কোনও রুবিকের কিউব সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় কয়েকটি মুভের স্থানীয় ম্যাক্সিমা রয়েছে?

Question

রুবিক কিউব সমাধান করার জটিলতার উপর পূর্ববর্তী প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার প্রয়াসের প্রসঙ্গে পিটার শোর একটি আকর্ষণীয় বিষয় নিয়ে এসেছিলেন । আমি এটি দেখানোর জন্য একটি অনর্থক প্রচেষ্টা পোস্ট করেছি যে এটি অবশ্যই এনপিতে থাকা উচিত। পিটার ইঙ্গিত হিসাবে, আমার পন্থা কিছু ক্ষেত্রে ব্যর্থ হয়। এই জাতীয় উদাহরণের একটি সম্ভাব্য কেস যেখানে পথের দৈর্ঘ্যে স্থানীয় ম্যাক্সিমার উপস্থিতি রয়েছে। এর অর্থ এই যে, এটি কনফিগারেশন থেকে কিউব সমাধান করতে পদক্ষেপ নিতে পারে এবং বা হয় যে কোনও অবস্থান থেকে ঘনকটি সমাধান করতে পদক্ষেপ নিতে পারে যা থেকে এক চলাচলে পৌঁছতে পারে । এখন, থাকলে অগত্যা এ জাতীয় সমস্যাএস একজন একজন এস একজন এস একজন - 1 একটি এস $n \times n \times n$$S_A$$A$$S_A$$S_A - 1$$A$$S_A$সাধারণভাবে কিউব সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সর্বাধিক সংখ্যক পদক্ষেপ ( কিউবের জন্য Number সংখ্যা ), তবে স্পষ্টতই যদি সমস্যা হয় যদি চেয়ে God's সংখ্যার চেয়ে কম থাকে। তাহলে আমার প্রশ্নটি কি এই জাতীয় স্থানীয় ম্যাক্সিমার অস্তিত্ব আছে? এমনকি ঘনকের জন্য একটি উত্তর আমার পক্ষে আগ্রহী হবে। 3 × 3 × $S_A$$3 \times 3 \times 3$

Comments

যদিও আমার উদাহরণ নেই তবে আমি না থাকলে আমি অবাক হব, কারণ এর থেকে বোঝা যাচ্ছে যে আমরা maximumশ্বরের সংখ্যাকে কেবলমাত্র একটি সর্বাধিক স্থানীয় কনফিগারেশন খুঁজে বের করতে পারি (যদিও এটি একটি কঠোর যুক্তি নয়)।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়োশি আহ, তবে God'sশ্বরের সংখ্যা নির্ধারণের পরে স্থানীয় ম্যাক্সিমা ছিল কিনা তা জানা যায়নি! তবে আমি একমত যে আমি এই স্থানীয় ম্যাক্সিমার উপস্থিতি আশা করি। আমি নিশ্চিতভাবে জানি না, এবং এটি জানতে আগ্রহী।

— জো ফিৎসসিমনস

@ জো: হ্যাঁ, এটিই আমার যুক্তি সম্পর্কে কঠোর নয়। আমি আরও কঠোরভাবে অবাক হব :) যদি এটি প্রমাণ করা সম্ভব হয় যে সম্পূর্ণ অনুসন্ধান না করে স্থানীয় ম্যাক্সিমা নেই।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়োশি মনে হয় স্থানীয় ম্যাক্সিমা খুব ছোট পথের দৈর্ঘ্যের জন্য ঘটতে পারে না এবং কেবল God'sশ্বরের সংখ্যার কাছাকাছিই উপস্থিত হতে পারে বলে মনে হয়, এ কারণেই আমি মনে করি এটি এতটা নিশ্চিত নয় যে তাদের উপস্থিতি নেই।

— জো ফিটজসিমন্স

আমি জানি যে স্বেচ্ছাসেবী দলগুলির জন্য কেলি গ্রাফগুলিতে স্থানীয় ম্যাক্সিমামা থাকতে পারে। আমি এই ফলাফলটি কোথায় দেখেছি তা ভুলে গিয়েছি তবে আমি নিশ্চিত আমি এটি কোথাও দেখেছি। সুতরাং যতক্ষণ না রুবিকের কিউব গ্রুপটি কোনওরকম বিশেষ না হয়, কেউ আশা করে যে এটিতে স্থানীয় ম্যাক্সিমাও রয়েছে।

— পিটার শর

Answer 1

টমাস রোকিকিকে জিজ্ঞাসা করার সাথে সাথে এই প্রশ্নের সাথে সাথে সঠিক উত্তরটি পাওয়া গেল ("হ্যাঁ, স্থানীয় ম্যাক্সিমার অস্তিত্ব আছে"):

যদি কোনও অবস্থানের মোট প্রতিসাম্যতা প্রদর্শিত হয়, তবে এটির প্রয়োজন স্থানীয় সর্বাধিক (শুরু বাদে সমস্ত)। কিউটিএম [কোয়ার্টার-টার্ন মেট্রিক] এ কেন এটি হচ্ছে তা একটু চিন্তাভাবনার মাধ্যমে স্পষ্ট করা উচিত। এইচটিএম এর জন্য [অর্ধ-টার্ন মেট্রিক] এটি কিছুটা সূক্ষ্ম তবে খুব খারাপ নয়।

...

যেমন একটি অবস্থান পোন অ্যাসিনোরাম, যা QTM- এর দূরত্ব 12 এবং HTM (U2D2F2B2L2R2) এর দূরত্ব 6।

হাফ-টার্ন মেট্রিকের ক্ষেত্রে কেন এমনটি হচ্ছে তা আমি দেখছি না; তবে কোয়ার্টার-টার্ন মেট্রিকের জন্য এটি পরিষ্কার। মোট প্রতিসাম্য সহ একটি অবস্থানে, সমস্ত প্রতিবেশী অবস্থান একই পাথ দৈর্ঘ্যের হতে হবে (যেহেতু সমস্ত পদক্ষেপ প্রতিসাম্য দ্বারা সমতুল্য)। সুতরাং মোট প্রতিসাম্য সহ একটি অবস্থান অবশ্যই স্থানীয় সর্বাধিক বা কঠোর স্থানীয় ন্যূনতম হতে হবে। তবে কঠোর স্থানীয় মিনিমা থাকতে পারে না ... কিছুটা পদক্ষেপ নিতে হবে যা কেবলমাত্র দূরত্বের সংজ্ঞা দিয়ে সমাধান করা রাষ্ট্রের দূরত্বকে হ্রাস করে। প্রতিসাম্য যুক্তি অনুবাদ , ঘনক্ষেত্র হিসাবে প্রদত্ত উদাহরণ অবস্থানে আছে।$n \times n \times n$

Comments

কি সহজ যুক্তি, এটি উজ্জ্বল!

— হিশিয়ান-চিহ চাং 之 之 17'11

দুর্দান্ত, এটি খুব সুন্দর যুক্তি!

— জো ফিৎসসিমনস

Answer 2

এখানে একটি চূড়ান্ত যুক্তিযুক্ত যুক্তি যা স্থানীয় ম্যাক্সিমা কোথায় পাওয়া যেতে পারে তা বোঝায়। যাক অবস্থানের যে ঠিক প্রয়োজন সংখ্যা হতে ঘ সমাধান চলে আসে। এই জাতীয় অবস্থান থেকে প্রতিটি পদক্ষেপ কিউবকে দূরত্ব d - 1 , d , বা d + 1 এ নিয়ে যায় ; সুতরাং অ্যাক্সেসযোগ্য মোট এন ডি - 1 + এন ডি + এন ডি + 1 পজিশন রয়েছে। প্রতিটি অবস্থান থেকে এম পদক্ষেপ আছে , এম নতুন অবস্থানের দিকে নিয়ে যায়; দূরত্বে একটি অবস্থান $N_d$$d$$d-1$$d$$d+1$$N_{d-1} + N_d + N_{d+1}$$M$$M$$d$একটি স্থানীয় সর্বাধিক যখন কোনোটিই নয় অবস্থানের দুরত্ব হয় ঘ + + 1 । যদি আমরা অ্যাক্সেসযোগ্য অবস্থানগুলি থেকে এলোমেলোভাবে এই অবস্থানগুলি আঁকতে নিয়ে যাই (যা অবশ্যই তারা নয়; এটি হিউরিস্টিক অংশ), আমাদের রয়েছে:$M$$d+1$

$$\begin{eqnarray} X_d &=& P\left[\text{ a given position at }d\text{ is a local max }\right] \\ &=& \left(\frac{N_{d-1} + N_d}{N_{d-1} + N_d + N_{d+1}}\right)^M \\ &=& \left(1 + \frac{N_{d+1}}{N_{d-1} + N_d}\right)^{-M}. \end{eqnarray}$$

দূরত্ব এ স্থানীয় ম্যাক্সিমার প্রত্যাশিত সংখ্যা হ'ল এন ডি এক্স ডি ।$d$$N_d X_d$

$3 \times 3 \times 3$$M=18$$N_d$$N_{16} X_{16} = 0.2$$N_{17} X_{17} = 9 \times 10^9$$N_{18} X_{18} = 1.5 \times 10^{19}$$d \le 16$$d=17$$12 \times 10^{18}$$d=18$

Comments

$N_{d-1}+N_{d}+N_{d+1}$$N_d$$d$$d-1$$d$$d-1$$d+1$$d$। এই পরিস্থিতিগুলি কতটা সাধারণ বা বিরল হবে তা আমার কোনও ধারণা নেই।

— জো ফিটজসিমসন