প্ল্যানারিটির জন্য সবচেয়ে সাধারণ বহুবর্ষীয় অ্যালগরিদম কী?

28

বেশ কয়েকটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা বহুবর্ষের সময় স্থির করে যে প্লেনে কোনও গ্রাফ আঁকা যায় কিনা, এমনকি লিনিয়ার চলমান সময় সহ অনেকগুলি। তবে, আমি খুব সাধারণ অ্যালগরিদমটি খুঁজে পাইনি যা ক্লাসে সহজেই এবং দ্রুত ব্যাখ্যা করা যায় এবং দেখানো যে PLANARITY পি তে রয়েছে you আপনি কি জানেন?

যদি প্রয়োজন হয় তবে আপনি কারাটোভস্কি বা ফারি এর উপপাদ্যটি ব্যবহার করতে পারেন তবে গ্রাফের ছোটখাটো উপপাদ্যের মতো গভীর জিনিস নেই। এছাড়াও নোট করুন যে আমি চলমান সময় সম্পর্কে চিন্তা করি না, আমি কেবল কিছু বহুবচন চাই।

নীচে এখনও পর্যন্ত 3 সেরা অ্যালগরিদম রয়েছে, সরলতা / নন-গভীর-তত্ত্ব-প্রয়োজনীয় বাণিজ্য বন্ধ দেখায়।

অ্যালগরিদম 1: এটি ব্যবহার করে আমরা পরীক্ষা করতে পারি যে কোনও গ্রাফটিতে বহুবর্ষীয় সময়ে নাবালক হিসাবে বা রয়েছে কিনা , আমরা গভীর তত্ত্বটি ব্যবহার করে খুব সাধারণ অ্যালগরিদম পাই। (নোট করুন যে এই তত্ত্বটি ইতিমধ্যে গ্রাফ এম্বেডিংস ব্যবহার করেছে, যেমন সা Saeedদ নির্দেশ করেছেন, সুতরাং এটি সত্যিকারের অ্যালগরিদমিক পদ্ধতি নয়, কেবলমাত্র গ্রাফের ছোটখাটো উপপাদ্যকে / ইতিমধ্যে স্বীকৃত শিক্ষার্থীদের জানার জন্য সহজ কিছু।) $K_5$ $K_{3,3}$

অ্যালগরিদম 2 [কারওর উত্তরের ভিত্তিতে]: এটি দেখতে সহজ যে 3-সংযুক্ত গ্রাফগুলি নিয়ে কাজ করা যথেষ্ট with এগুলির জন্য, একটি মুখ সন্ধান করুন এবং তারপরে টুতের বসন্তের উপপাদ্য প্রয়োগ করুন।

অ্যালগরিদম 3 [জুহো দ্বারা প্রস্তাবিত]: ডেমোক্রন, মালগ্রাঞ্জ এবং পার্টুয়েসেট (ডিএমপি) অ্যালগরিদম। একটি চক্র আঁকুন, অবশিষ্ট গ্রাফের উপাদানগুলিকে টুকরা বলা হয়, আমরা সেগুলি একটি উপযুক্ত উপায়ে এম্বেড করি (ইতিমধ্যে নতুন টুকরো তৈরি করা হয়)। এই পদ্ধতির অন্য কোনও উপপাদ্য ব্যবহার করা হয় না।

graph-algorithms co.combinatorics planar-graphs

— domotorp
সূত্র

1

আমি মনে করি অনেকেই বহুসম্পর্কিত সময়ের সাথে সম্মত হন Dem এটি সাধারণত একটি অ্যালগরিদম পাঠ্যপুস্তক coverাকা থাকে (যেমন গিবনস 1985 বা বন্ডি এবং মুর্তি 1976 দেখুন)। কেবল পরিকল্পনার সিদ্ধান্ত নেওয়া কি যথেষ্ট, নাকি অ্যালগরিদমটিও প্ল্যানার এম্বেডিং আউটপুট করা উচিত? আইআইআরসি বায়ার এবং মাইরভল্ড @ জোজো এর SODA'99 পেপারটি সম্ভবত বিশেষত সময়ের জটিলতা সম্পর্কিত বিবরণগুলি উল্লেখ করে।

— জুহো

2

আপনি যদি কেবল সিদ্ধান্তের সমস্যাটি চান তবে প্ল্যানার, দু'জন নিষিদ্ধ নাবালিকাই কি অস্তিত্বের বহুগুণে পর্যাপ্ত পরিমাণে পরীক্ষা করতে পারবেন ?

— জোড়ো

2

@ জোজোরো: হ্যাঁ, অবশ্যই এটি একটি সহজ সমাধান হতে পারে তবে আমি এইরকম শক্তিশালী উপপাদ্য ব্যবহার এড়াতে পছন্দ করব।

— ডোমোটরপ

1

আমি যে অ্যালগরিদমটির কথা উল্লেখ করেছি তা হ'ল মূলত অসল্যান্ডার-পারটার অ্যালগরিদম। আমার অ্যালগরিদমের সমস্যাটি ছিল part নম্বর অংশে যখন আমি বলেছিলাম যে আমরা উপাদানগুলির গ্রাফ বিভাজন করতে পারি। আমরা আসল অ্যালগরিদমে তবে অ্যালগরিদমে বলতে পারি যে আমাদের উপাদানগুলির আরও সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা প্রয়োজন এবং এটি বিশদভাবে ব্যাখ্যা করার জন্য এটি আমার আগ্রহের বাইরে ছিল। পুনরাবৃত্তিমূলক অংশটি স্পষ্টভাবে সত্য ছিল (যদি আমরা step ধাপ করতে পারি তবে আমরা সম্পন্ন হয়ে গেলাম), যেখানে আপনি এর সঠিকতার বিষয়ে সন্দেহ করছেন। আমি আমার উত্তর আপডেট করিনি কারণ আমি দেখেছি এটি দুটি পৃষ্ঠার প্রায় হবে এবং আমি এটিকে আরও সংক্ষেপে বলতে পারি না এবং এটিকে সহজ বলা ভাল নয়।

— Saeed

3

3-সংযুক্ত কেস হ্রাস করা একটি ধারণাগতভাবে সহজ এবং যে কোনও ক্ষেত্রে এটি ব্যাখ্যা করা উচিত। আমরা দক্ষতায় আগ্রহী না হলে 3-সংযুক্ত ক্ষেত্রে সহজে হ্রাস করা যেতে পারে। সমস্ত 2-নোড কাট পরীক্ষা করুন।

— চন্দ্র চেকুরি

6

আমি একটি অ্যালগরিদম বর্ণনা করতে যাচ্ছি। আমি নিশ্চিত নই যে এটি "সহজ" হিসাবে যোগ্যতা অর্জন করেছে এবং এর কিছু প্রমাণ খুব সহজ নয়।

প্রথমে আমরা গ্রাফটি 3-সংযুক্ত উপাদানগুলিতে বিভক্ত করি, যেমনটি চন্দ্র চেকুরি উল্লেখ করেছেন।

সংযুক্ত উপাদানগুলিতে গ্রাফটি ভাঙ্গুন।
প্রতিটি সংযুক্ত উপাদানকে 2-সংযুক্ত উপাদানগুলিতে ভাঙ্গুন। এই প্রতিটি প্রান্তবিন্দু জন্য বহুপদী সময় পরীক্ষণ করা যাবে প্রতিটি 2-সংযুক্ত উপাদানের কিনা সংযুক্ত করা হয়। $v$ $G_i$ $G_i-v$
প্রতিটি 2-সংযুক্ত উপাদানকে 3-সংযুক্ত উপাদানগুলিতে ভাঙ্গুন। এই বহুপদী সময় পরীক্ষণ করা যাবে দুটি স্বতন্ত্র ছেদচিহ্ন জন্য প্রতিটি 2-সংযুক্ত উপাদানের কিনা সংযুক্ত করা হয়। $v,u$ $G_i$ $G_i-\{ v,u \}$

আমরা গ্রাফের 3-সংযুক্ত উপাদান প্ল্যানার কিনা তা পরীক্ষা করতে সমস্যা হ্রাস করেছি reduced আসুন একটি 3-সংযুক্ত উপাদান বোঝান। $G$

যে কোনও চক্র নিন $C$ এর । $G$
এর উল্লম্ব পিন করুন $C$ উত্তল বহুভুজের শিখর হিসাবে । অন্য প্রতিটি উল্লম্বগুলির প্রত্যেককে তার প্রতিবেশীদের বেয়ারসেন্টারে রাখুন। এটি প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি বলছে এমন রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের দিকে নিয়ে যায়। এর ফলে অঙ্কন করা যাক ; এটি ক্রসিং হতে পারে। $D$
যদি এর কোনও ক্রসিং না থাকে তবে আমরা সমাপ্ত। $D$
এর যে কোনও সংযুক্ত উপাদানটিতে শীর্ষটি নিয়ে যান । প্ররোচিত সাবগ্রাফ এর সীমাবদ্ধতা প্ল্যানার হওয়া উচিত। নইলে প্ল্যানার নয়। কোন মুখে ফেল অঙ্কন মধ্যে প্ররোচক subgraph অবধি সীমিত $U$ $G-V(C)$ $D$ $G[U\cup V(C)]$ $G$ $F$ $D$ , এবং দিন চক্র সংজ্ঞা হতে । যদি $G[U\cup V(C)]$ $C'$ $F$ $G$ প্ল্যানার হতে হবে, তারপরে অবশ্যই মুখের চক্র হবে। (যখন একটি হ্যামিলটোনিয়ান চক্র হয়, তখন একটি প্রান্ত ব্যবহার করে তৈরি করা উচিত)) $C'$ $C$ $C'$
সি এর পরিবর্তে সি 'দিয়ে দ্বিতীয় ধাপটি পুনরাবৃত্তি করুন ফলাফলের অঙ্কনটি যদি পরিকল্পনাকারী হয় তবে প্ল্যানার হয়। অন্য প্ল্যানার নয়। $G$ $G$

মন্তব্য:

তুতের বসন্ত এম্বেডিং প্ল্যানার এম্বেডিং দেয় এমন যুক্তি দেওয়া সহজ নয়। আমি এডেলস ব্রুনার এবং হেরার, গণনা টপোলজি বইয়ের উপস্থাপনাটি পছন্দ করেছি তবে এটি কেবল ত্রিভুজগুলির জন্য। কলিন ডি ভার্দিয়ের স্প্রিং এম্বেডিং সম্পর্কে http://www.di.ens.fr/~colin/cours/algo- رافs-surfaces.pdf , বিভাগ ১.৪ আলোচনা করেছেন । একটি সাধারণ রেফারেন্স হ'ল লিনিয়াল, লোভেস, উইগডারসন: রাবার ব্যান্ড, উত্তল এম্বেডিং এবং গ্রাফ সংযোগ। সংযুক্তকারী 8 (1): 91-102 (1988)।
গাণিতিক অপারেশনগুলির বহুসংখ্যক সংখ্যায় সমীকরণের রৈখিক ব্যবস্থা সমাধান করা গাউসীয় নির্মূলের মাধ্যমে সহজ easy বহুবিধ সংখ্যা বিট ব্যবহার করে এটি সমাধান করা এত সহজ নয়।

— কেউ
সূত্র

আমি সেতু এবং ওভারল্যাপ গ্রাফটি ব্যবহার এড়াতে উত্তরটি সম্পাদনা করেছি।

— কেউ 14

ধরুন, প্রতি 3-সংযুক্ত উপাদান এম্বেড করা যেতে পারে। তারপরে আমরা মূল গ্রাফটি সম্পর্কে কী অনুমান করতে পারি? 3-সংযুক্ত গ্রাফগুলি ব্যবহার করে (সর্বাধিক) একটি এমবেডিং রয়েছে, সম্ভবত আমরা এখান থেকে শেষ করতে পারি, তবে এই পদক্ষেপটি অবশ্যই করা উচিত।

— ডোমোটরপ

শেষে, চতুর্থ ধাপে, অ-পরিকল্পনাকারী অঙ্কনের মুখটি কী? আমার ধারণা এটি এখনও প্রাকৃতিক উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যায়। এবং একেবারে শেষে, "অন্য জি প্ল্যানার নয়" সত্যিই বেশ তুচ্ছ মনে হচ্ছে।

— ডোমোটরপ

এর সীমাবদ্ধতা

করার

প্ল্যানার হওয়া উচিত। নইলে

প্ল্যানার নয়।

D

$D$

G [U \cup V (C)]

$G[U\cup V(C)]$

G

$G$

— কেউ

এতে আমরা একমত, তবে আমি দেখতে পাচ্ছি না এটি কীভাবে সহায়তা করে।

— ডোমোটরপ

3

বায়ার এবং মাইরভোল্ডের অ্যালগরিদমকে পরিকল্পনার পরীক্ষার অ্যালগরিদমের শিল্পের রাজ্যের মধ্যে বিবেচনা করা হয়

কাটিয়া প্রান্তে: সরলকৃত ও (এন) প্ল্যানারিটি বাই এজ অ্যাড অ্যাড বায়ার এবং মাইরভল্ড।

এই বইয়ের অধ্যায়টি অনেক পরিকল্পনার পরীক্ষার অ্যালগরিদম সমীক্ষা করে এবং আশা করি আপনি যথেষ্ট সহজ অ্যালগরিদম খুঁজে পেয়েছেন।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি
সূত্র

আমি প্ল্যানারিটি অ্যালগরিদমগুলির কাটিয়া প্রান্তে আগ্রহী নই, আমি কিছু সহজ ব্যাখ্যা করতে চাই। আমি বইটিতে ডেমোক্রন, মালগ্রাঞ্জ এবং পার্টুয়েসেট (ডিএমপি) অ্যালগরিদমের চেয়ে সহজ কিছু খুঁজে পাই না।

— ডমোটরপ

0

হপকক্রফ্ট এবং টারজানের 1974 অ্যালগরিদম {1 about সম্পর্কে কী ?

{1} হপকক্রফ্ট, জন এবং রবার্ট টারজান। "দক্ষ পরিকল্পনার পরীক্ষা।" এসিএম (জ্যাকএএম) এর জার্নাল 21.4 (1974): 549-568।

— এরি ট্র্যাচেনবার্গ
সূত্র

এটি একটি দ্রুত এবং একটি সাধারণ অ্যালগরিদম নয়।

— ডোমোটরপ

0

দুটি আলগোরিদিম, উভয় লগস্পেসে

এরিক অ্যালেন্ডার এবং মীনা মহাজন - পরিকল্পনার পরীক্ষার জটিলতা
সমীর দত্ত এবং গৌতম প্রক্রিয়া - প্ল্যানারিটি টেস্টিং পুনর্বিবেচিত

দ্বিতীয়টি প্রথমটির চেয়ে অনেক সহজ।

— নামবিহীন
সূত্র

মোটেই সহজ নয়।

— ডমোটরপ