লাস ভেগাস বনাম মন্টি কার্লো এলোমেলোভাবে সিদ্ধান্তের গাছের জটিলতা

Question

পটভূমি:

সিদ্ধান্ত গাছ জটিলতা বা ক্যোয়ারী জটিলতা নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত গণনার একটি সাধারণ মডেল। যাক একটি বুলিয়ান ফাংশন হবে। এর নির্ণায়ক ক্যোয়ারী জটিলতা চ , প্রকাশ ডি ( চ ) , সর্বনিম্ন ইনপুটের বিট সংখ্যা এক্স ∈ { 0 , 1 } এন পড়তে হবে একটি নির্ণায়ক আলগোরিদিম দ্বারা যে হবে (খারাপ ক্ষেত্রে) যে নির্ণয় চ ( এক্স $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$$f$$D(f)$$x\in\{0,1\}^n$$f(x)$। নোট করুন যে জটিলতার পরিমাপ হ'ল পাঠ করা ইনপুটটির বিটের সংখ্যা; অন্যান্য সমস্ত গণনা বিনামূল্যে।

একইভাবে, আমরা লাস ভেগাস এর নির্ধারিত কোয়েরি জটিলতা সংজ্ঞায়িত করি , আর 0 ( এফ ) চিহ্নিত করে নূন্যতম সংখ্যার ইনপুট বিট হিসাবে প্রত্যাশায় শূন্য-ত্রুটিযুক্ত এলোমোরিডমকে f ( x ) গণনা করে পড়তে হবে । একটি শূন্য ত্রুটির অ্যালগরিদম সর্বদা সঠিক উত্তরকে আউটপুট দেয় তবে এর দ্বারা পড়া ইনপুট বিটের সংখ্যাটি অ্যালগরিদমের অভ্যন্তরীণ এলোমেলোতার উপর নির্ভর করে। (এই কারণেই আমরা প্রত্যাশিত সংখ্যার ইনপুট বিটগুলি পরিমাপ করি))$f$$R_0(f)$$f(x)$

আমরা মন্টে কার্লো এর কোয়েরি জটিলতা এলোমেলোভাবে সংজ্ঞায়িত , প্রকাশ আর 2 ( চ ) , যে একটি বেষ্টিত-ত্রুটি এলোমেলোভাবে অ্যালগরিদম যে নির্ণয় দ্বারা পড়া করা প্রয়োজন ইনপুট বিট ন্যূনতম সংখ্যা হতে চ ( এক্স ) । একটি উত্তরে-ত্রুটি অ্যালগরিদম সবসময় শেষে একটি উত্তর আউটপুট, কিন্তু এটি শুধুমাত্র চেয়ে সম্ভাব্যতা বৃহত্তর সঙ্গে সঠিক হওয়া প্রয়োজন 2 / 3 (বলুন)।$f$$R_2(f)$$f(x)$$2/3$

---

প্রশ্ন

প্রশ্নটি সম্পর্কে কী জানা যায়

?$R_0(f) = \Theta(R_2(f))$

এটা জানা যায়

$R_0(f) = \Omega(R_2(f))$

কারণ মন্টি কার্লো অ্যালগরিদম কমপক্ষে লাস ভেগাস অ্যালগরিদমের মতো শক্তিশালী।

আমি সম্প্রতি শিখেছি যে দুটি জটিলতার মধ্যে কোনও বিচ্ছিন্নতা নেই। এই দাবির জন্য আমি যে সর্বশেষতম রেফারেন্সটি পাই তা 1998 সালের [1] থেকে:

[1] নিকোলাই কে। ভেরেশচাগিন, র্যান্ডমাইজড বুলিয়ান সিদ্ধান্ত গাছ: বেশ কয়েকটি মন্তব্য, তাত্ত্বিক কম্পিউটার সায়েন্স, খণ্ড 207, সংখ্যা 2, 6 নভেম্বর 1998, পৃষ্ঠা 329-342, আইএসএসএন 0304-3975, http://dx.doi.org/ 10.1016 / S0304-3975 (98) 00071-1 ।

অন্যের নিরিখে একের সর্বাধিক পরিচিত উপরের সীমাটি

$R_0(f) = O(R_2(f)^2 \log{R_2(f)})$

[2] এর কারণে:

[2] কুলকর্ণি, আর।, এবং তাল, এ (2013, নভেম্বর)। ভগ্নাংশ ব্লক সংবেদনশীলতা উপর। ইলেক্ট্রনিক কলকুইয়াম ইন কম্পিউটেশনাল কমপ্লেক্সিটি (ইসিসিসি) (ভলিউম 20, পৃষ্ঠা 168)।

আমার দুটি নির্দিষ্ট প্রশ্ন আছে।

1. [রেফারেন্সের অনুরোধ]: আরও একটি সাম্প্রতিক কাগজ (1998 এর পরে) রয়েছে যা এই সমস্যাটি নিয়ে আলোচনা করে?
2. আরও গুরুত্বপূর্ণ , এই দুটি জটিলতা পৃথক করতে অনুমান করা হয় যে প্রার্থী ফাংশন আছে?

ভি 2- এ যুক্ত হয়েছে: যুক্ত রেফ [2], প্রার্থী ফাংশনের অস্তিত্ব সম্পর্কে দ্বিতীয় প্রশ্নের উপর জোর দিয়েছে।

Answer 1

আমি যতদূর জানি, এটি এখনও উন্মুক্ত। খুব সাম্প্রতিক একটি কাগজ যা এই পরিমাণগুলি এবং কিছু সীমা উল্লেখ করেছে তা হ'ল অ্যারনসন এট আল: দুর্বল সমতা (দেখুন http://arxiv.org/abs/1312.0036 )। আপনি জুকনার ১৪ তম অধ্যায়টিও দেখতে পাবেন: বুলিয়ান ফানকিউশনস এবং বুহরম্যান এবং ডি ওল্ফের দ্বারা পরিচালিত 1999 (এখনও 1998! এলোমেলোভাবে সিদ্ধান্তের গাছের জটিলতা সম্পর্কে আরও একটি সাম্প্রতিক কাগজ হ'ল ম্যাগনিজ এট আল: http://arxiv.org/abs/1309.7565

শেষ অবধি, আমি নিজের জন্য একটি ছোট সংক্ষিপ্তসার গত মাসে তৈরি করেছি (ডিফগুলি ছাড়াই):

R2 হলো <= R0 <= D: <= ঢ

ডি <= N0 * এন 1 <= c ^ 2 <= R0 ^ 2

s <= বিএস <= সি <= এস * বিএস <= বিএস ^ 2 (নতুন: [গিলমার-সাকস-শ্রীনীবাসন]: এফ সেন্ট বিএস ^ 2 (এফ) = ও (সি (ফ))) রয়েছে

ডি <= এন 1 * BS <= BS ^ 3 <= (3R2) ^ 3

ডিগ্রি <= ডি <= বিএস * ডিগ <= ডিগ্রি ^ 3 (নতুন: [তাল]: বিএস <= ডিগ্রি ^ 2)

ডি <= এন 1 * ডিগ্রি

সি <= BS * ডিগ্রি ^ 2 <= ডিগ্রি ^ 4

সংবেদনশীলতা অনুমান যে গুলি এছাড়াও অন্যান্য পরামিতিগুলির সাথে বহুপদীভাবে সম্পর্কিত।

Comments

এই কাগজপত্রগুলি যেখানে লাস ভেগাস বনাম মন্টি কার্লো অ্যালগরিদমের প্রশ্নটি উল্লেখ করেছে আপনি নির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করতে পারেন? আমি এই কাগজপত্রগুলিতে এটি সন্ধান করার চেষ্টা করেছি কিন্তু এটি পাইনি।

— রবিন কোঠারি

আমি দু: খিত ছিলাম আমি দুঃখিত, এই কাগজপত্রগুলি স্পষ্টভাবে প্রশ্নটির উল্লেখ করে না, কেবলমাত্র বিভিন্ন পরামিতিগুলির জন্য বিভিন্ন বৈষম্য। প্রশ্নের মুক্তির জন্য আমার একমাত্র প্রমাণ হ'ল এটি না থাকলে এটি উল্লেখ করা হত।

— ডমোটরপ

ওহ, আমি কী বোঝাতে চাইছি তা বুঝতে পেরেছি। আমি এই কাগজপত্র পড়েছি। আমি ভাবছি যদিও এই সমস্যাটি বিশেষভাবে সাম্প্রতিককালে অধ্যয়ন করা হয়েছে। এবং আমি জানতে আগ্রহী যে এই দুটি জটিলতা পৃথক করতে অনুমান করা হয় যে একটি ফাংশন আছে কিনা। (বা লোকেরা যদি বিশ্বাস করে যে তারা একই রকম))

— রবিন কোঠারি

আমি জানি যে এটি অনুমান করা হয়েছে যে ডি থেকে সবচেয়ে বড় বিচ্ছেদটি R0 এবং R2 উভয়ের জন্য ন্যানড-ট্রি।

— ডোমোটরপ

Answer 2

এই প্রশ্নের সমাধান হয়েছে!

$f$

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_2(f)^{2})$

আর যদি

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_1(f)^{2})$

$R_1(f)$

উভয় বিচ্ছেদ লগ ফ্যাক্টর পর্যন্ত সর্বোত্তম!

Comments

তাদের কাগজের নতুন সংস্করণে, এটি প্রায় চতুর্ভুজ ব্যবধানে উন্নত করা হয়েছে, যা লগ ফ্যাক্টরগুলির সাথে আঁটসাঁট।

— শ্যালভ