নিষিদ্ধ প্রেরিত চক্রীয় সাবগ্রাফ দ্বারা সংজ্ঞায়িত গ্রাফ শ্রেণিতে বহুবর্ষীয় সমস্যা

11

এমও থেকে ক্রসপোস্ট করা ।

যাক গ্রাফ বর্গ নিষিদ্ধ প্ররোচক subgraphs, যার মধ্যে সব আবর্তনশীল হয় (অন্তত একটি চক্র ধারণ) একটি সসীম সংখ্যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা। $C$

এমন কি এনপি-হার্ড গ্রাফ সমস্যাগুলি রয়েছে যেগুলি গ্রীক এবং চক্রের আচ্ছাদন ব্যতীত বহুবচিক সময়ে সমাধান করা যায় ? $C$

যদি আমি সঠিকভাবে মনে রাখি তবে এটি স্বাধীন সেট ( ) পক্ষে অসম্ভব । $P=NP$

গ্রাফিকস্ল্যাশ.আরোগুলি অনুসন্ধান করুন।

যে শ্রেণীর জন্য ক্লাখ এবং ক্লাইকের আচ্ছাদনটি বহুপদী , সেটি হ'ল সি 5, সি 6, এক্স 164, এক্স 165, সানলেট 4, ত্রিভুজ মুক্ত

সম্পাদন করা

আইএস ও আধিপত্যের জন্য নেতিবাচক এই পত্রিকায় রয়েছে । পৃষ্ঠা 2, গ্রাফগুলি । $S_{i,j,k}$

— joro
সূত্র

3

ইন স্টিফান Kratsch পাসকাল Schweitzer, গ্রাফ Isomorphism দুই দ্বারা চিহ্নিত গ্রাফ ক্লাস জন্য নিষিদ্ধ প্ররোচক Subgraphs : জি আই (জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ) বহুপদী সময় জন্য সমাধেয়

গ্রাফ, কিন্তু (কম জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ) জন্য

গ্রাফ।

(K_{s}, I_{t}) -free

$(K_s, I_t)\text{-free}$

(K_{s}, K_{1, t}) -free

$(K_s, K_{1,t})\text{-free}$

— মারজিও দে বিয়াসি

2

সম্ভবত ক্রস পোস্টের এমও সম্পর্কিত প্রশ্নটি লক্ষ্য করা ভাল, যদি কেউ আগ্রহী হন তবে তারা উত্তর / মন্তব্যগুলি এখানে দেখতে পছন্দ করতে পারেন।

— আরবি

1

@ মারজিওডিবিবিসি, উত্তর দেওয়ার জন্য কেন আপনার মন্তব্য ঘুরিয়ে দিচ্ছেন না?

— সাইদ

14

আমি মনে করি যে অনেকগুলি কঠিন সমস্যা রয়েছে যা ত্রিভুজ মুক্ত গ্রাফের জন্য সহজ হয়ে ওঠে; বিশেষত যারা ত্রিভুজগুলিতে পার্টিশন যেমন ত্রিভুজগুলির সাথে সরাসরি ডিল করেন (জি কি ত্রিভুজগুলিতে বিভাজন রয়েছে?) অন্যান্য কম তুচ্ছ উদাহরণের মধ্যে রয়েছে:

স্থিতিশীল কাটসেট সমস্যা (জি-র সংযোগ বিচ্ছিন্ন এমন কি জি এর একটি স্বতন্ত্র সেট এস আছে?)। দেখুন: গ্রাফগুলিতে স্থির সুত্রে, বিচ্ছিন্ন প্রয়োগকৃত গাণিত্রে 105 (2000) 39-50।
ছেদ লেখার গ্রাফ বেসিস (কোনও কে-এলিমেন্ট গ্রাউন্ড সেটটির উপগ্রহের ছেদ গ্রাফটি কি?) দেখুন: সমস্যা [জিটি59] এতে: গ্যারি ও জনসন, কম্পিউটার এবং আন্তঃব্যক্তিত্ব: এনপি-কমপ্লিটেন্সিটির তত্ত্বের একটি গাইড।

— সোম ট্যাগ
সূত্র

11

এখানে সোন ট্যাগের উত্তরের কয়েকটি অতিরিক্ত উদাহরণ দেওয়া হল:

সংযোগ বিচ্ছিন্ন Cutset সমস্যা (না ছেদচিহ্ন একটি সেট মানা যেমন যে এবং subgraph দ্বারা প্রবর্তিত বিচ্ছিন্ন হয়) দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হয়েছে (দেখুন এখানে )। এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে এই সমস্যাটি ত্রিভুজবিহীন গ্রাফগুলির জন্য বহুবচনীয়ভাবে সমাধানযোগ্য (সুতরাং সোম ট্যাং দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে স্থিতিশীল কাটসেট সমস্যা)। $G$ $S$ $G-S$ $G$ $S$
ত্রিভুজাকার লাইনের গ্রাফগুলি সনাক্ত করা এনপি-সম্পূর্ণ ( এখানে দেখুন ), এটিও সহজে দেখা যায় যে ত্রিভুজ মুক্ত ইনপুট গ্রাফের জন্য এই সমস্যাটি বহুবচনীয় হয়ে পড়ে।
সর্বাধিক সংযুক্ত ম্যাচিংয়ের গণনা করা শক্ত ( এখানে দেখুন A মেলানো প্রান্তগুলির যে কোনও জোড়ার জন্য, উভয়ের উভয়ের সাথে গ্রাফের ঘটনার আর একটি প্রান্ত রয়েছে তবে একটি মিল সংযুক্ত থাকে)। এটি প্রমাণিত হতে পারে যে এই সমস্যাটি বহিরাগতভাবে দ্রবণীয় বিনামূল্যে গ্রাফের জন্য। $(C_3, C_4, C_5)$

— ভিবি লে
সূত্র

ধন্যবাদ. সুতরাং কিছু সমস্যা শক্ত থেকে যায় এবং অন্যেরা তা করে না।

— জোড়ো

10

উপরের মন্তব্য থেকে: স্টেফান ক্র্যাশচে, পাস্কাল শোয়েইজারে, গ্রাফ ক্লাসগুলির জন্য গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম দুটি নিষিদ্ধ অনুচ্ছেদের দ্বারা চিহ্নিত : জিআই বহুবর্ষীয় সময় (তুচ্ছভাবে) নিখরচায় গ্রাফ, তবে (কম তুচ্ছ) জন্য গ্রাফ। $(K_s,I_t)\text{-free}$ $(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

সম্পাদনা : যেমন মন্তব্যে উল্লেখ করা হয়েছে, একটি চক্র (আমি খুব দ্রুত কাগজ প্রবর্তনের পড়ুন) ধারণ করে না। $K_{1,t}$

এটি সম্পর্কে কিছুটা চিন্তা করার পরে, নিম্নলিখিত (মূল?) প্রমাণ করা সহজ বলে মনে হচ্ছে:

নেতিবাচক ফলাফল: যে সসীম সেট যা প্রত্যেক একটি চক্র, গ্রাফ isomorphism (জি আই) এর সমস্যা বর্গ অবধি সীমিত রয়েছে এর গ্রাফ জি আই-সম্পূর্ণ। $\{H_1,...H_k\}$ $H_i$ $\mathcal{C}$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$

প্রমাণ: একটি বর্গ ফিক্সড গ্রাফ যাতে প্রতিটি একটি চক্র, এবং প্রদত্ত রয়েছে যাক দীর্ঘতম চক্রের দৈর্ঘ্য হতে গুলি। প্রতিটি প্রান্ত প্রতিস্থাপন এর দৈর্ঘ্যের অবশ্যই কোন পথ দিয়ে $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$ $G_1,G_2$ $r$ $H_i$ $(u,v)$ $G_1,G_2$ $l = \lceil r/3 \rceil$ যোগ নতুন নোড (নীচে উল্লিখিত ছবিটি দেখুন)। নির্মাণ দ্বারা নতুন গ্রাফ হয় প্রকৃতপক্ষে সম্ভব কম চক্র একটি ত্রিভুজ যে দৈর্ঘ্য থাকতে হবে দ্বারা গঠিত যারা করছে $l$ $(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$ $G'_1, G'_2$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ ; এবং এটি প্রমাণ করা সহজ যে তারা মূলত যদি আইসোমরফিক হয় তবেই তারাআইসোমরফিক হয়। $3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$ $G_1,G_2$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন
চিত্র : একটি গ্রাফ বাম, এবং সমতুল্য গ্রাফ ডান দিকে (যে অনুমান দীর্ঘতম চক্র দৈর্ঘ্য , তাই এর প্রতিটি প্রান্ত দৈর্ঘ্যের পাথ দিয়ে প্রতিস্থাপিত হবে । $G_1$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $G'_1$ $H_i$ $r=15$ $G_1$ $l = 5$

আমরা হ্যামিলটোনিয়ান চক্র এনপিসি সমস্যাতেও নেতিবাচক ফলাফলটি প্রসারিত করতে পারি, প্রকৃতপক্ষে এটি নীচের (আসল?) এর তাত্ক্ষণিক বাস্তবতা:

উপপাদ্য : যে কোনও জন্য হ্যামিলটোনিয়ান চক্রের সমস্যা এনপি-সম্পূর্ণ থেকে যায় যদিও আমাদের গ্রাফ দৈর্ঘ্য চক্র না রাখে । $k \geq 3$ $G$ $\leq k$

প্রুফ আমরা জানি যে হ্যামিল্টনিয়ান চক্র সমস্যা এনপিসি এমনকি একটি প্ল্যানার নির্দেশ গ্রাফে প্রতিটি নোডের সাথে পরিতৃপ্ত: (Papdimitriou এবং Vazirani, দুই উপর ভ্রমন বিক্রয় সমস্যার সাথে সম্পর্কিত জ্যামিতিক সমস্যা)। আমরা গ্রাফ রুপান্তর করতে পারেন একটি undirectde গ্রাফ থেকে কেবল নোড ইনকামিং কিনারায় একটি নোড যোগ আছে $G$ $v$ $outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$ $G$ $G'$ $v$ , এবং নোড এর বহির্গামী প্রান্তেযা । তারপর আমরা নোড প্রতিস্থাপন করতে পারেন নীচের চিত্রে মধ্যে গ্যাজেট সঙ্গে। এটি দেখতে সহজ যে এখানে দুটি বৈধ ট্র্যাভারসাল রয়েছে (জিগজ্যাগগুলি) $indeg(v )=1$ $v$ $indeg(v)=2$ $G'$ ) যা গ্যাজেটের প্রতিটি নোডটি একবারে পরিদর্শন করে (চিত্রের লাল এবং সবুজ পাথ): গ্যাজেটগুলি উপরের থেকে নীচে যেতে পারে না, অন্যথায় অনুভূমিক (আগত বা বহির্গামী) পথটি কেটে ফেলা হবে। উপরন্তু আমরা গ্যাজেট উল্লম্ব / অনুভূমিক অংশ পর্যাপ্ত নোড স্থান, এবং তার zigzags সংখ্যা প্রসারিত তা নিশ্চিত করার জন্য দৈর্ঘ্য কোন চক্র করতে গ্যাজেটে বা 3 একসঙ্গে লিঙ্ক গ্যাজেটের একটি ত্রিভুজ সম্ভব। এই আশ্বাস দেয় যে, যদি ফলে গ্রাফ একটি হ্যামিল্টনিয়ান চক্র আছে, তারপর মূল গ্রাফ এছাড়াও একটি হ্যামিল্টনিয়ান চক্র আছে (বিপরীতটি গ্যাজেটের নির্মাণ দ্বারা অবিলম্বে যায়)। $\geq k$ $G''$ $G$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

$(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

K_{1, t}

$K_{1,t}$

তুমি ঠিক বলছো! আমি একটি নেতিবাচক ফলাফল নিয়ে এসেছি ... দেখুন এটি কাজ করতে পারে কিনা, বা এটি সম্পূর্ণ ভুল কিনা: -এস: -এস

— মারজিও ডি বায়াসি

ধন্যবাদ। সুতরাং আপনি জিআই এবং হ্যামিলটোনিয়ান চক্রের জন্য অভিযুক্ত নেতিবাচক ফলাফল পেয়েছেন?

— জোড়ো

আশা করি এটি সঠিক, এটি গ্রাফিকচ্লাস.অর্গ সমস্যাগুলির সাথে অনেক অজানা সমাধান করবে।

— জোড়ো

1

(m + 1) d_{i}

$(m+1)d_i$

d_{i}

$d_i$

i

$i$

G_{1}, G_{2}

$G_1,G_2$

G_{1}^{'}, G_{2}^{'}

$G'_1,G'_2$

1

MAX-CUT NP- সম্পূর্ণ রয়ে গেছে।

নিম্নলিখিত দুটি শ্রেণীর গ্রাফের লেমমা ৩.২ সরল সর্বোচ্চ-কাটটি এনপি-সম্পূর্ণ:

$k$ $k \ge 3$

এরা দু'বার কিনারা ভাগ করছে।

"ম্যাক্স-সিটি এবং গ্রাফগুলিতে সংযুক্তির সম্পর্ক, মার্সিন কামিনস্কি" থেকে

— joro
সূত্র

1

তবে আপনি বহুবর্ষীয় সময়ে সমস্যার সমাধান চেয়েছিলেন, তাই না?

— পেং হে

@ পেঙ্গো প্রকৃতপক্ষে, তবে এটি নেতিবাচক ফলাফল, সুতরাং বহুপদী হওয়া অসম্ভব। অন্য একটি উত্তর নেতিবাচক ফলাফলও দেখায়।

— জোড়ো