ইউনিক লেবেল কভার থেকে ম্যাক্স-কাট হ্রাস সম্পর্কে বিশুদ্ধ গ্রাফ-তাত্ত্বিক ব্যাখ্যা

Question

আমি ইউনিক গেমসের অনুমান এবং খট এট আল-এর ম্যাক্স-কাটের বিখ্যাত হ্রাস অধ্যয়ন করছি। তাদের কাগজ এবং ইন্টারনেটে অন্য কোথাও, বেশিরভাগ লেখকই MAX-CUT হ্রাস এবং দীর্ঘ কোডগুলির জন্য নির্দিষ্ট পরীক্ষাগুলি গঠনের মধ্যে একটি অন্তর্নিহিত সমতুল্যতা ব্যবহার করেন। সেই সমতুল্যতা সম্পর্কে আমার নিজের স্বচ্ছতার অভাবের কারণে, আমি এই চিন্তার ট্রেনটি অনুসরণ করতে সংগ্রাম করি।

এই প্রকাশগুলি থেকে এটিও স্পষ্ট বলে মনে হয় যে গ্রাফের বিবেচনায় কেউ এই হ্রাসকে বিশুদ্ধভাবে বর্ণনা করতে পারে তবে কাকতালীয়ভাবে বা পছন্দসইভাবে কেউ সেভাবে এটি পছন্দ করে না। উদাহরণস্বরূপ, ও'ডনেলের এই বক্তৃতা নোটগুলিতে তিনি ইঙ্গিত করেছেন যে লং-কোড পরীক্ষাটি গ্রাফের তৈরি প্রান্তগুলির একটি প্রাকৃতিক সংজ্ঞার সাথে মিলেছে, তবে যেহেতু এটি বানানটি তৈরি করা হয়নি তা মনে হয় কোনও কাটছাঁটের পছন্দের উপর নির্ভর করে বুলিয়ান ফাংশনটি পরীক্ষা করা হচ্ছে তা সংজ্ঞায়িত করতে, এবং এটি আমাকে বরং বিভ্রান্ত করেছে।

সুতরাং আমি কাউকে অনুরোধ করছি গ্রন্থ-তাত্ত্বিকভাবে "কেবল" হ্রাসটি ব্যাখ্যা করার জন্য। আমি মনে করি এটি দুটি দৃষ্টিভঙ্গির মধ্যে সমতা বুঝতে সাহায্য করবে।

Answer 1

আমি এটি একটি উচ্চ স্তরে পরিষ্কার করতে পারি কিনা তা আমাকে দেখতে দিন। ধরুন ইউজি উদাহরণটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ$G = (V \cup W, E)$, বাইজিকেশন $\{\pi_e\}_{e \in E}$, কোথায় $\pi_e\colon \Sigma \to \Sigma$, এবং $|\Sigma| = m$। আপনি একটি নতুন গ্রাফ নির্মাণ করতে চান$H$ যাতে ইউজি উদাহরণটি হয় $1-\delta$ সন্তুষ্ট, তারপর $H$ একটি বড় কাটা আছে, এবং যদি ইউজি উদাহরণটি না হয় $\delta$সন্তোষজনক, তারপর $H$ শুধুমাত্র খুব ছোট কাটা আছে।

গ্রাফ $H$ অন্তর্ভুক্ত, প্রতিটি প্রান্তিকের জন্য $W$, একটি মেঘ $2^m$ পয়েন্ট, প্রতিটি কিছু দ্বারা লেবেল $x \in \{-1, 1\}^\Sigma$। উদ্দেশ্যটি হ'ল আপনার লেবেলের একটি দীর্ঘ কোড এনকোডিংটি ব্যাখ্যা করতে সক্ষম হওয়া উচিত$W$ একটি কাটা হিসাবে $H$। কিছু এনকোড করতে যে স্মরণ$\sigma \in \Sigma$ দীর্ঘ কোড সহ, আপনি একটি বুলিয়ান ফাংশন ব্যবহার করুন $f\colon \{-1, 1\}^\Sigma \to \{-1, 1\}$; বিশেষত এটি স্বৈরশাসকের কাজ$f(x) = x_\sigma$। একটি কাটা উত্পাদন করা যাক$S\cup T$লম্বা কোড এনকোডিং থেকে নিম্নরূপে (অর্থাত্ উল্লম্বের দ্বি-বিভাগ)। যদি$w \in W$ বুলিয়ান ফাংশন দ্বারা এনকোডযুক্ত একটি লেবেল রয়েছে $f$, এর উল্লম্ব মেঘে যান $H$ সংশ্লিষ্ট $w$, এবং রাখা $S$ মেঘের সমস্ত উল্লম্ব যা কিছু দ্বারা লেবেলযুক্ত $x$ কিসের জন্য $f(x) = 1$। অন্যরা যান$T$। সকলকে বুলিয়ান ফাংশন নির্ধারণের জন্য আপনি এটি পিছনের দিকে করতে পারেন$w \in W$ একটি কাটা উপর ভিত্তি করে $H$।

কাজ হ্রাস করার জন্য, আপনাকে কেবল কোনও কাটার মান দেখে বলতে সক্ষম হতে হবে$S\cup T$ বুটান ফাংশনগুলি কাটের সাথে সম্পর্কিত কিনা লেবেলের কিছু অ্যাসাইনমেন্টের দীর্ঘ কোড এনকোডিংয়ের নিকটে রয়েছে কিনা $W$ যা ইউজির অনেকগুলি প্রতিবন্ধকতা সীমাবদ্ধ করে $G$। সুতরাং প্রশ্নটি হ'ল আমরা কোনও তথ্য কোনও কাটকের মান থেকে পাই$S \cup T$। যে কোনও দুটি শীর্ষে বিবেচনা করুন$a$ লেবেল সহ $x$ মেঘে অনুরূপ $w$ এবং $b$ লেবেল সহ $y$ মেঘে অনুরূপ $w'$ (হ্রাস আমরা কেবল তাকান $w$, $w'$বিভিন্ন মেঘে) আমরা বলেছিলাম যে কাটাটি বুলিয়ান ফাংশনগুলি ব্যবহার করতে ব্যবহৃত হতে পারে$f_w$ এবং $f_{w'}$। এখন যদি একটি প্রান্ত আছে$(a,b)$ ভিতরে $H$তাহলে $(a, b)$ কাটা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$। সুতরাং, বুলিয়ান ফাংশনগুলি "উত্সাহিত করে" এটি "বুলিয়ান ফাংশনগুলি" দেয় কিনা তা জানানোর জন্য কেবল একটি কাটের মান ব্যবহার করে এটি পরীক্ষা করার মতো হয় যা বুলিয়ান ফাংশন দেয়$\{f_w\}_{w \in W}$, কেবল জোড়াগুলির নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট তালিকার কোন ভগ্নাংশের জন্য জিজ্ঞাসা করে $((w, x), (w', y))$ আমাদের আছে $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$।

অন্য কথায়, রায়ান যখনই নোটগুলিতে বলে "পরীক্ষা যদি হয় $f_w(x) \neq f_{w'}(y)$", তার সত্যিকারের অর্থ" ইন " $H$এর মেঘের মধ্যে ভার্টেক্সের মাঝে একটি প্রান্ত যুক্ত করুন $w$ দ্বারা লেবেলযুক্ত $x$ এবং মেঘের ভার্টেক্স $w'$ দ্বারা লেবেলযুক্ত $y$"। প্রত্যেকের জন্য $v\in V$, এর প্রতি দুই প্রতিবেশী $w, w'$, এবং প্রতিটি $x,y \in \{-1, 1\}^n$এর মেঘের মধ্যে ভার্টেক্সের মাঝে প্রান্তটি অন্তর্ভুক্ত করুন $w$ দ্বারা লেবেলযুক্ত $x\circ \pi_{v,w}$ এবং মেঘের ভার্টেক্স $w'$ দ্বারা লেবেলযুক্ত $y \circ \pi_{v,w'}$, এবং প্রান্ত ওজন নির্ধারণ করুন $(({1-\rho})/{2})^d(({1+\rho})/{2})^{n-d}$ কোথায় $d$ এর মধ্যে হামিং দূরত্ব $x$ এবং $y$। এইভাবে মোট প্রান্তের ওজন দ্বারা বিভক্ত একটি কাটের মান পরীক্ষার সাফল্যের সম্ভাবনার ঠিক সমান।

Comments

এটি একটি দুর্দান্ত উত্তর, যা আমাকে আরও কিছু গভীরতার সাথে অধ্যয়ন করতে হবে। আমার একটি ছোটখাটো ফলো-আপ প্রশ্ন রয়েছে: আমার সন্দেহজনক হওয়া উচিত যে আমি যে পরিমাণ হ্রাসের প্রত্যাশা করি তা হ'ল এখনও জেনারেট করার এই এলোমেলো উপাদান রয়েছে a$\mu$?

— জেরেমি কুন

দুঃখিত, এর সমর্থনে সমস্ত ভেক্টরগুলির জন্য প্রান্তগুলি যুক্ত করে এটি অনুকরণ করা হয় $x\mu$এবং সম্ভাবনাগুলির সাথে আনুপাতিক প্রান্তের ওজন নির্ধারণ করা। সংশোধন করা হয়েছে।

— সাশো নিকোলভ