প্রভাবশালী সেট সমস্যা সর্বোচ্চ ডিগ্রি 3 এনপি-সম্পূর্ণ প্ল্যানার দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের মধ্যে সীমাবদ্ধ?

সর্বোচ্চ ডিগ্রি 3 এর প্ল্যানার দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের শ্রেণিতে সীমাবদ্ধ গ্রাফগুলিতে ডমিনিটিং SET সমস্যার জন্য এনপি-সম্পূর্ণতার ফলাফল সম্পর্কে কেউ কি জানেন?

আমি জানি যে এটি সর্বোচ্চ ডিগ্রি 3 (গ্যারি এবং জনসন বইটি দেখুন) এর প্ল্যানার গ্রাফের জন্য NP- সম্পূর্ণ, পাশাপাশি সর্বোচ্চ ডিগ্রি 3 এর দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের জন্য দেখুন (এম। Chleb andk এবং জে। Chlebíková, "এর আনুমানিক কঠোরতা বাউন্ডার্ড ডিগ্রি গ্রাফে সেট সমস্যাগুলিকে প্রাধান্য দেওয়া "), তবে সাহিত্যে দুটির সংমিশ্রণটি খুঁজে পেল না।

cc.complexity-theory graph-theory

— ফ্লোরেন্ট ফোকাউড
সূত্র

পরের বার আপনি যদি ক্রসপোস্ট করেন তবে মূল পোস্টটিতে লিঙ্ক করুন। mathoverflow.net/questions/43720/… । ক্রসপোস্টিং সম্পর্কে আমাদের FAQ এন্ট্রিটিও দেখুন ।

— Tsuyoshi Ito

(1) আপনি কিছু অন্য ধ্রুবক 3 বৃদ্ধি যদি কিছু জানা হয়? (২) বিশেষ ক্ষেত্রে "সর্বাধিক ডিগ্রি 3" আরও "3-নিয়মিত" সীমাবদ্ধ রয়েছে এমন কিছু সম্পর্কে কি কিছু জানা যায়? (এটি কি পি তে পরিচিত? এটি কি সর্বোচ্চ ডিগ্রি 3 এর ক্ষেত্রে সমতুল্য বলে জানা যায়?) (3) কৌতূহলের বাইরে কি এর কোনও প্রয়োগ আছে, নাকি আপনি নিজেই এটিতে আগ্রহী? (কেবলমাত্র আমি বলছি না যে অ্যাপ্লিকেশন ব্যতীত কোনও সমস্যা খারাপ I আমি এটি জিজ্ঞাসা করছি কারণ আপনার যদি কিছু অ্যাপ্লিকেশন থাকে তবে এটি প্রশ্নটিকে আরও আকর্ষণীয় করে তুলতে পারে))

— সোসোশি ইতো ২

(১) আমার জ্ঞানের কাছে নয় (২) না। তবে আমি এটিও কঠিন হতে পারি বলে আশা করি (৩) আমার জন্য একমাত্র আবেদনটি হ'ল এই, সত্যই সীমাবদ্ধ, শ্রেণীর অন্যান্য কিছু সমস্যার এনপি-কঠোরতা পেতে হবে of গ্রাফগুলি

— ফ্লোরেন্ট ফাউডাড

কি হবে যদি আপনি কেবল নিচের কাজগুলো করুন: গ্রাফ দেওয়া , আরেকটি গ্রাফ নির্মাণ প্রতিটি প্রান্ত subdividing দ্বারা 4 অংশে; এখানে নতুন নোডগুলির সেট যা আমরা প্রবর্তন করেছি এবং । $G = (V,E)$ $G' = (V \cup U, E')$ $G$ $U$ $|U| = 3|E|$

গ্রাফ দ্বিপাক্ষিক হয়। তাছাড়া, প্ল্যানার এবং সর্বাধিক থাকলে। ডিগ্রী 3, তারপর এছাড়াও প্ল্যানার এবং সর্বোচ্চ হয়েছে। ডিগ্রি 3। $G'$ $G$ $G'$

যাক একটি (ন্যূনতম) হতে জন্য সেট উপর প্রভুত্ব বিস্তার । একটি প্রান্ত বিবেচনা করুন যে একটি পাথ গঠনের উপবিভাজন হয় মধ্যে । এখন পরিষ্কারভাবে অন্তত এক হয় । তাছাড়া, আমরা যদি একাধিক আছে মধ্যে , আমরা পরিবর্তন করতে পারেন $D'$ $G'$ $(x,y) \in E$ $(x,a,b,c,y)$ $G'$ $a,b,c$ $D'$ $a,b,c$ $D'$ যাতে এটি একটি বৈধ প্রভাবশালী সেট থেকে যায় এবং এর আকার বৃদ্ধি না পায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা আছে এবং , আমরা সমানভাবে ভাল অপসারণ করতে পারেন থেকে যোগ করার । অতএব আমরা আমাদের ব্লগ। $D'$ $a \in D'$ $c \in D'$ $c$ $D'$ $y$ $D'$ $|D' \cap U| = |E|$

তারপরে । অনুমান এবং । তারপর আমরা একটি নোড থাকতে হবে যেমন যে । অত: পর একটা প্রান্ত হয় এই ধরনের আমরা একটি পাথ আছে মধ্যে $D = D' \cap V$ $x \in V$ $x \notin D'$ $a \in D'$ $(x,a) \in E'$ $(x,y) \in E$ $(x,a,b,c,y)$ $G'$ । যেহেতু এবং , আমরা , এবং আয়ত্ত করতে আমরা থাকতে হবে । সুতরাং নোডে হ'ল সাথে প্রতিবেশী । অর্থাৎ, জন্য একটি প্রভাবশালী সেট । $a,b,c \in U$ $a \in D'$ $b, c \notin D'$ $c$ $y \in D'$ $G$ $y$ $x$ $y \in D$ $D$ $G$

বিপরীতে, জন্য একটি (ন্যূনতম) আধিপত্যের সেট বিবেচনা করুন । একটি উপর প্রভুত্ব বিস্তার সেট আঁকো জন্য যাতে নিম্নরূপ: একটি প্রান্ত জন্য যে একটি পাথ গঠনের উপবিভাজন হয় মধ্যে , আমরা যোগ থেকে $D$ $G$ $D'$ $G'$ $|D'| = |D| + |E|$ $(x,y) \in E$ $(x,a,b,c,y)$ $G'$ $a$ $D'$ if $x \notin D$ and $y \in D$ ; we add $c$ to $D'$ if $x \in D$ and $y \notin D$ ; and otherwise we add $b$ to $D'$ . Now it can be checked that $D'$ is a dominating set for $G'$ : By construction, all nodes in $U$ are dominated. Now let $x \in V \setminus D'$ . Then there is a $y \in V$ such that $(x,y) \in E$ , and hence along the path $(x,a,b,c,y)$ we have $a \in D'$ , which dominates $x$ .

সংক্ষেপে বলা যায়, যদি আকারের একটি প্রভাবশালী সেট আছে , তারপর সর্বাধিক আকারের একটি প্রভাবশালী সেট আছে , এবং যদি আকারের একটি প্রভুত্ব বিস্তার সেট আছে , তারপরে এর সর্বাধিক আকারে একটি প্রভাবশালী সেট রয়েছে । $G$ $k$ $G'$ $k + |E|$ $G'$ $k + |E|$ $G$ $k$

সম্পাদনা: একটি চিত্র যুক্ত করা হয়েছে। শীর্ষ: মূল গ্রাফ ; মাঝারি: গ্রাফ একটি "নরমালাইজড" ডমিনিং সেট সহ; নীচে: গ্রাফ একটি অবাধ প্রভাবশালী সেট দিয়ে। $G$ $G'$ $G'$

An example

— জুক্কা সুমেলা
সূত্র

চমৎকার উত্তর.

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

আপনাকে ধন্যবাদ, যে সুন্দরভাবে আমার প্রশ্নের উত্তর দেয় (এমনকি সুন্দর ছবি ছাড়াও) সীমাবদ্ধ ডিগ্রি? আমি মনে করি এটি আকর্ষণীয় হওয়া উচিত।

— ফ্লোরেন্ট ফাউডাউড

যদি এটি প্রশ্নের উত্তর দেয়, সম্ভবত আপনার উত্তরটি গ্রহণ করার কথা বিবেচনা করা উচিত ... :) অন্যান্য সমস্যাগুলির বিষয়ে, যে কোনও দ্বিপক্ষীয় গ্রাফটিতে ভার্টেক্স কভারটি সহজ । তবে আমার ধারনা প্রান্তে আধিপত্য বিস্তারকারী সেটগুলি এই সেটিংটিতে অধ্যয়ন করার প্রাকৃতিক সমস্যা হতে পারে?

— Jukka Suomela

কনিগের উপপাদ্যটি আমাকে স্মরণ করিয়ে দেওয়ার জন্য এবং সবুজ চেকবক্সটি পরীক্ষা করার জন্য ধন্যবাদ ধন্যবাদ;)

— ফ্লোরেন্ট ফাউডাউড

সুদৃ answer় উত্তর!

— গ্যাব্রিয়েল ফেয়ার