রিলেটের গণিতটি কোন পরিমাণে কম্পিউটারের তুলনায় প্রয়োগ করা যেতে পারে?


16

যথাযথ স্যানিটাইজেশন সহ এমন কোন সাধারণ উপপাদ্য রয়েছে যে, কেবলমাত্র গণনীয় বাস্তবের কথা বিবেচনা করার সময় প্রকৃত সংখ্যা ব্যবহারের বিষয়ে সর্বাধিক পরিচিত ফলাফলগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে? বা ফলাফলগুলির যথাযথ বৈশিষ্ট্য আছে যা কেবলমাত্র গণনামূলক বাস্তবের কথা বিবেচনা করে বৈধ থাকে? একটি পার্শ্ব প্রশ্নটি হল যে সমস্ত বাস্তব বা গণনযোগ্য নয় এমন কোনও বিষয় বিবেচনা না করেই গণনাযোগ্য বাস্তব সম্পর্কিত ফলাফল প্রমাণিত হতে পারে। আমি বিশেষত ক্যালকুলাস এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের বিষয়ে ভাবছি, তবে আমার প্রশ্ন কোনওভাবেই এর মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়।

প্রকৃতপক্ষে, আমি অনুমান করি যে ট্যুরিং শ্রেণিবিন্যাসের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ গণনাযোগ্য বাস্তবগুলির একটি শ্রেণিবিন্যাস রয়েছে (এটি কি সঠিক?) তারপরে, আরও বিমূর্তভাবে, বাস্তবের একটি বিমূর্ত তত্ত্ব আছে (পরিভাষাটি কী হওয়া উচিত তা আমি নিশ্চিত নই), যার জন্য বেশ কয়েকটি ফলাফল প্রমাণিত হতে পারে, এটি প্রচলিত আসল সংখ্যার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, তবে গণনাযোগ্য রিয়েলগুলির ক্ষেত্রেও এবং ট্যুরিং হায়ারার্কির যে কোনও স্তরে, যদি এটি বিদ্যমান থাকে ut

তারপরে আমার প্রশ্নটি সম্ভবত এইভাবে বলা যেতে পারে: এমন কি ফলাফলের বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা বাস্তবের বিমূর্ত তত্ত্বে প্রয়োগ হবে যখন তারা traditionতিহ্যবাহী বাস্তবের জন্য প্রমাণিত হবে? এবং, এই ফলাফলগুলি কি প্রথাগত বাস্তব বিবেচনা না করে সরাসরি বিমূর্ত তত্ত্বে প্রমাণিত হতে পারে?

বাস্তবের এই তত্ত্বগুলি কীভাবে এবং কখন ডাইরেজ হয় তা বুঝতে আমি আগ্রহী।

পিএস আমি জানি না আমার প্রশ্নে এটি কোথায় ফিট করে। আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে রিয়েলসের গাণিতিক বিষয়গুলির একটি ভাল চুক্তি টপোলজি দিয়ে সাধারণীকরণ করা হয়েছে। সুতরাং এটি আমার প্রশ্নের উত্তর, বা এর কিছু অংশ, সেখানে পাওয়া যাবে। তবে এটি আরও হতে পারে।

উত্তর:


16

আসল সংখ্যাগুলি কয়েকটি উপায়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে, আসুন আমরা কাচি-সম্পূর্ণ আর্কিমেডিয়ান অর্ডারযুক্ত ক্ষেত্রের সাথে কাজ করি । (আমরা একটু সতর্কতা অবলম্বন কিভাবে আমরা এই ঠিক বলতে হতে হবে দেখতে সংজ্ঞা 11.2.7 এবং Defintion 11.2.10 এর Hott বই ।)

নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি যেকোন টপোসে বৈধ (উচ্চতর অর্ডার স্বজ্ঞাত যুক্তির একটি মডেল):

উপপাদ্য: এখানে একটি কাউচি-সম্পূর্ণ আর্কিমেডিয়ান অর্ডারযুক্ত ক্ষেত্র রয়েছে এবং বাস্তবে এই জাতীয় কোনও দুটি ক্ষেত্রটি তাত্পর্যপূর্ণভাবে isomorphic।

তদুপরি, স্বজ্ঞাত যুক্তিবাদে ( অন্তর্দৃষ্টি দিয়ে বিভ্রান্ত না হয়ে ) আমরা প্রচুর বাস্তব বিশ্লেষণ করতে পারি (ক্রম এবং সীমা, ডেরিভেটিভস, ইন্টিগ্রালস, ধারাবাহিকতা, অভিন্ন ধারাবাহিকতা ইত্যাদি) যা পরে কোনও টোপোসে কার্যকর is যদি আমরা সেটগুলির শীর্ষস্থান গ্রহণ করি তবে আমরা সাধারণ বাস্তব বিশ্লেষণ পাই get একটি ভিন্ন টোপোস গ্রহণ করে আমরা একটি পৃথক ধরণের বাস্তব বিশ্লেষণ পাই - এবং এমন একটি টপোস রয়েছে যা স্পষ্টভাবে গণনাযোগ্য রিয়েল এবং গণনাযোগ্য বাস্তব বিশ্লেষণ দেয়।

অবশ্যই এই কার্যকর topos , যা বাস্তব সংখ্যার হয় গণনীয় reals (অস্পষ্টভাবে ভাষী, এই জন্য কারণ যে কার্যকর topos এমনভাবে এটি সবকিছু স্বয়ংক্রিয়ভাবে গণনীয় হয় নির্মাণ করা হয়)। আপনার প্রশ্নের উত্তর হল

অন্তর্দৃষ্টি সম্পর্কিত বাস্তব বিশ্লেষণে সংজ্ঞা, নির্মাণ এবং উপপাদগুলি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সংজ্ঞাযোগ্য বাস্তব সম্পর্কে সংজ্ঞা, নির্মাণ এবং উপপাদায় অনুবাদ হয় যখন আমরা কার্যকর টোপগুলিতে তাদের ব্যাখ্যা করি।

উদাহরণস্বরূপ, উপপাদ্য "প্রত্যেক অবিশেষে একটানা মানচিত্র attains তার supremum" intuitionistically বৈধ। আমরা যখন এটি কার্যকর টোপোজে ব্যাখ্যা করি আমরা গণনাযোগ্য রিয়েলগুলিতে গণনাযোগ্য মানচিত্রের জন্য উপযুক্ত সংস্করণ পাই যা গণনাযোগ্যভাবে অভিন্ন ধারাবাহিক।:[0,1]আর

আপনি বাস্তব বিশ্লেষণ এবং এর গণনাযোগ্য সংস্করণের মধ্যে "বিচ্যুতি" সম্পর্কেও জিজ্ঞাসা করতে পারেন। উত্তরটি হ'ল যে ফলাফলগুলি বাদ দেওয়া মধ্যের আইনের উপর নির্ভর করে বা পছন্দের অক্ষরেখার উপর নির্ভর করে (যদিও গণনাযোগ্য পছন্দটি ঠিক আছে) অন্তর্দৃষ্টিবাদী নয়, এবং ফলস্বরূপ কার্যকর টোপগুলিতে বৈধতা দেওয়া যায় না। তবে আমাদের লক্ষ করা উচিত (জনপ্রিয় মতামতের বিপরীতে) বেশিরভাগ বিশ্লেষণ স্বজ্ঞাতদৃষ্টিতে করা যেতে পারে।

কার্যকর টোপোসগুলি অনেকগুলি বাস্তবায়নের শীর্ষস্থানগুলির মধ্যে একটি । আমরা যখন অন্যান্য বাস্তবায়নের শীর্ষস্থানীয়গুলিতে স্বজ্ঞাত বিশ্লেষণের ব্যাখ্যা করি তখন আমরা আপনার সংকেতকে বোঝানো ওরাকলগুলির সাথে গণনা সহ আসল সংখ্যার গণ্যতার বিকল্প মডেলগুলি পাই। "আপেক্ষিক ক্লেইন ফাংশন রিরিজিবিলিটি টোপস" (যা কিছু হোক না কেন) রিয়েলগুলিতে তথাকথিত টাইপ II এর কম্পিউটাবিলিটি দেয় যেখানে গণনাযোগ্য মানচিত্রগুলি কেবলমাত্র গণনীয় মানচিত্রই নয়, সমস্ত বাস্তবের উপর পরিচালিত হয় ।

আমি "কম্পিউটার এবং কাঠামোগত গণিতের মধ্যে সংযোগ হিসাবে বাস্তবের যোগ্যতা" নোটগুলিতে এবং এর আগে আমার পিএইচডি- তে এটি ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করেছি থিসিস


[0,1]

3
[0,1][0,1][0,1]
আন্দ্রেজ বাউর

1
[0,1][0,1]

অন্তর্দৃষ্টিবাদী যুক্তি অন্তর্দৃষ্টি হিসাবে একই জিনিস নয় যে সম্পর্কে একটি নোট যোগ। এছাড়াও, স্বজ্ঞাত যুক্তি সম্পর্কিত উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাটি ভয়াবহ।
আন্দ্রেজ বাউর

1
@ কাভেঃ হ্যাঁ, আমরা আরও ভাল পরিভাষার জন্য কামনা করতে পারি ...
আন্দ্রেজ বাউর
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.