গ্রাফের কোন পরিবারগুলির জন্য জেনারালাইজড জিওগ্রাফি করা হয় ?

Question

@Marzio উল্লেখ করা হয়েছে, নিম্নলিখিত গেম হিসাবে পরিচিত হয় জেনারেলাইজড ভূগোল ।

গ্রাফ দেওয়া এবং শুরুর প্রান্তবিন্দু , খেলা অনুসরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:$G=(V,E)$$v \in V$

প্রতিটি ঘুরে (দুই খেলোয়াড় পর্যায়ক্রমে), একজন প্লেয়ার বেছে নেয় এবং তারপরে নিম্নলিখিতটি ঘটে:$u\in N(v)$

1. $v$ , পাশাপাশি এর সমস্ত প্রান্তই থেকে সরানো হয়েছে ।$G$
2. $u\to v$ (অর্থাত্ শীর্ষবর্ণের হিসাবে আপডেট হয় )।$v$$u$

খেলোয়াড় যিনি "ডেড এন্ড" বাছাই করতে বাধ্য হন (অর্থাত্ কোনও বহির্গমন প্রান্তবিহীন একটি শীর্ষবিন্দু) হেরে যান।

কোন গ্রাফ পরিবারগুলিতে বহুপক্ষীয় সময়ে অনুকূল কৌশলটি গণনাযোগ্য?

উদাহরণস্বরূপ, এটি দেখতে সহজ যে যদি ডিএজি হয় তবে আমরা সহজেই খেলোয়াড়দের জন্য অনুকূল কৌশলটি গণনা করতে পারি।$G$

Comments

গেমটি জেনারালাইজড জিওগ্রাফি হিসাবে পরিচিত এবং এটি পিএসপিএসিই সম্পূর্ণ (এমনকি প্ল্যানার নির্দেশিত গ্রাফগুলিতেও)। কিছু ভেরিয়েন্টের জন্য প্যাথ ফর্মিং গেমগুলির জটিলতা দেখুন (এছাড়াও কিছু বহু বহু সময়ের বৈকল্পিক)

— মারজিও ডি বিয়াসি

আপনি আরো নির্দিষ্ট হতে পারে? উদাহরণস্বরূপ মারজিওর লিঙ্ক থেকে আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে সীমাবদ্ধ বৃক্ষের প্রশস্ততা যথেষ্ট।

— ডমোটরপ

@ ডমোটরপ: আমি মনে করি যে অনির্দেশিত শক্ত গ্রিড গ্রাফগুলিতে জিজি হ'ল একটি নিষ্পত্তিহীন উন্মুক্ত সমস্যা (সম্ভবত এটি অধ্যয়নও করা হয়নি)। আমি কিছুটা গুগল করব এটি নতুন সমস্যা কিনা তা দেখার জন্য। যদিও, নির্দেশিত শক্ত গ্রিড গ্রাফগুলির ক্ষেত্রে এটি নির্দেশিত প্রান্তগুলি ব্যবহার করে "গর্ত" অনুকরণ করা সহজ বলে মনে হয়, সুতরাং এটি পিএসপিএসি-সম্পূর্ণ হওয়া উচিত।

— মারজিও ডি বায়াসি

Answer 1

জেনারালাইজড জিওগ্রাফি (জিজি) পিএসপিএসিই সম্পূর্ণ - এমনকি প্ল্যানার পরিচালিত দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতেও, তবে হিসাবে রিপোর্ট করা হয়েছে:

হ্যান্স এল বোদেলার, পথ নির্ধারণের গেমগুলির জটিলতা , তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান, খণ্ড 110, সংখ্যা 1, 15 মার্চ 1993, পৃষ্ঠা 215-245

জিজি (এবং কিছু অন্যান্য PSPACE- সম্পূর্ণ রূপগুলি) সীমানা গাছের চওড়ার গ্রাফগুলিতে রৈখিক-সময়-দ্রবণযোগ্য।

পার্শ্ব দ্রষ্টব্য: সম্প্রতি জেনারেল জিওগ্রাফি রূপগুলি যা পিএসপিএসিই-সম্পূর্ণ হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে তা হ'ল ট্রোন ( লাইট সাইকেলস গেম): একটি অপরিবর্তিত গ্রাফ দেওয়া হলে, দুটি খেলোয়াড় দুটি আলাদা প্রারম্ভিক শীর্ষকে বাছাই করে, এবং তারপরে ঘুরিয়ে, সংলগ্ন স্থানে নিয়ে যান প্রতিটি পদক্ষেপে তাদের পূর্ববর্তী থেকে ভার্টেক্স। উভয় খেলোয়াড় আর চলাফেরা করতে না পারলে খেলা শেষ হয়। যে খেলোয়াড়টি আরও শীর্ষে অবস্থান করেছিল তারা জিতেছে (এটি ১৯৯০ সালে বোডলেন্ডার এবং ক্লকস দ্বারা পিএসপিএসিই-সম্পূর্ণ হওয়ার অনুমান করা হয়েছিল)।
টিলম্যান মাইল্টজো, ট্রন, অ্যাবস্ট্রাক্ট গ্রাফগুলিতে একত্রিত গেম (২০১১)

সম্পাদনা : আমি ছোট আয়তক্ষেত্রাকার শক্ত গ্রিড গ্রাফগুলিতে (পুনঃনির্দেশিত) পরীক্ষার জন্য একটি ছোট প্রোগ্রাম তৈরি করেছি , এবং ফলাফলটি দেখায় যে এই শ্রেণীর গ্রাফের জন্য এটি বহুপদী সময় দ্রবণযোগ্য (ধরে নেওয়া যায় যে প্লেয়ারের দ্বারা নির্বাচিত প্রথম নোড) এ হ'ল উপরের বাম নোড):$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B 

কৌতূহলজনকভাবে, একই ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় যদি প্লেয়ার এ একটি স্বেচ্ছাসেবী শুরুর নোড চয়ন করতে পারে।

মন্তব্যগুলিতে যেমন বলা হয়েছে, আমি মনে করি যে জিডিকে শক্ত গ্রিড গ্রাফগুলিতে (স্বেচ্ছাচারিত আকারের সাথে, তবে ছিদ্রবিহীন) খেললে কোনও বিজয়ী কৌশল আছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জটিলতা জানা যায়নি এবং সম্ভবত এটি সম্পর্কে কিছু প্রমাণ করা এত সহজ নয় এটি (আসলে কিছুটা সম্পর্কিত) - কোনও শক্ত গ্রিড গ্রাফের হ্যামিলটোনীয় পাথ রয়েছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার সমস্যাটি এখনও খোলা রয়েছে, যদিও কোনও শক্ত গ্রিড গ্রাফের হ্যামিলটোনীয় চক্র রয়েছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নিয়ে বহুবারের ক্ষেত্রে সমাধানযোগ্য)।

একটি চূড়ান্ত তুচ্ছ নোট: জিজি সম্পূর্ণ গ্রাফগুলিতেও বহুপক্ষীয় সময় দ্রবণীয়।

Comments

আপনি কি নিশ্চিত যে শক্ত গ্রিড গ্রাফের হ্যামিল্টোনীয় চক্রটি বহুপদী সময় দ্রবণযোগ্য? যেহেতু আমি মনে করতে পারি এটি ঠিক অচেনা, অন্যদিকে যদি সেই শক্ত গ্রিডের কিছু কাঠামো থাকে (যেমন এল শেপ, টি শেপ, এমএক্সএন, ...) এটি বহুপক্ষীয় সময় দ্রবণীয়, তবে আমি এমন কোনও কাগজ মনে করতে পারি না যা এটি বহুগুণে সমাধান করে সাধারণ শক্ত গ্রিড গ্রাফগুলিতে। আপনার কি রেফারেন্স আছে?

— Saeed

@ সাeedদ মনে হচ্ছে উমানস এবং লেনহার্ট দীর্ঘকালীন উন্মুক্ত সমস্যার সমাধান করেছেন, শক্ত গ্রিড গ্রাফগুলিতে হ্যামিলটনিয়ান সাইকেলগুলি দেখুন । কিছু সময় আগে আমি হ্যামিলটোনীয় পাথ সম্পর্কে শক্ত গ্রিড গ্রাফগুলিতে সাম্প্রতিক / সম্পর্কিত ফলাফলগুলি অনুসন্ধান করেছি, কিন্তু কিছুই পাইনি। (আমার মনে হয় কোথাও কোথাও কোথাও সম্পর্কিত সম্পর্কিত প্রশ্ন রয়েছে)

— মারজিও ডি বিয়াসি

ধন্যবাদ, এটি সত্যিই দুর্দান্ত এবং এটি খুব নতুন FOCS1997 নয় , তবে আমি এর আগে কখনও দেখিনি!

— Saeed

দুর্দান্ত উত্তর @ মারজিওডিবিবিসি। আসলে আমি এই সমস্যাটি একটি ভিন্ন সেটিংয়ে এসেছি, যা গ্রিড গ্রাফ হিসাবে মডেল করা যেতে পারে তবে এটির সাধারণীকরণ সম্পর্কেও কৌতূহল ছিল।

— আরবি

আমি আধ ঘন্টা ব্যয় করেছি কিন্তু অনির্দেশিত সাধারণ ভূগোলের কোনও রেফারেন্স খুঁজে পাইনি re আমি নিশ্চিত যে এটি অবশ্যই কোনও PSPACE- সম্পূর্ণ হওয়ার জন্য দেখিয়েছে। আপনি সম্ভবত এটি সম্পর্কে জানেন?

— ডমোটরপ

Answer 2

নির্দেশিত গাছের প্রস্থ ডিগ্রাফগুলিতেও সমস্যা PSPACE- সম্পূর্ণ । কেবল উইকিতে সরবরাহ করা একটি PSPACE- কঠোরতা নির্মাণ বিবেচনা করুন । আমরা যদি কোনও গ্রাফ থেকে একটি শীর্ষস্থানীয় মুছতে পারি , অবশিষ্ট গ্রাফটি হ'ল ডিএজি। সুতরাং আমরা প্রস্থ সহ পচন করতে পারি । তারপরে এই পচনের প্রতিটি ব্যাগে (হয় গার্ড ব্যাগ বা আরবোরেসেন্স ব্যাগ) । এর ফলে নির্দেশিত গাছের প্রস্থের পচন । (এটি আকর্ষণীয় কারণ কারণ এমন অনেকগুলি সমস্যা নেই যা ডেইজিগুলিতে সহজ এবং সীমানা নির্দেশিত ট্রিউইথ গ্রাফগুলিতে শক্ত)।$1$$c$$G-c$$0$$c$$1$