3-SUM এর গুণিত সংস্করণ

22

নিম্নলিখিত সমস্যার সময় জটিলতা সম্পর্কে কী জানা যায়, যাকে আমরা 3-MUL বলি?

একটি সেট দেওয়া এর পূর্ণসংখ্যার, সেখানে উপাদান যেমন যে ? $S$ $n$ $a,b,c\in S$ $ab=c$

এই সমস্যাটি 3-এসইউমের সমস্যার মতো, যা এস-এ তিনটি উপাদান রয়েছে কিনা এমন জিজ্ঞাসা করে যে (বা সমতুল্য )। 3-এসইউমে মধ্যে প্রায় চতুর্ভুজ সময় প্রয়োজন অনুমান করা হয় । 3-MUL এর জন্য কি একই অনুমান আছে? বিশেষত 3-এমইউএল 3-সুম শক্ত হিসাবে পরিচিত? $a,b,c\in S$ $a+b+c=0$ $a+b=c$ $n$

দ্রষ্টব্য, সময়ের জটিলতা গণনার একটি "যুক্তিসঙ্গত" মডেলটিতে প্রয়োগ করা উচিত। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, আমরা 3-সমষ্টি থেকে একটি সেটে কমাতে পারে 3-MUL উপর সেট , যেখানে । তারপরে 3-MUL, একটি সমাধান উপস্থিত থাকে এবং কেবল যদি । যাইহোক, সংখ্যাগুলির এই সূচকীয় উত্সাহটি বিভিন্ন মডেলের সাথে উদাহরণস্বরূপ র‌্যাম মডেলের মতো খুব খারাপভাবে স্কেল করে। $S$ $S'$ $S'=\{2^x\mid x\in S\}$ $2^a\cdot 2^b=2^c$ $a+b=c$

cc.complexity-theory ds.algorithms time-complexity

— মার্কাস জলসেনিয়াস
সূত্র

আপনার হ্রাসটি দেখায় যে 3-MULT 3-SUM কঠোর হয় যদি ইনপুট সংখ্যাগুলি সূচকযুক্ত (ওরফে বৈজ্ঞানিক) স্বরলিপি ব্যবহার করে প্রকাশ করা যায়।

— ওয়ারেন স্কুডি

4

3-সুমের জন্য যে কোনও অ্যালগরিদম যা সম্পূর্ণরূপে নির্ভর করে যে সংযোজন একটি গ্রুপ, 3-MULT এর জন্য একটি অ্যালগরিদমে অনুবাদ করা যেতে পারে এবং এর বিপরীতে। উভয়কে পৃথক করার যে কোনও অ্যালগরিদম সুতরাং সংখ্যার সাথে অস্বাভাবিক কিছু করার প্রয়োজন।

— ওয়ারেন স্কুডি

1

মারাত্মক পেডেন্টিক হওয়ার জন্য, আমাদের কেবলমাত্র একটি আধাগোষ্ঠীর প্রয়োজন হতে পারে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

11

আপনার এসইএম থেকে এমএলএল হ্রাস একটি ছোট স্ট্যান্ডার্ড পরিবর্তনের সাথে কাজ করে। ধরুন আপনার মূল পূর্ণসংখ্যার {ছিল }। রূপান্তরের পরে নতুন পূর্ণসংখ্যাগুলি { in এ থাকে } আমরা পরিসীমা হ্রাস করব। $3$ $3$ $1,\ldots,M$ $x\rightarrow 2^x$ $2,\ldots,2^M$

নতুন সেট যেকোন ট্রিপল বিবেচনা করুন । কোনো অশূন্য প্রধান ভাজক সংখ্যা হল । এই জাতীয় ট্রিপলের সংখ্যা । অত: পর মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা যার অন্তত একটি এ ভাগ অশূন্য সংখ্যার সর্বাধিক হয় । $a,b,c$ $S'$ $ab-c$ $<2M$ $n^3$ $q$ $ab-c$ $2Mn^3$

যাক প্রথম সেট হতে মৌলিক। এ জাতীয় বৃহত্তম আকারের আকারটি বেশিরভাগ । একটি এলোমেলো প্রাইম চয়ন করুন । উচ্চ সম্ভাব্যতার সাথে কোনও ননজারো কোনও ভাগ করবে না , সুতরাং আমরা প্রত্যেকের এর এর অবশিষ্টাংশ, মোড দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করতে পারি এবং এমএল যদি কিছু খুঁজে পায় তবে উচ্চ সম্ভাবনার সাথে এটি হবে মূল এসইএম দৃষ্টান্তের জন্য সঠিক হতে হবে । আমরা সংখ্যার পরিসর হ্রাস করে { } এ } $P$ $2M\cdot n^4$ $O(Mn^4\log Mn)$ $p\in P$ $p$ $ab-c$ $a\in S'$ $p$ $3$ $ab=c$ $S'$ $3$ $0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

(এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড আকার হ্রাস। সর্বদা এর দুটি শক্তির পার্থক্যের বিষয়টি বিবেচনা করে আপনি আরও ভাল করতে সক্ষম হতে পারেন )) $ab-c$ $2$

— virgi
সূত্র

1

আপনি 3MUL পরিবর্তে 3MUL মোডে প্রাইম হ্রাস করেননি? এটি যে হতে পারে তবে ।

a b = c (\mod () p)

$ab=c \pmod(p)$

a b \neq c

$ab \ne c$

— ওয়ারেন স্কুডি

1

হ্যাঁ, যেমনটি হ'ল এটি 3MUL মোড পি তে হ্রাস। ভাল যুক্তি.

— কুমারী

এটি একটি খুব আকর্ষণীয় পদ্ধতির। তবে আমরা বিশেষত 3-এসইউএম থেকে 3-এমএলএর প্রতিরোধমূলক হ্রাসে আগ্রহী। আকার কমানোর কৌশলটি সম্ভবত ডিজ্যান্ডামাইজ করা সম্ভব হবে?

— মার্কাস জলসেনিয়াস

3

আপনি কি যেখানে কমানোর চেষ্টা করেছেন ? ফলাফলগুলি আসল সংখ্যা তাই আপনাকে কয়েকটি সংখ্যায় গোল করতে হবে। রাউন্ডিং সত্ত্বেও সংখ্যাগুলি সঠিকভাবে যুক্ত হয়েছে তা নিশ্চিত করার জন্য আপনাকে কিছুটা এলোমেলো গোলমাল যোগ করতে হতে পারে। $S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$ $M=\max S− \min S$

— ওয়ারেন স্কুডি
সূত্র

উফফ, এলোমেলো গোলমাল গোলাকার ত্রুটিটি ঠিক করার জন্য যথেষ্ট মনে হয় না। তবে এই ধারণাগুলি 3-MULT দেখানোর অন্য উপায় হ্রাস করার প্রতিশ্রুতিবদ্ধ বলে মনে হয় না, যেহেতু উদাহরণস্বরূপ ce লিসিল ।

(⌈ x ⌉ + 1) + ⌈ y ⌉ = ⌈ x + y ⌉ + 1

$(\lceil x \rceil + 1) + \lceil y \rceil = \lceil x + y \rceil + 1$

— ওয়ারেন শুডি

1

সমীকরণটি সঠিক বলে মনে হচ্ছে না (চেষ্টা করুন x এবং y = 2.1)। আপনি কী বলতে চেয়েছিলেন তা কি আপনি স্পষ্ট করে বলতে পারেন?

— রাফেল