প্রসঙ্গমুক্ত ব্যাকরণ হিসাবে নিয়মিত ভাষার ছেদগুলির জটিলতা

, এর নিয়মিত প্রকাশগুলি দেওয়া কি -এর জন্য ক্ষুদ্রতম প্রসঙ্গ-মুক্ত ব্যাকরণের আকারের কোনও অপ্রয়োজনীয় সীমারেখা আছে ? $R_1, \dots, R_n$ $R_1 \cap \cdots \cap R_n$

fl.formal-languages regular-language context-free

— ম্যাক্স
সূত্র

??? এটি কল্পনা করার চেষ্টা করছি। কিছু কৌশল আছে?

এর

R_{n}

$R_n$ নিয়মিত। স্ট্যান্ডার্ড পদ্ধতির মাধ্যমে ন্যূনতম ডিএফএ (আর্ট স্টেট কাউন্ট) পাওয়া যায় যা একটি সিএফজিও।

— vzn

@ ভিজেএন: আপনি ঠিক বলেছেন। সমস্যাটি হ'ল এই ডিএফএ এবং তাই সিএফজি খুব বড় হতে পারে be আমি ভাবছি যদি কেউ ছেদটির আরও সংক্ষিপ্ত বিবরণ পেতে সিএফজির অতিরিক্ত শক্তি ব্যবহার করতে পারে।

— সর্বোচ্চ

অনুমান না। সন্দেহ করুন যে প্রতিটি সিএফএল একটি আরএলকে স্বীকৃতি দেয় (অর্থাত্ সমান) তার স্ট্যাক ব্যবহার করে না বা এমন কোনও রূপান্তর করতে পারে যা কোনও রাজ্যে কোনও বৃদ্ধি না করে এবং ন্যূনতম এ জাতীয় পিডিএ (আর্ট স্টেট কাউন্ট) ন্যূনতমের মতো একই আকারের হয় DFA তে। এর প্রমাণ কখনও শুনেনি / দেখেনি। এটা সম্ভবত কঠিন না? একটি সহজ প্রশ্ন, এমন কোনও পিডিএ কি আছে যা ডিএফএর চেয়ে ছোট একটি আরএলকে স্বীকৃতি দেয়? ভাববেন না।

— vzn

@vzn: দরকারী অনুমান, কিন্তু মিথ্যা: দিন Dyck ভাষার উপসেট হতে প্রথম বন্ধনী দুই ধরনের যেখানে সর্বোচ্চ পাখির গভীরতা উপর । আকারের এর জন্য একটি সিএফজি রয়েছে , তবে ন্যূনতম ডিএফএ (এমনকি আমি মনে করি, ন্যূনতম এনএফএ) এর আকার ।

L_{k}

$L_k$

k

$k$

L_{k}

$L_k$

O (k)

$O(k)$

O (2^{k})

$O(2^k)$

— সর্বোচ্চ

ডাইক ভাষা সিএফএল তবে আরএল নয় ...? তবে দেখুন যে আপনি সর্বাধিক নীড়ের গভীরতা সীমাবদ্ধ করছেন ... সুতরাং আপনি কি আরএল ছেদাগুলি দিয়ে একই ভাষা তৈরি করতে পারবেন? ন্যূনতম ডিএফএ এত বড় যে প্রমাণটি কোথায়? এটি বলে ? আপনি কোনও ন্যূনতম মানদণ্ড বা অন্য কোথাও সংজ্ঞায়িত করেন না এবং রাজ্যগুলিকে একটি প্রাকৃতিক কেস হিসাবে গ্রহণ করেছেন তবে এটি কেবলমাত্র এক নয়।

O (2^{k})

$O(2^k)$

— vzn

উত্তর:

এটি একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন এবং এটি সত্যিই আমার আগ্রহের মধ্যে রয়েছে। আপনি এটি সর্বাধিক চেয়েছিলেন বলে আমি আনন্দিত।

যাক সঙ্গে DFA তে এর সর্বাধিক প্রতিটি দেওয়া পদ বলে। ডিফএর ভাষাগুলির ছেদকে স্বীকার করে এমন অনেক রাজ্যের উপ-তাত্পর্যপূর্ণ এমন একটি পিডিএর অস্তিত্ব থাকলে খুব ভাল লাগবে। তবে, আমি পরামর্শ দিচ্ছি যে এই জাতীয় পিডিএ সর্বদা না থাকতে পারে। $n$ $O(n)$

অনুলিপি ভাষা বিবেচনা করুন। এখন, এটিকে দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং অনুলিপি করতে সীমাবদ্ধ করুন।

সাধারণত, কপি বিবেচনা করুন । $n$ $:=$ $\{ xx \, | \, x \in \{0,1\}^{n}\}$

আমরা উপস্থাপন করতে পারেন ছেদ যেমন -copy DFA তে এর আকারের সর্বাধিক । যাইহোক, -copy কে স্বল্পতম ডিএফএ- তে রাজ্য রয়েছে। $n$ $n$ $O(n)$ $n$ $2^{\Omega(n)}$

একইভাবে, যদি আমরা নিজেদেরকে একটি বাইনারি স্ট্যাক বর্ণমালা থেকে সীমিত, তবে আমি সন্দেহ যে ক্ষুদ্রতম পিডিএ যে গ্রহণ করে -copy ব্যাখ্যা মূলকভাবে অনেক রাজ্যের হয়েছে। $n$

পিএস যদি আপনি আরও আলোচনা করতে চান তবে নির্দ্বিধায় আমাকে একটি ইমেল প্রেরণ করুন। :)

— মাইকেল ওয়েহার
সূত্র

আমি মনে করি না যে কোনও তুচ্ছ নিম্নতর বা উপরের সীমানা থাকতে পারে।
নিম্ন সীমার জন্য, একটি নির্দিষ্ট জন্য ভাষাটি বিবেচনা করুন । ক্ষুদ্রতম প্রসঙ্গ-মুক্ত ব্যাকরণের আকারটি এর নিয়মিত অভিব্যক্তির আকারে , অন্যদিকে এর ক্ষুদ্রতম আকার এর আকারের সাথে লিনিয়ার । যদি আমরা এই অন্যান্য ভাষার সাথে কে ছেদ করি তবে এই পার্থক্যটি একই থাকে । উপরের কোট, একটি ভাষা বিবেচনা যে ঠিক এক নিয়ে গঠিত deBruijn-সিকোয়েন্স দৈর্ঘ্যের । এটি পরিচিত যে একটি ক্ষুদ্রতম ব্যাকরণের আকার $L_1 = \{ a^{2^k} \}$ $k$ $L_1$ $L_1$ $L_1$ $L_1$
$L_2$ $n$ $L_2$ সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে, যেমন , সুতরাং জন্য "ক্ষুদ্রতম" পার্থক্য কেবল একটি লোগারিথমিক ফ্যাক্টর, প্রস্তাব 1 এ $O\left( \frac{n}{\log n} \right)$ $L_2$

ডি হুক, এম। লোহরে, ই নোথ ফর্মুলার জন্য ছোট গাছ ব্যাকরণ এবং ছোট সার্কিট নির্মাণ করছে, এফএসটিটিসিএস ২০১৪-তে উপস্থিত হবে

একটি তুচ্ছ সাধারণ নিম্ন বা উপরের গণ্ডিগুলি সেই ফলাফলগুলির সাথে বিরোধিতা করবে, যেহেতু ভাষাগুলির ছেদ করার জন্য যা সত্য তা অবশ্যই ভাষার ছেদ করার জন্য সত্য হতে হবে । $n$ $1$

— john_leo
সূত্র

একক ডি-ব্রুজান-সিকোয়েন্সের জন্য ক্ষুদ্রতম ব্যাকরণের আকারের বিষয়ে মন্তব্যটি বেশ আকর্ষণীয়। আপনি দয়া করে একটি রেফারেন্স দিতে পারেন। ধন্যবাদ.

— মাইকেল ওয়েহার

এছাড়াও, আমার ভুল হতে পারে, তবে মনে হচ্ছে আপনি কেবল একটি নিয়মিত অভিব্যক্তির জন্য সমস্যাটি সমাধান করেছেন (নিয়মিত অভিব্যক্তির পরিবর্তে)?

— মাইকেল ওয়েহার

@ মিশেলওহর ইয়েপ, আমি কেবলমাত্র একটি একক নিয়মিত অভিব্যক্তি বিবেচনা করেছি। কারণ এটি যদি

ভাষার ছেদগুলির ক্ষেত্রে সত্য হতে পারে তবে অবশ্যই এটি তুচ্ছ ছেদ করার ক্ষেত্রে সত্য হতে হবে। এই মামলাগুলি বাদ দেওয়ার জন্য কীভাবে প্রশ্নটি সংস্কার করতে হয় তা আমি জানি না। আমি রেফারেন্স যোগ করেছি, এখনই তা করা উচিত ছিল, দুঃখিত।

n

$n$

— জন_লিও

ধন্যবাদ! আপনি একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ বর্ণনা করতে সক্ষম হয়েছিলেন। এখানে একটি সাধারণ মন্তব্য যা এই ধরণের উদাহরণগুলির অস্তিত্বের দিকে নিয়ে যায়। এন দেওয়া হবে। দৈর্ঘ্যের 2 ^ n স্ট্রিং রয়েছে n। এছাড়াও, সর্বাধিক এন / লগ (এন) রাজ্যের সাথে 2 than n টিউরিং মেশিন নেই। সুতরাং, দৈর্ঘ্যের কিছু স্ট্রিং এক্স যেমন এন / লগ (এন) রাষ্ট্রের চেয়ে কম সংখ্যক কোনও টুরিং মেশিন ভাষা {x} গ্রহণ করে না} অতএব, states x} এনএফএসের সাথে ডিএফএ দ্বারা গৃহীত হয় এবং পি / ডি / এন / লগ (এন) এর চেয়ে কম রাষ্ট্রের দ্বারা পিডিএ দ্বারা গৃহীত হতে পারে না।

— মাইকেল ওয়েহর

আমাকে মাইকেল দ্বিতীয় রায় দেওয়া যাক, এটি সত্যিই একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন। মাইকেল এর মূল ধারণাটি সাহিত্যের ফলাফলের সাথে একত্রিত করা যেতে পারে, এইভাবে একটি কঠোর প্রমাণের সাথে একইভাবে নীচের দিকে আবদ্ধ হয়।

$n$ $k$

$2^{k+1}$ $2^k+1$ $s$ $O(s^2)$ $O(4^{k})$

$2^{\Omega(\sqrt{k}/\log k)}$

$L_n = \{\,ww^Rw \in \{a,b\}^*\mid |w|=n\,\}$ $w^R$ $w$ $L_n$ $2n+1$

$r_i = (a+b)^ia(a+b)^{2(n-i-1)}a(a+b)^*+(a+b)^ib(a+b)^{2(n-i-1)}b(a+b)^*$ $1\le i \le n$
$s_i = (a+b)^*a(a+b)^{2(n-i-1)}a(a+b)^i+(a+b)^*b(a+b)^{2(n-i-1)}b(a+b)^i$ , ; $1\le i \le n$
$\ell = (a+b)^{3n}$

অভিব্যক্তির এই ছেদটিতে বর্ণের চিহ্নগুলির মোট সংখ্যা । $k$ $O(n^2)$

( 1 ) তে থিওরেম 13 এর প্রমাণে প্রদত্ত একটি যুক্তি ব্যবহার করে , কেউ প্রমাণ করতে পারে যে উত্পন্ন প্রতিটি অ্যাসাইক্লিক সিএফজির কমপক্ষে each স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল, যদি প্রতিটি নিয়মের ডান হাতের দৈর্ঘ্য সর্বোচ্চ । ভেরিয়েবলের সংখ্যা সম্পর্কে তর্ক করার জন্য পরবর্তী শর্তটি প্রয়োজনীয়, যেহেতু আমরা একক ভেরিয়েবলের সাথে সীমাবদ্ধ ভাষা তৈরি করতে পারি। তবে ব্যাকরণের আকারের দৃষ্টিকোণে, এই অবস্থাটি আসলেই কোনও বিধিনিষেধ নয়, যেহেতু আমরা আকারে কেবল একটি রৈখিক ধাক্কা দিয়ে এই ফর্মটিতে কোনও সিএফজিকে রূপান্তর করতে পারি, দেখুন ( ২ )। লক্ষ্য করুন যে ভাষাটি অরবিন্দ ইত্যাদি ব্যবহার করেছেন। আকার বর্ণমালার ওপরে এবং এটি একটি সীমাবদ্ধতা দেয় $L_n$ $2^n/(2n) = 2^{\Omega(\sqrt{k}/\log k)}$ $2$ $n$ $n^n/(2n)$ ; কিন্তু যুক্তিটি সুস্পষ্ট পরিবর্তনগুলির সাথে বহন করে।

তবুও, এবং উপরের উল্লিখিত নীচের গণ্ডির মধ্যে একটি বৃহত ফাঁক রয়ে গেছে । $O(4^n)$

তথ্যসূত্র:

ভি। অরবিন্দ, পুষ্কর এস জোগলেকার, শ্রীকান্ত শ্রীনিবাসন। পাটিগণিতগুলির গাণিতিক সার্কিট এবং হাডামারড পণ্য , এফএসটিটিটিএস ২০০৯, খণ্ড। LIPIcs এর 4, পৃষ্ঠা 25-36
ল্যাঞ্জ, মার্টিন; লেই, হান্স (২০০৯)। " সিএনএফকে নাকি সিএনএফকে নয়? সিওয়াইকে অ্যালগরিদমের একটি দক্ষ তবু উপস্থাপনযোগ্য সংস্করণ "। ইনফরম্যাটিকা ডিড্যাকটিকা 8।

— হারমান গ্রুবার
সূত্র