কোন বৃহত্তম স্বতন্ত্র সেটের জন্য সর্বাধিক শ্রেণীর বহুবর্ষের সময় পাওয়া যাবে?

Question

ISGCI তালিকা গ্রাফ এর 1100 উপর ক্লাস। এগুলির অনেকের জন্যই আমরা জানি যে স্বতন্ত্র সেটটি বহুবর্ষীয় সময়ে সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়; এগুলিকে কখনও কখনও আইএস-সহজ ক্লাস বলা হয় । আমি সর্বাধিক আইএস-সহজ শ্রেণীর তালিকা সংকলন করতে চাই । এই ক্লাসগুলি একসাথে এই সমস্যাটির (পরিচিত) ট্র্যাকটেবিলিটির সীমানা গঠন করে।

যেহেতু কেউ ট্র্যাকটেবিলিটি প্রভাবিত না করে যে কোনও অসীম আইএস-সহজ শ্রেণিতে সীমাবদ্ধ সংখ্যক গ্রাফ যুক্ত করতে পারেন, কিছু বিধিনিষেধ যথাযথ। আসুন বংশগত যা তাদের জন্য ক্লাসগুলি সীমাবদ্ধ রাখুন (উত্সাহিত সাবগ্রাফ গ্রহণের অধীনে বন্ধ করা হয়েছে, বা সমতুল্যভাবে, বর্জনিত অনুচ্ছেদের একটি সেট দ্বারা সংজ্ঞায়িত)। তদতিরিক্ত, আসুন কেবলমাত্র সেই পরিবারগুলিকেই বিবেচনা করি যা একটি ছোট বর্ণনার সাথে সেট এক্সের জন্য এক্স-মুক্ত। সেখানে পারে হয় এছাড়াও হতে বাধ্য ক্লাস অসীম আরোহী চেইন (যেমন $(P,\text{star}_{1,2,k})$নিচে ডেভিড এপস্টিনের দ্বারা নিখরচায় এবং ক্লাসগুলি), তবে আসুন যে সমস্ত ক্লাসগুলি আইএস-ইজি হিসাবে সহজ প্রমাণিত হয়েছে তাদের প্রতি মনোযোগ সীমাবদ্ধ রাখি।

আমি যাদের সম্পর্কে জানলাম সেগুলি এখানে:

• নিখুঁত গ্রাফ
• -ফ্রি$(P,\text{star}_{1,2,5})$
• -ফ্রি$(K_{3,3}-e, P_5)$
• সহ-Meyniel
• প্রায় দ্বিপক্ষীয়
• চেয়ার-মুক্ত
• ( , ক্রিকেট) -ফ্রি$P_5$
• বিনামূল্যে$(P_5,K_{n,n})$(কোনও নির্দিষ্ট )$n$
• -ফ্রি$(P_5, X_{82}, X_{83})$

অন্যান্য অন্যান্য সর্বোচ্চ শ্রেণি পরিচিত?

---

সম্পাদনা: ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ বর্জনীয় নাবালকেরা নাবালিকা-বর্জনিত গ্রাফগুলির জন্য কী সহজ? এবং বংশগত শ্রেণীর গ্লোবাল বৈশিষ্ট্যগুলি দেখুন ? আরও সাধারণ প্রশ্নের জন্য আমি বংশগত ক্লাস সম্পর্কে আগে জিজ্ঞাসা করেছি।

যুক্কা সুমেলা মন্তব্যগুলিতে যেমন উল্লেখ করেছেন, অপ্রাপ্তবয়স্ক-বাদ পড়া মামলাটিও আকর্ষণীয় (এবং একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন তৈরি করবে), তবে এখানে এখানে মনোনিবেশ করা হয়নি।

ডেভিডের উদাহরণ এড়ানোর জন্য, এক্স-ফ্রি গ্রাফ হিসাবে সর্বাধিক শ্রেণিটিও যথাযথ হওয়া উচিত, যেখানে এক্সের প্রতিটি গ্রাফের একটি স্বতন্ত্র প্রান্তি থাকে না।

নীচে উত্তরে দেওয়া ক্লাসগুলি:

• আপেল-মুক্ত (স্ট্যান্ডা ইভিনি দ্বারা প্রস্তাবিত)
• ( , বাড়ি) -ফ্রি$P_5$ (ডেভিড এপস্টিন প্রস্তাবিত)
• ( নখর) -ফ্রি$K_2 \cup$ (ডেভিড এপস্টিন প্রস্তাবিত)

---

যোগ করা হয়েছে 2013-10-09: মার্টিন ভ্যাশেল একটি উত্তরে উল্লিখিত লোকশতানভ, ভ্যাটশেল এবং ভিলেঞ্জারের সাম্প্রতিক ফলাফল, পূর্বের কিছু সর্বাধিক শ্রেণীর বর্জন করেছে।

বিশেষত, বিনামূল্যে হ'ল আইএস-এর সহজ সাবমিউম ( পি 5 , ক্রিকেট) -ফ্রি, ( পি 5 , কে এন , এন ) -ফ্রি, ( পি 5 , এক্স 82 , এক্স 83 ) -ফ্রি এবং ( পি 5 , ঘর) -সকলই আইএস-ইজ-সহজ।$P_5$$P_5$$P_5$$K_{n,n}$$P_5$$X_{82}$$X_{83}$$P_5$

এর অর্থ হ'ল পাঁচটি অবধি সহ একক নিষিদ্ধ প্ররোচিত সাবগ্রাফ দ্বারা সংজ্ঞায়িত সমস্ত বংশগত গ্রাফ ক্লাসগুলি এখন আইএস-ইজি হিসাবে সহজ বা IS-সহজ হিসাবে শ্রেণিবদ্ধ হতে পারে।

দুর্ভাগ্যক্রমে যে প্রমাণ বিনামূল্যে গ্রাফগুলি একটি আইএস-সহজ বর্গ গঠন করে তা পি 6- বিনামূল্যে গ্রাফের জন্য কাজ করে বলে মনে হয় না , তাই পরবর্তী সীমান্তটি হ'ল একক ছয়-শীর্ষবিকগ্রাফ দ্বারা সংজ্ঞায়িত সমস্ত বংশগত গ্রাফ শ্রেণিকে শ্রেণিবদ্ধ করা।$P_5$$P_6$

আমি অসীম বহু আইসোম্পারিজম ক্লাস সহ গ্রাফের কয়েকটি সংগ্রহ এক্সের জন্য -ফর্ম ফর্মের আইএস-সহজ শ্রেণিতে বিশেষত আগ্রহী রয়েছি , তবুও যেখানে ওয়াই - ফ্রি কোনও ওয়াই - এক্সের পক্ষে আইএস-সহজ নয় ।$X$$X$$Y$$Y \subset X$

Comments

সীমানা গাছপালা সহ গ্রাফগুলি সম্পর্কে কী বলা যায়? আমার ধারণা আপনি ইতিমধ্যে যে ক্লাসগুলির উল্লেখ করেছেন সেগুলির একটিতে সেগুলি ইতিমধ্যে রয়েছে?

— Jukka Suomela

$K_4$

: গুলি: ওহ, মনে হচ্ছে যে আমি আপনার প্রশ্নটি যথেষ্ট মনোযোগ সহকারে পড়িনি, আমি ভেবেছিলাম যে আপনি গ্রাফ পরিবারগুলিতেও আগ্রহী ছিলেন যা নিষিদ্ধ নাবালকের ক্ষেত্রে বৈশিষ্ট্যযুক্ত।

— Jukka Suomela

$2K_2$$O(n^2)$

@ হিসিয়েন-চিহ চ্যাং: বালাস-ইউ ক্লাসের কথা উল্লেখ করার জন্য ধন্যবাদ, সেটিকে ভুলে গিয়েছিল। হ্যাঁ, এটি অবশ্যই একটি প্রাসঙ্গিক উত্তর দেবে।

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 1

প্রশ্নটি ইতিমধ্যে কিছুটা পুরানো, তবে আইএসজিসিআই এখানে কিছুটা সহায়তা করতে পারে।

আপনি যখন আইএসজিসিআই জাভা অ্যাপ্লিকেশন শুরু করেন এবং মেনুতে সমস্যাগুলি -> সীমানা / ওপেন ক্লাস -> স্বতন্ত্র সেটে যান, আপনি 3 টি তালিকা সহ একটি ডায়ালগ পাবেন।

সর্বাধিক পি তালিকায় সমস্ত শ্রেণি সি রয়েছে (আইএসজিসিআইতে) যার উপরে বহুবর্ষ সময়ে আইএস সমাধান করা যায়, যেমন সি এর একটি ন্যূনতম সুপারক্লাস থাকে যার উপর পি তে আইএস পরিচিত হয় না (যেমন এনপি-সম্পূর্ণ, উন্মুক্ত, বা আইএসজিসিআই-তে অজানা)। একটি ক্লাস নির্বাচন করা এবং 'অঙ্কন' ক্লিক করা ক্লাসটি এবং সুপারক্লাসগুলি আঁকবে যা বিএফএস-স্টাইলে অন্তর্ভুক্তি শ্রেণিবিন্যাসের উপরের দিকে চালিত করে পাওয়া যায়, যেখানে কোনও শ্রেণীর সন্ধান করা প্রয়োজন যেখানে পি তে থাকতে পারে না find

তালিকাটি ন্যূনতম এনপি-সম্পূর্ণ অন্যদিকে যায়: এটিতে এমন ক্লাস রয়েছে যার উপর আইএস এনপি-সম্পূর্ণ, যেমন সমস্ত সর্বাধিক সাবক্লাসগুলিও এনপি-সম্পূর্ণ নয়। একটি নন-এনপি-সম্পূর্ণ শ্রেণি না পাওয়া পর্যন্ত অঙ্কন হায়ারার্কিতে নেমে যায়।

খোলা তালিকায় ক্লাস রয়েছে যার জন্য সমস্যাটি হয় উন্মুক্ত বা অজানা। কোনও ক্লাস না পৌঁছানো অবধি ড্রয়িং সুপার / সাবক্লাসের ওপরে চলে।

একটি অঙ্কন তৈরি করার সময় ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেট সমস্যার (সমস্যাগুলি -> সমস্যার জন্য রঙ -> স্বতন্ত্র সেট) রঙিন সেট করা ভাল ধারণা।

---

স্ট্যান্ডা জিভনির প্রশ্নের বিষয়ে, নিম্নলিখিত 20 টি ক্লাস ISWCI- এ অদ্বিতীয় IS সমস্যার জ্ঞাত জটিলতার সাথে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে, তবে ভারী মামলার অজানা জটিলতার সাথে (আইএসজিসিআই "সাধারণ" এবং "জটিল" বহুবর্ষীয় অ্যালগরিদমের মধ্যে পার্থক্য করতে পারে না):

gc_11 প্রসারিত পি _4- ব্লেডেন
gc_128 EPT
gc_415 ভালভাবে আচ্ছাদিত
gc_428 (কে _3,3 -e, পি ₅ , এক্স ₉₈ )
-ফ্রি gc_648 (কে _3,3 -e, পি ₅ )
-ফ্রি gc_752 সহ-বংশগত চক্র-হেলি
gc_756 (ই, পি)
-ফ্রি জিসি_757 (পি, টি ₂ )
-ফ্রি জিসি_758 (পি, পি ₈ )
-ফ্রি জিসি_759 (কে _3,3 -ই, পি ₅ , এক্স ₉₉ )
-ফ্রি জিসি_808 (সি ₆ , কে _{3, 3} + ই, পি, পি ₇ , এক্স ₃₇ , এক্স ₄₁ )
-ফ্রি জিসি_811 (পি, তারা)_1,2,5 )
-ফ্রি জিসি_812 (পি ₅ , পি ₂ ∪ পি ₃ )
-ফ্রি জিসি_813 (পি, পি ₇ )
-ফ্রি জিসি_818 (পি, তারকা _1,2,3 )
-ফ্রি জিসি_819 (পি, তারা _{1, 2,4} )
-ফ্রি জিসি_৪৪১ (২ কে ₃ + ই, এ, সি ₆ , ই, কে _3,3 -e, পি ₆ , আর, এক্স ₁₆₆ , এক্স ₁₆₇ , এক্স ₁₆₉ , এক্স ₁₇₀ , এক্স ₁₇₁ , এক্স ₁₇₂ , এক্স ₁₈ , এক্স ₄₅ , এক্স ₅ , এক্স ₅₈ , এক্স ₈₄ , এক্স ₉₅ , এক্স₉₈ , এ, সি ₆ , ই, পি ₆ , আর, এক্স ₁₆₆ , এক্স ₁₆₇ , এক্স ₁₆₉ , এক্স ₁₇₀ , এক্স ₁₇₁ , এক্স ₁₇₂ , এক্স ₁₈ , এক্স ₄₅ , এক্স ₅ , এক্স ₅₈ , এক্স ₈₄ , এক্স ₉₅ , এক্স ₉₈ , অ্যান্টেনা, সহ-অ্যান্টেনা, কো-ডোমিনো, সহ-মাছ, সহ-যমজ বাড়ি, ডোমিনো, মাছ, যমজ বাড়ি)
-ফ্রি gc_894 সহ-বিজ্ঞপ্তি নিখুঁত
gc_895 দৃ strongly়ভাবে বিজ্ঞপ্তি নিখুঁত
(3 কে ₂ , ই, পি ₂₎ ∪ পি ₄ , নেট) -ফ্রি

সন্দেহ নেই যে এগুলির বেশিরভাগ ওজনযুক্ত মামলার ক্ষেত্রেও অ্যালগরিদমগুলি জানতে পারে। সংযুক্তি ও সংশোধনগুলি সর্বদা আইএসজিসিআই ওয়েব পৃষ্ঠায় প্রদত্ত ঠিকানায় স্বাগত!

Comments

সর্বাধিক ট্র্যাকটেবল ক্লাসগুলি খুঁজে পেতে জাভা অ্যাপ্লিকেশনটির কার্যকারিতার দিকে নির্দেশক এবং ওজনযুক্ত কেসটি খোলার জন্য ক্লাসগুলির তালিকা ধন্যবাদ। এবং অবশ্যই আইএসজিসিআই-তে আপনার কাজের জন্য ধন্যবাদ!

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 2

দেখার জন্য একটি আকর্ষণীয় কাগজ হতে পারে:

উ: ব্র্যান্ডস্ট্যাড, ভিভি লোজিন, আর মোসকা: অ্যাপল-মুক্ত গ্রাফগুলিতে সর্বাধিক ওজনের স্বতন্ত্র সেটস, পৃথক গণিতের উপর সিয়াম জার্নাল 24 (1) (2010) 239-254 – ডোই: 10.1137 / 090750822

আপেলের অসীম শ্রেণিকে C_k, k> = 5 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, প্রতিটি একটি ডাঁটা সহ।

আপনার আইএস-ইজেনেসি ধারণাটি ওজনযুক্ত আইএস সমস্যা অন্তর্ভুক্ত কিনা তা আপনি উল্লেখ করেন না। চেয়ার-মুক্ত গ্রাফগুলি (ওরফে ফর্ক-ফ্রি গ্রাফ) আইএস-সহজ হিসাবে পরিচিত:

ভিই আলেকসিভ, কাঁটাচামচ ছাড়াই গ্রাফের বৃহত্তম স্বতন্ত্র সেটগুলি সন্ধানের জন্য বহুপদী আলগোরিদম, ডিসক্রিটেড অ্যাপ্লাইড গণিত 135 (1-3) (2004) 3–16। ডোই: 10,1016 / S0166-218X (02) 00290-1

ওজনযুক্ত মামলার ট্র্যাকটেবিলিটি হ'ল একটি তুচ্ছ ঘটনা, এটি দেখুন:

ভিভি লোজিন, এম। মিলানিক: একটি কাঁটাচামচা গ্রাফের সর্বোচ্চ ওজনের একটি স্বতন্ত্র সেট খুঁজে পাওয়ার জন্য একটি বহুপদী অ্যালগরিদম, ডিস্ক্রিট অ্যালগরিদম জার্নাল 6 (4) (২০০)) 595–604। ডোই: 10,1016 / j.jda.2008.04.001

অন্য কোন (আকর্ষণীয়) শ্রেণি রয়েছে যেখানে ওয়েটড আইএস সমস্যাটি অপ্রত্যাশিত মামলার তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে আরও বেশি কঠিন / অবলম্বনযোগ্য / উন্মুক্ত?

Comments

আকর্ষণীয় প্রশ্ন, আলাদাভাবে পোস্ট করার উপযুক্ত হতে পারে।

— আন্দ্রেস সালামন

আপেলের সংজ্ঞা অনুসারে, আপনি কে ≥ 4 বোঝাচ্ছেন, তাই না?

— ডেভিড এপস্টিন

হ্যাঁ, কে> = 4, টাইপের জন্য দুঃখিত।

— স্ট্যান্ডা জিভনি

Answer 3

ভ্যাসিলিস গিয়াকৌমাকিস এবং আইরেনা রাসু অনুসারে, ডিস্ক। Appl। ম্যাথ। 1997 , (পি 5, বাড়ি) -ফ্রি গ্রাফ (ওরফে (পি 5, কোপি 5) -ফ্রি গ্রাফ) আইএস-ইজি।

আর একটি, আইএসজিসিআই দ্বারা জমা দেওয়া ভি ভি লোজিন, আর মোসকা ডিস্ককে । Appl। ম্যাথ। 2005 , হ'ল (কে 2 ইউ ক্লো) -ফ্রি গ্রাফের পরিবার ।

ট্র্যাকটেবল ক্লাসের সীমাহীন আরোহী চেইনগুলিও থাকতে পারে

নিশ্চয়ই অসীম আরোহনের শিকল রয়েছে। এইচ যদি গ্রাফের একটি সীমাবদ্ধ সেট হয় যার জন্য এইচ-ফ্রি গ্রাফগুলি আইএস-সহজ হয় তবে এইচ'র প্রতিটি গ্রাফের জন্য একটি স্বতন্ত্র শীর্ষকে যুক্ত করে তৈরি করা গ্রাফগুলি তৈরি করা যাক Then তারপরে এইচ-মুক্ত গ্রাফগুলিও আইএস-সহজ: কেবলমাত্র প্রতিটি ভার্টেক্সের অ-প্রতিবেশীদের সেটে এইচ-ফ্রি অ্যালগরিদম প্রয়োগ করুন। উদাহরণস্বরূপ, আইএসজিসিআই যেমন বর্ণনা করেছে, সহ- মণিবিহীন গ্রাফগুলি আইএস-সহজ কারণটির জন্য কোনও সহ-মণি একটি পি 4 প্লাস একটি স্বতন্ত্র ভার্টেক্স এবং পি 4-মুক্ত গ্রাফগুলি আইএস-সহজ। সুতরাং আপনি সম্ভবত আপনার প্রশ্নকে সর্বাধিক শ্রেণিতে সীমাবদ্ধ করতে চান যেখানে নিষিদ্ধ সাবগ্রাফের সকলেরই একটি স্বতন্ত্র প্রান্তি নেই।

Comments

অতিরিক্ত ক্লাসের জন্য এবং অসীম চেইনের একটি সহজ নির্মাণকে হাইলাইট করার জন্য ধন্যবাদ! কথা বলবে।

— আন্দ্রেস সালামন

ঠিক তেমনি নখর-মুক্ত গ্রাফ, স্বাধীন সেটে উইকিপিডিয়া এন্ট্রি অনুযায়ী: en.wikipedia.org/wiki/...

— gphilip

@ জিফিলিপ: নখরবিহীন চেয়ার-মুক্ত এবং (কে 2 ইউ ক্লজ) -ফ্রি উভয়ের অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

— ডেভিড এপস্টিন

Answer 4

$P_5$

এইচটিকে সর্বোচ্চ 5 টি শীর্ষে একটি গ্রাফ হতে দিন, তারপরে স্বতন্ত্র সেটের জটিলতা এইচ-মুক্ত গ্রাফের শ্রেণিতে জানা যায়।

$P_5$$H = P_2 \cup P_3$