নিবন্ধযুক্ত আধা-বেসরকারী মুদ্রা সহ রেফার করা গেমস

Question

আমি এই প্রশ্নের উত্তরে সত্যই আগ্রহী (এবং এখনও আছি), কারণ গেমগুলির জটিলতার সমাধানের জন্য এটি একটি আকর্ষণীয় প্রকরণ, তাই আমি একটি অনুদানের প্রস্তাব দিয়েছিলাম। আমি ভেবেছিলাম মূল প্রশ্নটি খুব সম্ভবত খুব শক্ত, তাই আমি তিনটি সম্পর্কিত প্রশ্ন পোস্ট করেছি যা অনুগ্রহের যোগ্যও হবে। অনুগ্রহের মেয়াদ শেষ হওয়ার আগে কেউ কোনও উত্তর পোস্ট করেনি। আমি পরে সম্পর্কিত দুটি প্রশ্নের উত্তর দিতে সক্ষম হয়েছি (আমার মূল পোস্টের নীচে আলোচিত প্রশ্নগুলি 3 এবং 4), যা দেখানো হয়েছে যে রিফার্ড গেমগুলির মান আনুষঙ্গিকভাবে অর্ধ-বেসরকারী মুদ্রার (নীচে সংজ্ঞায়িত) সাথে সমাপ্তি এক্সপটাইম-সম্পূর্ণ ছিল। মূল প্রশ্নটি এখনও উত্তরহীন। আমি আকর্ষণীয় জটিলতা ক্লাসে PSPACE এবং EXPTIME এর মধ্যে সম্পর্কিত গেমগুলি রাখার যে কোনও ফলাফলে আগ্রহী।

মূল পোস্ট:

এই প্রশ্নটি ইতাইয়ের হেক্স প্রশ্নে আলোচনার মাধ্যমে অনুপ্রাণিত হয়েছিল । একটি রেফার্ড গেম এমন একটি গেম যেখানে দুটি কম্পিউটেশনাল আনবাউন্ডেড প্লেয়ার বেসরকারী মুদ্রা উল্টাতে পারে এমন বহু-কালীন যাচাইকারী মাধ্যমে যোগাযোগ করে খেলে (এইভাবে মোড়ের সংখ্যা এবং যোগাযোগের পরিমাণটিও বহু-কাল-সীমাবদ্ধ)। খেলা শেষে, রেফারি পি-তে একটি অ্যালগরিদম চালায় কে জিতবে তা নির্ধারণ করতে। কে এই জাতীয় খেলা (প্রায় আনুমানিক) কে জিতবে তা নির্ধারণ করা EXPTIME সম্পূর্ণ। আপনার যদি পাবলিক কয়েন এবং জনসাধারণের যোগাযোগ থাকে তবে এই জাতীয় গেমগুলি PSPACE এ থাকে। ( দেখুন ফিজে এবং কিলিয়ান, "গেমগুলি সংক্ষিপ্ত করে তোলা।" ) আমার প্রশ্ন এই দুটি ফলাফলের মধ্যে সীমানা নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে।

• প্রশ্ন: ধরুন আপনার কাছে দু'জন গণনামূলকভাবে আনবাউন্ডেড খেলোয়াড় রয়েছে যারা বহু-দৈর্ঘ্যের গেম খেলেন। রেফারির ভূমিকা প্রতিটি পদক্ষেপের আগেই প্রতিটি খেলোয়াড়কে কিছু সংখ্যক বেসরকারী মুদ্রা ফ্লিপ করে দেয় (অন্য খেলোয়াড়ের সাথে সম্পর্কহীন) limited প্লেয়ারের সমস্ত পদক্ষেপই সর্বজনীন, এবং তাই তার প্রতিপক্ষের দ্বারা দেখা - একমাত্র ব্যক্তিগত তথ্য মুদ্রা ফ্লিপ হয়। গেমের শেষে, সমস্ত প্রাইভেট কয়েন উল্টে যায় এবং পলি-টাইম রেফারি এই কয়েনগুলি ফ্লিপ করে এবং খেলোয়াড়ের পদক্ষেপগুলি কে জিতবে তা সিদ্ধান্ত নিতে ব্যবহার করে।

  রেফার্ড গেমসের ফলাফলের দ্বারা, প্রথম খেলোয়াড়ের জয়ের সম্ভাবনাটি প্রায় শেষ করে এক্সপটাইম হয় এবং এটি স্পষ্টভাবে পিএসপিএসি-হার্ডও হয়। এটি কোনটি হয় (যদি হয়)? এই সমস্যা সম্পর্কে কিছু জানা আছে?

মনে রাখবেন যে খেলোয়াড়দের মিশ্র কৌশলগুলি ব্যবহার করতে হতে পারে, যেহেতু আপনি এইভাবে শূন্য-সমষ্টি ম্যাট্রিক্স গেমস (একটি লা ভন নিউমন) খেলতে পারেন।

উপাদান যুক্ত:

আসুন এই জটিলতা শ্রেণীর আরজিইউএসপি কল করুন (সমস্ত ভাষা যা উপরোক্ত বর্ণিত হিসাবে নিরবিচ্ছিন্ন সেমিপ্রাইভেট কয়েনগুলির সাথে একটি রেফার্ড গেমে হ্রাস করা যেতে পারে, যেমন যদি , থাকে তবে প্লেয়ার 1 সম্ভাব্যতার সাথে জিতে যায় , এবং যদি , প্লেয়ার সম্ভাব্যতা সহ 1 জয় )। আমার সম্পর্কিত তিনটি প্রশ্ন হ'ল:$L$$x \in L$$\geq 2/3$$x \notin L$$\leq 1/3$

• প্রশ্ন 2: আরজিইউএসপি মোটামুটি শক্তিশালী বলে মনে হচ্ছে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি গেমটি পরিবর্তন করি যাতে রেফারি বার্তাগুলি প্রেরণ করে না, তবে কেবল প্লেয়ার 1 এবং 2 এর সর্বজনীন বার্তাগুলি পর্যবেক্ষণ করে এবং তাদের কাছ থেকে ব্যক্তিগত বার্তাগুলি গ্রহণ করে, তবে এই গেমটির মান প্রায় এখনও আরজিইউএসপি এর সমতুল্য। আমি প্রদর্শন করতে চাই যে আরজিইউএসপি শক্তিশালী, তাই যে কোনও প্রাকৃতিক জটিলতা শ্রেণি সি খুঁজে পায় তাকে আমি অনুগ্রহ দিতে প্রস্তুত, যাতে পিএসপিএসি সাবটেক সি সাবটেক্স আরজিইউএসপি, যেখানে যে কোনও পাতাগুলিই সঠিক বলে মনে হয় না।$\subseteq$$\subseteq$

• প্রশ্ন 3: আমি আরও দৃ strongly়ভাবে সন্দেহ করি যে ক্লাস আরজিসিএসপি (সংশোধিত সেমিপ্রাইভেট কয়েনস সহ রেফারড গেমস) এক্সপাইম সম্পূর্ণ, এবং আমি এই সত্যটি প্রমাণ করে এমন কাউকে অনুদান দিতেও রাজি আছি। আরজিসিএসপিতে, প্রথম ধাপে, রেফারি দুটি খেলোয়াড়কে এলোমেলো পরিবর্তনগুলি দেয় (উদাহরণস্বরূপ, তিনি সম্ভবত প্রথম খেলোয়াড়কে একটি বড় প্রজেক্টিভ বিমানে একটি পয়েন্ট দিতে পারেন, এবং দ্বিতীয় খেলোয়াড়কে এই পয়েন্টযুক্ত একটি লাইন দেয়)। এর পরে, রাউন্ডের বহু সংখ্যার জন্য দুই খেলোয়াড় বিকল্পভাবে একে অপরকে বহু-আকারের পাবলিক বার্তা প্রেরণ করে। গেমটি খেলার পরে, পলিটাইম রেফারি সিদ্ধান্ত নেয় কে জিতল। প্লেয়ার 1 এর জন্য জয়ের সম্ভাবনাটি প্রায় অনুমান করার জটিলতা কী?

• প্রশ্ন 4: অবশেষে, আমার কাছে একটি প্রশ্ন আছে যা সত্যই ক্রিপ্টোগ্রাফি এবং সম্ভাব্যতা বিতরণ সম্পর্কে হতে পারে: অসম্পূর্ণ আধা-প্রাইভেট কয়েনগুলির সাথে একটি রেফার্ড গেমটিতে দুজন খেলোয়াড়কে বিস্মৃত স্থানান্তর করার ক্ষমতা দেওয়ার ফলে তারা কি সম্পর্কযুক্ত মুদ্রার সাথে একটি স্বেচ্ছাসেবী রেফার্ড খেলা খেলতে দেয়? (বা বিকল্পভাবে, এটি কী তাদের বিজয়ী নির্ধারণ করে এমন কোন খেলা খেলতে দেয় যা এক্সপটাইম-সম্পূর্ণ?)

Comments

একটি পর্যবেক্ষণ হ'ল রেফারিকে কেবল গেমের শুরুতে খেলোয়াড়দের এলোমেলো কয়েন দেওয়া দরকার। আপনি শুধু গ্রহণ তাঁর একান্ত র্যান্ডম কয়েন কিছু তার পদক্ষেপ সামনে খেলোয়াড় 1 র্যান্ডম কয়েন তৈরি করতে পারেন খেলা শুরু থেকে এবং তাদের সঙ্গে একটি স্ট্রিং XOR'ing খেলোয়াড় 2. দ্বারা সরবরাহকৃত এটা খেলোয়াড় দেখানোর জন্য সহজ 2 ব্যবহার করতে পারবেন না এলোমেলোভাবে নির্বাচন করার চেয়ে আরও ভাল (যে ক্ষেত্রে এক্সওআর এলোমেলোও ) $r$$s$$s$$s$$r$

— পিটার শোর

আমি "অর্ধ-বেসরকারী অর্ধ-পাবলিক" শব্দটি ঘৃণা করি। আধা-বেসরকারী কীভাবে?

— পিটার শোর

এটিকে 'ফেসবুক ব্যক্তিগত' বলুন;)। আপনি মনে করেন এটি ব্যক্তিগত, কিন্তু এটি নয়

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমার কাছে মনে হচ্ছে যে এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য ফেইজ-কিলিয়ান প্রমাণ সহজেই মানিয়ে নেওয়া যায় না।

— পিটার শর

আমি মনে করি যাদু: জড়ো করা (এবং সম্ভবত অন্যান্য সংগ্রহযোগ্য কার্ড গেমস) এই দুর্বল প্রকারের রেফার্ড গেমের নিখুঁত উদাহরণ। আমি ম্যাজিক খেলি না, তবে প্রতিটি খেলোয়াড়ের একটি ডেক থাকে এবং খেলোয়াড়রা তাদের নিজস্ব ডেকে বদলে শুরু করে, তাই সমস্ত এলোমেলোভাবে সম্পর্কহীন।

— পিটার শোর

Answer 1

আমি আমার আসল প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি না, তবে আমি 3 (এবং 4) প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি, যা আমি যখন অনুদানের প্রস্তাব দিয়েছিলাম তখন আমি যুক্ত করেছিলাম কারণ আমি মনে করি যে আসল প্রশ্নটি সম্ভবত খুব শক্ত। আসলে, আমার কাছে প্রশ্ন 3 এর দুটি প্রমাণ রয়েছে।

এখানে প্রশ্নের 3 এর সেটিংটি রয়েছে: আমাদের কাছে একটি বহু-সময়কালীন রেফারি রয়েছে, যারা খেলার শুরুতে খেলোয়াড়দের 1 এবং 2 টির সাথে সম্পর্কিত র্যান্ডম ভেরিয়েবল দেয়। খেলোয়াড় 1 এবং 2 তারপরে রেফারির কোনও হস্তক্ষেপ ছাড়াই গেমটি খেলেন। গেমের শেষে, রেফারি ট্রান্সক্রিপ্টটির উপরে নজর রাখে এবং সিদ্ধান্ত নেয় যে কে জিতবে। আমি দেখিয়ে দিতে পারি যে এই জাতীয় খেলায় কে জিতবে তা স্থির করে দেওয়া শেষ, যদিও আপনাকে যদি প্রতিশ্রুতি দেওয়া হয় যে সম্ভাবনা কমপক্ষে দিয়ে বিজয়ী জিতবে ।$2/3$

======== প্রুফ 1 =============

প্রথম প্রমাণটি এই সত্যটি ব্যবহার করে যে নিরাপদ দ্বি-পক্ষী গণনার জন্য বিস্মৃত স্থানান্তর সর্বজনীন। সুতরাং, যদি 1 এবং 2 খেলোয়াড়গুলি বিস্মৃত স্থানান্তরিত করতে পারে তবে তারা একটি স্বেচ্ছাসেবী বহু-সময় রেফারি অনুকরণ করতে পারে, সুতরাং রেফার্ড গেমস এক্সপটাইম সম্পূর্ণ হওয়ার আগের ফলাফলগুলি প্রয়োগ করা যেতে পারে।

এখন, 1-2 বিস্মৃত স্থানান্তর স্থানান্তর করতে, খেলার শুরুতে, রেফারি দুটি খেলোয়াড়কে প্রচুর পরিমাণে "বিস্মৃত স্থানান্তর বাক্স" সরবরাহ করে। আমরা এই অসতর্ক স্থানান্তর বাক্সগুলির একটি বর্ণনা করি। হল P1 দুই র্যান্ডম সংখ্যা, পায় এবং । পি 2 এর মধ্যে এলোমেলো সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি পেয়ে যায়, এবং ভেরিয়েবল ( বা ) বলে যে তিনি পেয়েছেন পি 1 এর র্যান্ডম সংখ্যাগুলির মধ্যে। অবিস্মরণীয় স্থানান্তর সম্পাদন করতে, পি 1 তার দুটি টুকরোগুলি স্থানান্তর করতে চায় এবং সেগুলি এবং$r_1$$r_2$$r_i$$i$$=1$$2$$r_1$$r_2$। এরপরে পি 2 এর মধ্যে একটির ডিকোড করতে পারে তবে পি 1 কোন পি 2 ডিকোড করতে পারে তা বলতে পারে না। এটি 1-2 গাফিলত স্থানান্তর। (স্পষ্টতই, রেফারিকে খেলোয়াড়দেরও বিস্মৃত স্থানান্তর বাক্সগুলি পি 2 থেকে পি 1 এ অন্যভাবে নির্দেশিত করতে হবে।)

আমি যখন প্রথম প্রশ্ন 4 জিজ্ঞাসা করেছি, তখন আমি উদ্বিগ্ন ছিলাম যে নিরাপদ দ্বি-পক্ষী গণনার ফলাফলগুলি কোনও রেফারির সাথে এই জাতীয় ইন্টারেক্টিভ গণনার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়, তবে বাস্তবে এটি প্রদর্শন করা বেশ সহজ যে তারা তা করে।

=========== প্রুফ 2 ============

এখন প্রশ্নের ৩ য় দ্বিতীয় প্রমাণের জন্য এখানে আমাদের ফিরে গিয়ে ফিগ-কিলিয়ান প্রমাণটি সংশোধন করা দরকার। এই প্রমাণে তারা একটি টিউরিং মেশিন টি বিবেচনা করে যা একটি ঘনঘন সময় গণনা চালাচ্ছে। Feige এবং Kilian এনকোড সময়ে টেপ বিট একটি multilinear বহুপদী x_1 x_n বৃহৎ সসীম ক্ষেত্র জিএফ (ওভার )। এখন, রেফারি পি 1 কে একটি বিন্দু দেয় এবং এই পয়েন্টটি পি 2 তে থাকে এবং দু'জন খেলোয়াড় পয়েন্টের মূল্যায়ন দেয় এবং এর রেখাটি ফিরে দেয়। রেফারি একটি টাইম খুঁজে পেতে বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার করে যেখানে পি 1 এবং পি 2 এর মূল্যায়ন$2^n$$t$$Q_t($$, \ldots,$$)$$p$$Q_t$$t$$Q_t$সম্মত হন, তবে তাদের their এর মূল্যায়ন একমত নয়, এর পরে তিনি P1 কে একটি চতুর প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছেন যা প্রকাশ করবে যে সে মিথ্যা বলছে কিনা।$Q_{t+1}$

প্রথম যে জিনিসটি আমরা ব্যবহার করব তা হ'ল, এমনকি নিরবিচ্ছিন্ন এলোমেলো মুদ্রা থাকা সত্ত্বেও, রেফারি খেলোয়াড়কে 1 এবং 2 টি বিট কমিটমেন্ট সম্পাদন করতে পারে, এলোমেলো কয়েনগুলির সাথে তারা যে ডেটা প্রতিশ্রুতিবদ্ধ করতে চায় তা XOR থাকার মাধ্যমে। সুতরাং, আমরা পি 1 এবং পি 2 সম্পর্কে সিলযুক্ত খামগুলিতে জিনিসগুলি রাখার বিষয়ে কথা বলতে পারি।

একটা বিষয়ে তোমার Feige-Kilian প্রমাণ সিমুলেট করার চেষ্টা করতে পারে হল: রেফারি হল P1 বিভিন্ন পয়েন্ট অনেক দেয় লাইনের অনেক, এবং P2 এর , যাতে হয় । এখন, বাইনারি অনুসন্ধানের প্রতিটি ধাপে, খেলোয়াড়রা সিল করা এবং এবং তারপরে খেলোয়াড়রা খোলার জন্য এলোমেলোভাবে একটি বেছে নেয়। দুই খেলোয়াড় মানগুলি সুসংগত কিনা তা স্থির করে এবং সেই অনুসারে বাইনারি অনুসন্ধানে এগিয়ে যান। এখন, আমরা জুটিটি নষ্ট করে , কারণ উভয় খেলোয়াড়ই পয়েন্ট এবং রেখার মান জানেন তবে এখনও আমরা ব্যবহার করতে পারি এমন আরও অনেকগুলি (পয়েন্ট, লাইন) জোড়া রয়েছে।$p_i$$\ell_i$$p_i$$\ell_i$$Q_{t}(p_i)$$Q_t(\ell_i)$$(p_i, \ell_i)$

(রেফারি কীভাবে একজনকে বেছে নিতে পারবেন যদি তিনি খেলোয়াড়দের কেবলমাত্র খেলার শুরুতে নির্দেশনা দেন? তিনি শুরুতে দুটি খেলোয়াড়কে যে মূল্যবোধ দিয়েছিলেন সেগুলির XOR এ তার নির্দেশাবলী এনকোড করতে পারে এবং দু'জন খেলোয়াড় প্রাসঙ্গিক সময়ে মানগুলি প্রকাশ না করা পর্যন্ত নির্দেশিকাটি পড়তে পারবেন না))$(p_i, \ell_i)$

এই কৌশলটি পুরোপুরি কার্যকর হয় না, কারণ পি 1 এবং পি 2 যে দুটি পয়েন্ট (বা লাইন) দিয়ে মিথ্যা বলতে শুরু করেছিল তার সাথে সামঞ্জস্য রাখতে হবে না, পি 1 সঠিক মান দিতে পারে এবং জন্য ভুল মান । এটি সম্পূর্ণরূপে বাইনারি অনুসন্ধানে বিশৃঙ্খলা সৃষ্টি করবে এবং প্রোটোকলকে বেআইনী করে তুলবে। তবে, একটি ঝরঝরে কৌশল আছে যা আমরা P1 কে ধারাবাহিক হতে বাধ্য করতে ব্যবহার করতে পারি। 1 এর পয়েন্টের সেটগুলিতে একগুচ্ছ ডামি পয়েন্ট যোগ করুন এবং ডামি লাইন যুক্ত করুন$Q_t(p_i)$$Q_t(p_j)$${p}'_k$${\ell}'_k$পি 2 এর লাইনের সেটগুলিতে। প্রতিটি ডামি লাইনের এটিতে দুটি পয়েন্ট থাকুক। যদি P1 একটি লাইনে একটি ডামি পয়েন্টের জন্য সঠিক মান এবং অন্য ডামি পয়েন্টের জন্য সঠিক মান দিতে দেখা যায়, তবে তিনি নিজেকে মিথ্যাবাদী হিসাবে প্রকাশ করেছেন, যেহেতু P2 এর কোনও লাইনের মান দেওয়ার কোনও উপায় নেই is এটিতে পি 1 এর দুটি পয়েন্টের একটির জন্য সঠিক এবং অন্যটি নয়। ধারাবাহিকভাবে পি 2 উত্তর দেওয়ার জন্য আমরা অনুরূপ কৌশল করতে পারি। তারপরে কেবলমাত্র একমাত্র জিনিসটি দেখিয়ে দিচ্ছে যে ফিগে-কিলিয়ান প্রমাণের শেষ ধাপটি এখনও কাজ করে। এটি সরল হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে, যদিও বিশদটি অতিক্রম করে এই উত্তরটি আরও দীর্ঘায়িত করবে।