এলোমেলোভাবে উত্পন্ন গাছের প্রত্যাশিত গভীরতা কত?

19

আমি এই সমস্যাটি সম্পর্কে অনেক আগে চিন্তা করেছি, তবে এটি সম্পর্কে কোনও ধারণা নেই।

উত্পাদিত অ্যালগরিদম নিম্নরূপ। আমরা ধরে নিই যে থেকে পর্যন্ত সংখ্যায় $n$ ডিস্রিট নোড রয়েছে । তারপর একে মধ্যে , আমরা করতে গাছে তম নোড এর পিতা বা মাতা মধ্যে একটি র্যান্ডম নোড হতে । প্রতিটি মাধ্যমে পুনরুক্তি অনুক্রমে যাতে ফলাফলের রুট নোড সঙ্গে একটি র্যান্ডম গাছ । (সম্ভবত এটি যথেষ্ট এলোমেলো নয় তবে এটি কোনও ব্যাপার নয়) $0$ $n - 1$ $i$ $\{1, \dotsc, n - 1\}$ $i$ $\{0, \dotsc, i - 1\}$ $i$ $0$

এই গাছের প্রত্যাশিত গভীরতা কত?

pr.probability

— zhxchen17
সূত্র

আমি অনুমান রুট এবং আপনি বলতে বোঝানো: "প্রত্যেকের জন্য তখন এ , আমরা করতে -th নোড এর পিতা বা মাতা ..."। রাইট?

v_{0}

$v_0$

i

$i$

[1, n)

$[1,n)$

i

$i$

— শিরোনামহীন

আপনি কি চেষ্টা করেছেন? আপনি কি পুনরাবৃত্ত সম্পর্কটি লেখার চেষ্টা করেছেন,

জন্য বলুন

d (i)

$d(i)$ যা নোডের প্রত্যাশিত গভীরতা

i

$i$ ?

— DW

3

এই অবজেক্টগুলি "এলোমেলো পুনরাবৃত্ত গাছ" নামে পরিচিত।

— জেমস মার্টিন

15

আমি মনে করি সম্পর্কে একাগ্রতার ফলাফল রয়েছে $e \log n$ তবে আমি এখনও বিশদটি পূরণ করিনি।

আমরা একটি ঊর্ধ্ব সম্ভাব্যতা নোড যে জন্য আবদ্ধ পেতে পারেন $n$ হয়েছে $d$ পূর্বপুরুষদের সহ না $0$ । প্রতিটি সম্ভাব্য সম্পূর্ণ চেইন জন্য $d$ অশূন্য পূর্বপুরুষদের $(a_1,a_2,...,a_d)$ যে শৃঙ্খল সম্ভাব্যতা $(\frac{1}{a_1})(\frac{1}{a_2})\cdots (\frac{1}{a_d}) \times \frac{1}{n}$ । এটি $\frac{1}{n}$ মেয়াদ $(1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}+ \cdots \frac{1}{n-1})^d$ যেখানে শর্তাদি অর্ডার করা হয়। সুতরাং, এই সম্ভাবনার জন্য একটি উপরের সীমাটি $\frac{1}{n (d!)} H_{n-1}^d$ যেখানে $H_{n-1}$ হ'ল $n-1$ মেন সুরেলা সংখ্যা $1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n-1}$ । $H_{n-1} \approx \log (n-1) + \gamma$ । ফিক্সড বা অপরিবর্তিত $d$ এবং $n \to \infty$ , সম্ভাব্যতা যে নোড $n$ গভীরতা এ $d+1$ সর্বাধিক হয়

\frac{(\log n)^{d}}{n (d!)} (1 + o (1))

$\frac{(\log n)^d}{n (d!)} \left(1+o(1)\right)$

স্টার্লিংয়ের প্রায় অনুমানের দ্বারা আমরা এটি হিসাবে অনুমান করতে পারি

\frac{1}{n \sqrt{2 π d}} {(\frac{e \log n}{d})}^{d} .

$\frac{1}{n\sqrt{2\pi d}} \left( \frac{e \log n}{d} \right)^d.$

বড় , চেয়ে অনেক বড় কিছু , ঘনিষ্টের ভিত্তিটি ছোট, সুতরাং এই গণ্ডিটি ছোট, এবং আমরা ইউনিয়নকে আবদ্ধ করতে ব্যবহার করতে পারি যে ননেজারো পূর্বপুরুষদের সাথে কমপক্ষে একটি নোড থাকার সম্ভাবনা রয়েছে ছোট। $d$ $e \log n$ $d$

দেখা

লাক দেবরোয়ে, ওমর ফওজি, নিকোলাস ফ্রেইম্যান। "মাপানো সংযুক্তি এলোমেলো পুনরাবৃত্ত গাছগুলির গভীরতার বৈশিষ্ট্য" "

বি পিটল। এলোমেলো পুনরাবৃত্ত গাছ এবং এলোমেলো এম-অ্যারি অনুসন্ধান গাছগুলির উচ্চতাগুলিতে নোট করুন। র্যান্ডম স্ট্রাকচারস এবং অ্যালগরিদম, 5: 337–348, 1994।

প্রাক্তনদের দাবি যে পরবর্তীকটি উচ্চতর সম্ভাব্যতার সাথে সর্বাধিক গভীরতা দেখিয়েছে এবং অন্য প্রমাণ দেয়। $(e+o(1))\log n$

— ডগলাস জারে
সূত্র

2

খুব সুন্দর. অন্যান্য পাঠকদের জন্য স্পষ্ট করার জন্য: যেহেতু আপনি

, শব্দটি

পুনরাবৃত্তি করতে পারবেন না

a_{i}

$a_i$

কেবল একটি উপরের গণ্ডি।

(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n - 1})^{d}

$(1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n-1})^d$

— পিটার শোর

3

এই প্রশ্নের বেশ কয়েক বছর আগে উত্তর দেওয়া হয়েছিল, তবে, কেবল মজা করার জন্য, এখানে উপরের গণ্ডির একটি সহজ প্রমাণ। আমরা প্রত্যাশার উপর আবদ্ধ করি, তারপরে একটি লেজ বাউন্ড করি।

নির্ধারণ আরভি নোড গভীরতা হতে । নির্ধারণ $d_i$ $i\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ $\phi_i = \sum_{j=0}^i e^{d_j}.$

লেমা ১. প্রত্যাশিত সর্বাধিক গভীরতা, সর্বাধিক $E[\max_i d_i]$ । $e\, H_{n-1}$

প্রুফ। সর্বাধিক গভীরতা সর্বাধিক । শেষ করতে আমরা দেখাব $\ln \phi_{n-1}$ । $E[\ln \phi_{n-1}] \le e\, H_{n-1}$

কোন , উপর কন্ডিশনার , পরিদর্শন দ্বারা , $i\ge 1$ $\phi_{i-1}$ $\phi_i$

E [ϕ_{i} | ϕ_{i - 1}] = ϕ_{i - 1} + E [e^{d_{i}}] = ϕ_{i - 1} + \frac{e}{i} ϕ_{i - 1} = (1 + \frac{e}{i}) ϕ_{i - 1} .

$\textstyle E[\phi_i\, |\, \phi_{i-1}] \,=\,\phi_{i-1} + E[e^{d_i}] \,=\, \phi_{i-1} + \frac{e}{i} \phi_{i-1} \,=\, (1+\frac{e}{i}) \phi_{i-1}.$

আনয়ন দ্বারা এটি অনুসরণ করে যে

E [ϕ_{n - 1}] = \prod_{i = 1}^{n - 1} (1 + \frac{e}{i}) < \prod_{i = 1}^{n - 1} \exp (\frac{e}{i}) = \exp (e H_{n - 1}) .

$\textstyle E[\phi_{n-1}] \,=\, \prod_{i=1}^{n-1} (1+\frac{e}{i}) \,<\, \prod_{i=1}^{n-1} \exp(\frac{e}{i}) \,=\, \exp(e\, H_{n-1}).$

সুতরাং, লগারিদমের সংক্ষিপ্তসার দ্বারা,

E [\ln ϕ_{n - 1}] \leq \ln E [ϕ_{n - 1}] < \ln \exp (e H_{n - 1}) = e H_{n - 1} . ◻

$E[\ln \phi_{n-1}] \,\le\, \ln E[\phi_{n-1}] \,<\, \ln \exp(e\, H_{n-1}) \,=\, e\, H_{n-1}.~~~~~~~\Box$

এখানে লেজ আবদ্ধ:

লেমা 2. যে কোনও । তারপরে $c \ge 0$ সবচেয়ে বেশি । $\Pr[\max_i d_i] \ge e\,H_{n-1} + c$ $\exp(-c)$

প্রুফ। , এবং মার্কোভের আবদ্ধ দ্বারা পরিদর্শন করার পরে , প্রশ্নের সম্ভাব্যতা সর্বাধিক $\phi$ লেমা 1 এর প্রমাণ থেকে,

Pr [ϕ_{n - 1} \geq \exp (e H_{n - 1} + c)] \leq \frac{E [ϕ_{n - 1}]}{\exp (e H_{n - 1} + c)} .

$\Pr[\phi_{n-1} \ge \exp(e\,H_{n-1} + c)] \,\le\,\frac{E[\phi_{n-1}]}{\exp(e\,H_{n-1} + c)}.$

। উপরের অংশে এটি ডানদিকে স্থাপন করা প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে।

E [ϕ_{n - 1}] \leq \exp (e H_{n - 1})

$E[\phi_{n-1}]\le \exp(e\,H_{n-1})$

◻

$~~~\Box$

নিম্ন সীমা হিসাবে, আমি মনে করি যে নীচের একটি আবদ্ধ বিবেচনা করে খুব সহজে অনুসরণ করে । কিন্তু ... $(e-1)H_n - O(1)$ $\max_i d_i \ge \ln\phi_t - \ln n$ [সম্পাদনা: খুব শীঘ্রই কথা বলেছেন]

$(1-o(1))e H_n$

— নিল ইয়াং
সূত্র

2

আমি কয়েক মাস আগে একই প্রশ্নটি (যদিও একেবারে সম্পূর্ণ ভিন্ন গঠনে) পাশাপাশি কিছু ঘনিষ্ঠ রূপগুলি নিয়ে ভাবলাম।

আমার কাছে এটির জন্য কোনও বন্ধ ফর্ম (/ অ্যাসিপটোটিক) সমাধান নেই, তবে আপনি এই দৃশ্যটি দরকারী মনে করতে পারেন (আপনি কেবলমাত্র উপরের আবদ্ধের সন্ধান করছেন?)।

আপনি এখানে যে প্রক্রিয়াটি বর্ণনা করছেন তা হ'ল চাইনিজ রেস্তোঁরা প্রক্রিয়াটির একটি সাধারণীকরণ , যেখানে প্রতিটি "টেবিল" এমন একটি সাবট্রি যার মূলের পিতামাতা $v_0$ ।

This also gives us a recursion formula for your question.

Denote by $h(n)$ the expected heights of a such tree process with $n$ nodes.

Denote by $P_n(B)=\frac{\Pi_{b\in B} (b-1)!}{n!}$ (the probability of distribution $B$ of the nodes into subtrees).

Then the quantity you're looking for, $h(n)$ , is given by:

h (n) = \sum_{B \in B_{n}} P_{n} (B) \cdot max_{b \in B} h (b)

$h(n)=\sum_{B\in \mathcal B_n}P_n(B)\cdot \max_{b\in B} h(b)$

If you wish to code this recursion, make sure you use the following so it won't go into infinite loop:

h (n) = \frac{\sum_{B \in B_{n} ∖ {{n}}} P_{n} (B) \cdot max_{b \in B} h (b)}{1 - \frac{1}{n!}}

$h(n)=\frac{\sum_{B\in \mathcal B_n\setminus \{\{n\}\}}P_n(B)\cdot \max_{b\in B} h(b)}{1-\frac{1}{n!}}$

Where $\mathcal B_n$ is the set of all partitions of $n$ identical balls into any number of non-empty bins, and $h(1)=1$ .

In practice, when I needed this I just used a simple monte-carlo method for estimating $h(n)$ , as trying to actually compute $h$ by this method is extremely inefficient.

— R B
সূত্র

1

Thanks for the idea! Actually I wrote a monte-carlo program the first time when I met with this problem, but to my surprise the accurate result is so difficult to get.

— zhxchen17