly}$ $\mathbb{NP}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{NP}$

তারপরে, আমি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করব যে এত শক্তিশালী কারণ প্রতিটি পৃথক দৈর্ঘ্যের জন্য টিএমকে পরামর্শ দেওয়া হয় যে এটি সম্পূর্ণরূপে বিশ্বাস করতে পারে। তারপরে আমি উল্লেখ করব যে আমরা কঠোর (টিএম-নন-কম্পিউটাবল আসলে) এমন ভাষা রচনা করতে পারি যার প্রতি ইনপুট দৈর্ঘ্যের 1 শব্দ থাকে (অর্থাত অ্যানারি), সুতরাং সেগুলি পি / পলিতে থাকে! তবে সমস্ত ভাষাগুলি সমাধান করার জন্য একটি বহুবর্ষীয় দীর্ঘ পরামর্শ যথেষ্ট নয় , যেহেতু আমাদের প্রত্যেকটি আলাদা ইনপুটের জন্য আলাদা ইঙ্গিত দেওয়া আছে। $\mathbb{P/poly}$ $\mathbb{NP}$

অন্যদিকে, আমি সেই ব্যক্তিকে মনে করিয়ে দেব যে উত্তরটি যাচাই করতে হবে, এটি পুরোপুরি বিশ্বাস করবেন না। সুতরাং, আমরা প্রতিটি ইনপুট দৈর্ঘ্যের জন্য একই পরামর্শ ব্যবহার করতে পারি না, এটি যাচাইযোগ্য নাও হতে পারে! $\mathbb{NP}$

পরিশেষে, আমি উল্লেখ করব যে জটিলতা তাত্ত্বিকরা বিশ্বাস করে যে এমন কিছু ভাষা রয়েছে যা কিছু ইনপুট দৈর্ঘ্যের জন্য বহুপদী বহু ইঙ্গিতের চেয়ে বেশি প্রয়োজন এবং এটি থাকতে পারে না । $\mathbb{NP}$ $\mathbb{P/poly}$

প্রথমবারের মতো বিষয়টি পড়ানোর সময় একটি ভাল বোঝাপড়া দেওয়ার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, যা আমি মনে করি এটি সাধারণ বিষয়, স্পষ্ট করে দিচ্ছে যে পরামর্শ এবং "ইঙ্গিত" (অর্থাৎ শংসাপত্র) আলাদা জিনিস এবং কীভাবে তারা পৃথক fer

— chazisop
সূত্র

10

আমার জন্য, অ-অভিন্নতার শক্তির সবচেয়ে উজ্জ্বল চিত্রটি হ'লটিং সমস্যাটির উপযুক্ত প্যাডযুক্ত সংস্করণ ইতিমধ্যে পি / 1 এ রয়েছে। পরামর্শের একক বিটটি তখনই এই ভাষাটিকে একটি তুচ্ছ টিএম দিয়ে সিদ্ধান্ত নেওয়ার পক্ষে যথেষ্ট যা পরামর্শের বিটটি সহজ করে দেয়।

অবশ্যই, কোনও তাত্পর্যপূর্ণ পরিমাণ দ্বারা একটি অনস্বীকার্য ভাষায় প্যাডিংয়ের অর্থ এটি পি / পলিতে "নৈতিকভাবে" নয়। তবে এটি দেখায় যে অ-অভিন্নতা মঞ্জুর করার সময় কাউকে সতর্ক হওয়া দরকার।

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

3

আমার ধারণা আছে যে এখানে আসল ইস্যুটি অ-যৌক্তিকতার অযৌক্তিক শক্তি নয়, প্রমাণের অযৌক্তিক ভারী বোঝা। চ্যাসিসপ এবং অ্যান্ড্রেস সালামনের উত্তর হিসাবে ইতিমধ্যে চাপ দেওয়া হয়েছে, খুব সীমাবদ্ধ অ-ইউনিফর্ম ভাষায় এমনকি অনস্বীকার্য ভাষাগুলি গণ্যযোগ্য হয়ে ওঠে, কারণ প্রমাণের বোঝা পুরোপুরি মওকুফ করা হয়েছে।

$2^n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $2^n\exp(O(n))=\exp(n\log(2)+O(n))=\exp(O(n))$

$n$ $\mathsf{NEXP}$

$\mathsf{P/poly'}\subseteq \mathsf{NP}$ $n$ $\mathsf{P/poly'}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}\subseteq\mathsf{P/poly'}$ ) এখনও সত্য ধরে রেখেছে, তবে এই বিবৃতিটি আসল কার্প-লিপটন উপপাদীর চেয়ে কম আকর্ষণীয় নয়।

— টমাস ক্লিম্পেল
সূত্র