গ্রাফ এন্ডোমরফিজমগুলি গণনা করার জটিলতা

একজন homomorphism গ্রাফ থেকে গ্রাফ থেকে একটি ম্যাপিং হয় থেকে করতে যেমন যে যদি এবং মধ্যে সংলগ্ন হয় তারপর এবং এর সাথে সংলগ্ন । একটি endomorphism গ্রাফ এর থেকে একটি homomorphism হয় নিজেই; এটি ফিক্সড পয়েন্ট-ফ্রি যদি মতো কোনও এবং এটি অ-তুচ্ছ হয় যদি এটি পরিচয় না থাকে। $G = (V, E)$ $G' = (V', E')$ $f$ $V$ $V'$ $x$ $y$ $E$ $f(x)$ $f(y)$ $E'$ $G$ $G$ $x$ $f(x) = x$

আমি সম্প্রতি বলা হয়েছে একটি প্রশ্ন poset (এবং গ্রাফ) এর সাথে সম্পর্কিত automorphisms , যে bijective endomorphisms যার বিপরীতটি এছাড়াও একটি endomorphism হয়। আমি অটোমোরফিজমগুলি গণনা (এবং অস্তিত্বের সিদ্ধান্ত নেওয়ার) সম্পর্কিত সম্পর্কিত কাজ পেয়েছি, তবে অনুসন্ধানে আমি এন্ডোমর্ফিজমের সাথে সম্পর্কিত কোনও ফলাফল পাইনি।

অত: পর আমার প্রশ্ন: কি জটিলতা, একটি গ্রাফ দেয়া একটি অ তুচ্ছ endomorphism অস্তিত্ব সিদ্ধান্ত নেওয়ার, , অথবা endomorphisms সংখ্যা বেড়ে চলেছে এর? ফিক্সড পয়েন্ট-ফ্রি এন্ডোমর্ফিজমগুলির সাথে একই প্রশ্ন। $G$ $G$

আমি মনে করি যে এই উত্তরে প্রদত্ত যুক্তিটি এন্ডোমর্ফিজমগুলিতে প্রসারিত এবং ন্যায্যতা দেয় যে নির্দেশিত দ্বিদলীয় গ্রাফগুলি, বা পোসেটগুলি সাধারণ গ্রাফগুলির জন্য সমস্যার চেয়ে সহজ কিছু নয় (সাধারণ গ্রাফের ক্ষেত্রে সমস্যাটি এই ক্ষেত্রে হ্রাস পায়), তবে এর জটিলতা নেই নির্ধারণ করার জন্য সহজ মনে হয়। জানা যায় অন্য এক গ্রাফ থেকে একটি homomorphism অস্তিত্ব সিদ্ধান্ত হয় দ্বারা NP-হার্ড (এই স্পষ্ট যেমন গ্রাফ রং সাধারণীকরণ), কিন্তু এটি একটি গ্রাফ থেকে homomorphisms সার্চ সীমাবদ্ধ মত মনে হয় নিজেই সমস্যা সহজ করতে পারে, সুতরাং এটি আমাকে এই সমস্যার জটিলতা নির্ধারণ করতে সহায়তা করে না।

— a3nm
সূত্র

Endomorphisms বা নির্দিষ্ট বিন্দু-মুক্ত endomorphisms গণনা সম্পূর্ণ হয়েছে : প্রদত্ত একটি সংযুক্ত গ্রাফ , গ্রাফ বিবেচনা যার গ্রন্থিচ্যুত ইউনিয়নের এবং একটি ত্রিভুজ। তারপরে , সুতরাং দুটি ব্যবহার করে গণনা করা যায় গণনা করা হয় (এবং সাধারণ ফলাফল অনুসারে, এমনকি কেবল একটিই যথেষ্ট) এবং কিছু পলি-টাইম পোস্ট-প্রসেসিং। দ্রষ্টব্য যে ত্রিভুজগুলির সংখ্যা কিউবিক (বা এমনকি ম্যাট্রিক্স গুণ) সময় গণনা করা যেতে পারে। একই সমীকরণটি ফিক্সড-পয়েন্ট ফ্রি এন্ডোমর্ফিজমগুলির জন্য ধারণ করে, যেহেতু 3-বর্ণগুলি এবং ত্রিভুজগুলি স্থির-বিন্দু মুক্ত এন্ডোমর্ফিজম হয় $\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$ $G$ $G'$ $G$ $|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$ $\# 3COL$ $G'$ ।

আপনি যদি সংযুক্ত থাকতে চান তবে নীচের মতো করতে পারেন। প্রথম দয়া করে মনে রাখবেন কাউন্টিং প্রান্তবিন্দু রঙের গ্রাফ endomorphisms (যেখানে রং এর ছেদচিহ্ন শুধুমাত্র রং এর অন্যান্য ছেদচিহ্ন ম্যাপ করা যেতে পারে ) কাউন্টিং গ্রাফ endomorphisms সমতূল্য, যেমন অনুসরণ করে। রং হতে দিন । প্রতিটি প্রান্তবিন্দু জন্য রং এর , একটি নতুন অসংলগ্ন করা যোগ বিজোড় চক্র অন্তত আকারের ( ), এবং এর কানেক্ট এক চূড়া করার । প্রতিটি এন্ডোমরফিজম to $G'$ $c$ $c$ $\{1,...,C\}$ $v$ $c$ $C_v$ $n + 2c$ $n=|V(G)|$ $C_v$ $v$ $G$ $2^n$ নতুন গ্রাফের এন্ডোমর্ফিজমগুলি (প্রতিটি চক্রের জন্য, কীভাবে এটি ম্যাপ করবেন তার দুটি বিকল্প রয়েছে)। নোট করুন যে কোনও শীর্ষবিন্দু যে কোনও ম্যাপ করতে পারে না , যেহেতু চক্রগুলি অনেক বড় (আপনাকে অন্যের মধ্যে একটি চক্র ফিট করতে সক্ষম হতে হবে, যা আপনি বিজোড় চক্রের জন্য করতে পারবেন না)। $G$ $C_v$

এখন সংযুক্ত যে একটি সংস্করণ তৈরি করতে আমরা একটি রঙিন সংস্করণ দিয়ে শুরু করি এবং তারপরে উপরের রূপান্তরটি প্রয়োগ করি। পূর্বের মতো শুরু করুন, একটি বিচ্ছিন্ন ত্রিভুজ । এবার একক নতুন নতুন ভার্টেক্স যুক্ত করুন যা প্রতিটি প্রান্তের সাথে যুক্ত । রঙিন লাল এবং অন্যান্য সমস্ত উল্লম্ব নীল। $G'$ $G$ $\Delta$ $v_0$ $G \cup \Delta$ $v_0$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

ধন্যবাদ! জন্য আপনার সঠিক সূত্র সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই (আমি এবং স্থির-পয়েন্ট- অনুরূপ কিছু এখনও ধারণ করে। আপনার যুক্তির দ্বিতীয় অংশটি সংযোগকে ধরে নিয়েও কঠোরতা দেখায়, আমি মনে করি এটি সত্য তবে আমি মনে করি এটি সরাসরি স্থির-বিন্দু মুক্ত এন্ডোমর্ফিজমগুলিতে প্রয়োগ হয় না (চক্র ম্যাপিংগুলিতে নির্দিষ্ট পয়েন্ট রয়েছে) তবে এটি এত গুরুত্বপূর্ণ নয়। আমি আরও জানতে আগ্রহী হতে পারি: সিদ্ধান্তের সমস্যাটি কি এনপি-হার্ড (অ-তুচ্ছ, এবং ফিক্সড পয়েন্ট-ফ্রি এন্ডোমর্ফিজমের জন্য)? আবার ধন্যবাদ!

| E n d (G^{'}) |

$|\mathrm{End}(G')|$

(| E n d (G) | + # 3 C O L (G)) (# t r i a n g l e s + 3^{3})

$(|\mathrm{End}(G)| + \#3COL(G))(\#triangles + 3^3)$

— a3nm

আপনি সূত্রটি সম্পর্কে ঠিক বলেছেন - আমি এটি আপডেট করেছি। দ্বিতীয় অংশ সংশোধন করা হয়েছে দফা-মুক্ত করার জন্য আবেদন করতে হলে, দুই সর্বাধিক দূরবর্তী ছেদচিহ্ন প্রতিটি থেকে একটি প্রান্ত করা করার । ফিক্সড-পয়েন্ট-মুক্তের জন্য গণনাটি কিছুটা আলাদা হবে তবে আমি মনে করি এটি এখনও কার্যকর হয়। (আপনার চক্রের আকার বাড়াতেও হতে পারে ...)। দৃ pairs় গ্রাফের জোড়া (কোনও নন্ট্রাইভিয়াল এন্ডো নেই) , এর বিভক্তির অস্তিত্বের সিদ্ধান্ত নেওয়া (বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন) বা সমকোষের অস্তিত্বের সিদ্ধান্তের সমতুল্য । প্রায় সমস্ত গ্রাফ কঠোর whp, তাই সিদ্ধান্ত নেওয়া সম্ভব যে এনপি-হার্ড ...

C_{v}

$C_v$

v

$v$

G, H

$G,H$

G \cup H

$G \cup H$

G \to H

$G \to H$

H \to G

$H \to G$

— জোশুয়া গ্রাচো

ঠিক আছে আমি মনে করি আমি স্থির-পয়েন্ট-মুক্ত গণনার জন্য আপনার যুক্তিটি কিনছি। সিদ্ধান্তের জন্য, আসলে আমি এখন লক্ষ্য করেছি যে "গ্রাফের মূল", হেল, পি। 8-9, প্রমাণ করেছে যে একটি অ-তুচ্ছ এন্ডোমরফিজমের অস্তিত্বের সিদ্ধান্ত নেওয়া এনপি-সম্পূর্ণ। (ফিক্সড পয়েন্ট-ফ্রি এন্ডোমর্ফিজমগুলির প্রশ্নটি এখনও রয়ে গেছে তবে এটি বিশ্বাস করা খুব কঠিন হবে না যে এটি খুব

— কঠিনও