বিপরীত গেটগুলির শ্রেণিবদ্ধকরণ

পোস্টের জালিয়াতি 1941 সালে এমিল পোস্ট দ্বারা বর্ণিত, মূলত বুলিয়ান ফাংশন যে রচনা অধীনে বন্ধ করা হয় সেট একটি সম্পূর্ণ অন্তর্ভুক্তি ডায়াগ্রাম হয়: যেমন, একঘেয়েমি ফাংশন, জিএফ (2) উপর রৈখিক ফাংশন, এবং সমস্ত ফাংশন। (পোস্টটি ধরে নিল না যে 0 এবং 1 টি ধ্রুবকগুলি নিখরচায় পাওয়া যায়, যা তার জালিকে অন্যথায় হওয়ার চেয়ে আরও জটিল করে তুলেছিল))

আমার প্রশ্ন হ'ল টফোলি এবং ফ্রেডকিন গেটের মতো শাস্ত্রীয় বিপরীতমুখী গেটগুলির জন্য সদৃশ কিছু প্রকাশিত হয়েছে কিনা । অর্থাৎ, classes 0,1} ^{n এ যে} বিপরীতমুখী রূপান্তরগুলির কোন শ্রেণি বিপরীতমুখী গেটের সংগ্রহের মাধ্যমে উত্পন্ন করা যেতে পারে? এখানে নিয়ম আছে: আপনি 0 হস্তনির্মিত বিট সীমাহীন সংখ্যক কিছু প্রিসেট অনুমতি করছি এবং অন্যদের থেকে 1 প্রিসেট যতদিন সব হস্তনির্মিত বিট {0,1} আপনার রূপান্তর একবার তাদের প্রাথমিক সেটিংসে ফিরে এসেছ ^এন হয় সমাপ্ত। এছাড়াও, 2 বিটের একটি swWAP (অর্থাত্ তাদের সূচকগুলির একটি পুনর্বিবেচনা) সর্বদা বিনামূল্যে পাওয়া যায়। এই নিয়মের অধীনে, আমার ছাত্র লূক শ্যাফার এবং আমি নিম্নলিখিত দশটি রূপান্তরগুলির সেট সনাক্ত করতে পেরেছিলাম:

খালি সেট
সেটটি নট গেটের দ্বারা উত্পন্ন
নোট দ্বারা উত্পাদিত সেট (অর্থাত্, বিটগুলির কোনও 2 টিতে প্রয়োগ করা হয় না)
সিএনওটি দ্বারা উত্পাদিত সেট (যেমন, নিয়ন্ত্রিত- নয় গেট)
সিএনওএনএনএনটি দ্বারা উত্পাদিত সেটটি (যেমন, 1 ম বিটটি 1 হলে 2 য় এবং 3 য় বিটগুলি ফ্লিপ করুন)
সেটটি CNOTNOT এবং না দ্বারা উত্পাদিত
ফ্রেডকিন (যেমন, নিয়ন্ত্রিত- SWAP) গেটের সাহায্যে উত্পন্ন সেট
ফ্রেডকিন এবং সিএনওএনএনএনটি দ্বারা উত্পাদিত সেট
ফ্রেডকিন, সিএনটনট, এবং নয় দ্বারা তৈরি সেট
সমস্ত রূপান্তর সেট

আমরা কোনও অবশিষ্ট পরিবার চিহ্নিত করতে চাই এবং তারপরে শ্রেণিবিন্যাসটি সম্পূর্ণ প্রমাণিত করতে চাই --- তবে এটির উপর আমাদের বেশি সময় ব্যয় করার আগে আমরা জানতে চাই যে এর আগে কেউ এটি করেছে কিনা।

circuit-families

— স্কট অ্যারনসন
সূত্র

আপনি কি নোটসিএসএপি এবং (সিএসডাব্যাপ, ননটিসিএসওয়্যাপ) অনুপস্থিত রয়েছেন যেখানে নটিসিএসওয়্যাপটি একটি নিয়ন্ত্রিত-স্বাপের মতো তবে এর সি, আর্গুমেন্ট 0 হলে (সি সিএসওয়্যাপের মতো সি 1 এর পরিবর্তে অদলবদলের পরিবর্তে) এর এক্স, ওয়াই আর্গুমেন্টটি অদলবদল করে? সমস্ত হামিং ওজন সংরক্ষণের অনুমতিপত্র পাওয়ার জন্য আপনার উভয়েরই দরকার: সিএসডাব্লুএপি কেবল হামিং ওজন -2 এর ভেক্টরকেই অনুমতি দেয় যখন নটিসিএসওয়্যাপ কেবলমাত্র হামিং ওজন -2-এর ভেক্টরকেই অনুমতি দেয়।

— ডেভিড এপস্টিন

এছাড়াও (পূর্ববর্তী মন্তব্যে জায়গা থেকে দৌড়ে) শূন্য বা ননজারো হওয়ার জন্য বিশাল সংখ্যক কন্ট্রোল বিট লাগিয়ে আপনি হ্যামিং ওজন সংরক্ষণের অনুমানের আরও সীমিত উপগ্রহ পেতে পারেন, কেবল হামিং ওজনযুক্ত ভেক্টরকে কমপক্ষে বা স্বেচ্ছাসেবী হিসাবে অনুমতি দিতে পারেন আবদ্ধ. সুতরাং এটি রূপান্তর অনেকগুলি শ্রেণীর দেয়।

— ডেভিড এপস্টিন

ধন্যবাদ, ডেভিড - তবে আমি ধরে নিয়েছিলাম যে 0 এবং 1 টি আনুষঙ্গিকগুলি এই জাতীয় "বিকৃততা" রদ করার জন্য নিখুঁতভাবে উপলব্ধ ছিল। এটা কি তাই না?

— স্কট অ্যারনসন

যাক

Hamming ওজন মডিউল সংরক্ষণের সব একাধিক বিন্যাসন বর্গ হতে

। তারপরে

আপনার প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে এবং

ইফফ

: অন্য কোথাও

এর অযৌক্তিকতা

ary ফাংশন দ্বারা দেখা হয়

, এবং

C_{n}

$C_n$

n

$n$

C_{n}

$C_n$

C_{n} \subseteq C_{m}

$C_n\subseteq C_m$

m | n

$m|n$

C_{n}

$C_n$

n

$n$

f_{n}

$f_n$

f_{n} (0^{n}) = 1^{n}

$f_n(0^n)=1^n$

f_{n} (1^{n}) = 0^{n}

$f_n(1^n)=0^n$

জন্য

। বিশেষত, এই সমস্ত অসীম বহু শ্রেণি পৃথক।

f (x) = x

$f(x)=x$

x \neq 0^{n}, 1^{n}

$x\ne0^n,1^n$

— এমিল জেবেক

Eccc.hpi-web.de/report/2015/066 কাগজটি দেখুন যেখানে এই ধারণাগুলি পালিশ করা হয়েছে এবং যা নীচে এমিলের উত্তরটিও রেফার করে।

— আন্দ্রেস সালামন

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ এটি স্ট্যান্ডার্ড ক্লোন oc কোকলোনের দ্বৈতত্বের (যেমন এখানে ) একই সাথে বিপরীতমুখী রূপান্তরগুলির জন্য দ্বৈততার অর্ধেকের উপস্থাপনা । এটি প্রশ্নের উত্তর দেয় না, তবে এটি দেখায় যে এই জাতীয় ফাংশনগুলির সমস্ত বদ্ধ শ্রেণি নির্দিষ্ট ফর্মের বৈশিষ্ট্য সংরক্ষণের মাধ্যমে নির্ধারিত হয়।

স্ট্যান্ডার্ড কেসের বিপরীতে, প্রধান জটিলতা হ'ল অনুমতিগুলি গণনা করতে পারে (তারা কার্ডিনালিটিটি সংরক্ষণ করে), সুতরাং তাদের আক্রমণকারীদের এটি হিসাব করার জন্য কিছুটা গাণিতিক যুক্ত করা দরকার need

আমাকে কিছু অস্থায়ী পরিভাষা দিয়ে শুরু করা যাক। একটি নির্দিষ্ট বেস সেট ত্রুটিমুক্ত । (শাস্ত্রীয় ক্ষেত্রে স্কট এ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে, । আলোচনার অংশগুলিও অসীম জন্য কাজ করে তবে মূল বৈশিষ্ট্যটি নয়)) $A$ $A=\{0,1\}$ $A$

একজন একাধিক বিন্যাসন সেট (অথবা: উলটাকর রূপান্তরের) একটি উপসেট , যেখানে এর একাধিক বিন্যাসন গ্রুপ উল্লেখ করে । একটি বিন্যাস ক্লোন একাধিক বিন্যাসন গুচ্ছ যেমন যে $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ $\sym(X)$ $X$ $\cC$

প্রতিটি রচনা অনুসারে বন্ধ রয়েছে। $\cC\cap\sym(A^n)$

কোন , বিন্যাস দ্বারা সংজ্ঞায়িত রয়েছে । $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ $\cC$

তাহলে এবং , বিন্যাস দ্বারা সংজ্ঞায়িত রয়েছে । $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ $\mathcal C$

যেহেতু সীমাবদ্ধ, 1 এর অর্থ একটি উপগোষ্ঠী । ওপি শুধুমাত্র transpositions 2 দাবী , কিন্তু সংস্করণটি এখানে পরিষ্কারভাবে সমতুল্য। শর্ত ৩ টি উপরের মন্তব্যে ডামি ভেরিয়েবলের পরিচিতি হিসাবে সমান। $A$ $\cC\cap\sym(A^n)$ $\sym(A^n)$ $\pi$

একজন মাস্টার ক্লোন ancillas এর ভাতা সঙ্গে একটি বিন্যাস ক্লোন হল:

যাক , , এবং যেমন হতে পারে, সব জন্য । তারপর বোঝা । $f\in\sym(A^{n+m})$ $g\in\sym(A^n)$ $a\in A^m$ $f(x,a)=(g(x),a)$ $x\in A^n$ $f\in\cC$ $g\in\cC$

আমরা নির্দিষ্ট আক্রমণকারীদের দ্বারা ক্রিয়াকলাপ ক্লোন এবং মাস্টার ক্লোনগুলি চিহ্নিত করার লক্ষ্য নিয়েছি। আমাকে প্রথম কয়েকটি উদাহরণ দ্বারা আধুনিক অনুপ্রাণিত করা : $A=\{0,1\}$

হামিং ওজন (ফ্রেডকিন গেট দ্বারা উত্পাদিত) সংরক্ষণের ক্রম অনুমতিগুলির ক্লোন। তাহলে উল্লেখ করে অন্তর্ভুক্তি মধ্যে , এই একাধিক বিন্যাসন দ্বারা সম্পত্তি চিহ্নিত করা হয় $w$ $\{0,1\}$ $\N$ যেখানে, এবং আমিলিখি।
$y = f (x) ⟹ \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}),$ $y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$ $f\in\sym(A^n)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$
মন্তব্যে উল্লিখিত হামিং ওজন মডিউল ফিক্স সংরক্ষণের অনুমতিগুলির মাস্টার ক্লোন । এই উপরের মতো একই সূত্র দ্বারা চিহ্নিত করা, যদি আমরা ব্যাখ্যা থেকে একটি ফাংশন হিসাবে আবর্তনশীল গ্রুপে , এবং সমষ্টি গনা আছে। $m$ $w$ $\{0,1\}$ $C(m)$
অ্যাফাইন অনুমতিগুলির মাস্টার ক্লোন , , (সিএনওটি দ্বারা উত্পন্ন) generated একটি সহজেই পরীক্ষা করে (বা পোস্ট কেস থেকে জানে) যে একক আউটপুট ফাংশন এফাইন হয় যদি এটি সম্পর্কটি সংরক্ষণ করে $f(x)=Mx\oplus b$ $M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$ $b\in\mathbb F_2^n$ $\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$ $x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$ $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$
$w (x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}) = x^{1} \oplus x^{2} \oplus x^{3} \oplus x^{4},$ $w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$ $f\in\sym(A^n)$ $y^{1} = f (x^{1}) \land \dots \land y^{4} = f (x^{4}) ⟹ {max}_{i = 1}^{n} w (x_{i}^{1}, \dots, x_{i}^{4}) = {max}_{i = 1}^{n} w (y_{i}^{1}, \dots, y_{i}^{4}),$ $y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$ $(\{0,1\},0,\max)$

সাধারণভাবে, একটি ওজন ফাংশন হ'ল ম্যাপিং , যেখানে , এবং একটি পরিবর্তনীয় মনোয়েড। একজন মাস্টার ওজন ফাংশন এক সব তির্যক মানচিত্র যে -tuples , , এর বিপরীত উপাদান । আসুন সমস্ত ওজন ফাংশনগুলির শ্রেণি বোঝায় এবং মাস্টার ওজন ফাংশন। $w\colon A^k\to M$ $k\in\N$ $M$ $k$ $(a,\dots,a)$ $a\in A$ $M$ $\cI$ $\cMI$

তাহলে , এবং একটি ওজন ফাংশন, আমরা বলতে যে একটি হল এর পরিবর্তিত , অথবা (mindlessly পরিভাষা ধার) যে একটি হল এর পলিমরফিজম , এবং লিখুন , যদি নিম্নলিখিত শর্তটি সকলের জন্য থাকে : $f\in\sym(A^n)$ $w\colon A^k\to M$ $w$ $f$ $f$ $w$ $f\pres w$ $(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

যদি , তবে $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$
$\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) .$ $\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$

এখানে, , , এবং একইভাবে জন্য । অন্য কথায়, যদি (বরং বা তার সমান্তরাল এক্সটেনশন ) এর সমষ্টি অপরিবর্তিত তার আর্গুমেন্ট -weights। $x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$ $x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$ $y$ $f\pres w$ $f$ $(A^k)^n$ $w$

সম্পর্ক মধ্যে এবং (অথবা ) একাধিক বিন্যাসন সেট মধ্যে একটি গ্যালোয়া সংযোগ সংঘটিত , এবং ওজন ফাংশন শ্রেণীর : স্বাভাবিক ভাবেই thus এবং এইভাবে যথাক্রমে বদ্ধ সেটগুলির সম্পূর্ণ সেটগুলি এবং (মাস্টার) ওজন ফাংশনগুলির বদ্ধ ক্লাসগুলির মধ্যে যথাক্রমে দ্বৈত আইসোমরফিজম। আমরা সঠিক পথে রয়েছি তা দেখতে, আমরা পর্যবেক্ষণ করেছি যে বন্ধের ক্রম সেটগুলি সত্যই ক্লোনস: $\pres$ $\cP$ $\cI$ $\cMI$ $\cC\subseteq\cP$ $\cD\subseteq\cI$

\begin{aligned} Pol (D) & = {f \in P : \forall w \in D (f ∥ w)}, \\ {Inv}^{*} (C) & = {w \in W : \forall f \in C (f ∥ w)}, \\ {MInv}^{*} (C) & = M W \cap {Inv}^{*} (C), \end{aligned}

$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$

: যদি , তবে হল একটি ক্রম ক্লোন। যদি , তবে একটি মাস্টার ক্লোন। $\cD\subseteq\cI$ $\pol(\cD)$ $\cD\subseteq\cMI$ $\pol(\cD)$

প্রুফ: প্রথম দৃ more়তা কম-বেশি সুস্পষ্ট। দ্বিতীয়টির জন্য, , এটিকে কন্ডিশন 4 এর মতো হতে দিন যাতে , এবং সংজ্ঞা অনুসারে থাকুক । রাখুন , , এবং । তারপর বোঝা যাইহোক, মধ্যে বিপরীত হয় যেমন একটি মাস্টার ওজন ফাংশন, অত $w\in\cD$ $f,g,a$ $f\pres w$ $(x_i^j),(y_i^j)$ $g\pres w$ $\bar x^j=(x^j,a)$ $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$ $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$ $f\pres w$

\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{x}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{y}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} .

$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$

u_{i}

$u_i$

M

$M$

w

$w$

\begin{matrix} QED & \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$

আমরা আরও এগিয়ে যাওয়ার আগে আমাদের একটি সমস্যা সমাধান করতে হবে: মনোয়েডগুলি বিশাল হতে পারে , সুতরাং এই ফর্মটির আক্রমণকারীদের যথার্থই বেহুদা বিমূর্ত বাজে কথা বলে সন্দেহ করা যেতে পারে।

প্রথমে একটি ওজন ফাংশন , আমরা ধরে নিতে পারি যে দ্বারা উত্পাদিত হয়েছে (এবং মাস্টার কেসে তির্যক উপাদানগুলির চিত্রের সংযোজন বিপরীত দ্বারা), অন্যান্য উপাদান হিসাবে ছবিতে প্রবেশ করবেন না। বিশেষ করে, হয় finitely উত্পন্ন । দ্বিতীয়ত, সর্বজনীন বীজগণিতের সাধারণ ফলাফল অনুসারে, আমরা সাব-ডাইরেক্ট প্রোডাক্ট as হিসাবে লিখতে যেখানে প্রতিটি এবং প্রোডাকশন প্রোজেকশনের মাধ্যমে একটি ভাগ $w\colon A^k\to M$ $M$ $w(A^k)$ $M$ $M$ $M$

M \subseteq \prod_{i \in I} M_{i},

$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$

M_{i}

$M_i$

M_{i}

$M_i$

M

$M$

i

$i$

π_{i}

$\pi_i$ ; বিশেষত, এটি এখনও একটি চূড়ান্তভাবে উত্পন্ন যাতায়াত মনোয়েড। মাল'সেভের ফলস্বরূপ, fg পরোক্ষভাবে অপ্রত্যাশিত কমুটিভেটিভ মনোয়েডস (বা আধা গ্রুপ) আসলে সীমাবদ্ধ । ম্যাপিং আবার একটি ওজন ফাংশন, যদি মাস্টার ছিল, এবং এটি দেখতে সহজ যে সুতরাং, আমরা সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই ওজনের ফাংশনগুলিতে মনোযোগ সীমাবদ্ধ করতে পারি , যেখানে সীমাবদ্ধ এবং পরোক্ষভাবে অপ্রতিরোধ্য। আসুন জাতীয় ওজন ফাংশনগুলির শ্রেণি হন, এবং

w_{i} = π_{i} \circ w : A^{k} \to M_{i}

$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$

w

$w$

Pol (w) = ⋂_{i \in I} Pol (w_{i}) .

$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$

w : A^{k} \to M

$w\colon A^k\to M$

M

$M$

F W

$\mathcal{FW}$

\begin{aligned} Inv (C) & = F W \cap {Inv}^{*} (C), \\ MInv (C) & = F W \cap {MInv}^{*} (C) . \end{aligned}

$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$ সীমাবদ্ধ পরোক্ষভাবে অপ্রত্যাশিত কমিটিকেটিভ মনোয়েডগুলির উদাহরণ হ'ল চক্রীয় গোষ্ঠী , এবং ছাঁটাইযুক্ত সংযোজন মনোয়েড । সাধারণ কেস আরও জটিল, তবুও তাদের কাঠামো সম্পর্কে অনেকে অনেক কিছু বলতে পারেন: একটি নির্দিষ্টভাবে একটি এর বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন এবং কিছু বৈশিষ্ট্য সহ একটি সীমাবদ্ধ নীলকেন্দ্রিক হিসাবে লিখতে পারেন । বিশদ জন্য গ্রিললেট দেখুন ।

C (p^{d})

$C(p^d)$

({0, \dots, d}, 0, min {d, x + y})

$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$

C (p^{d})

$C(p^d)$

এখন আমরা এই পোস্টের মূল পয়েন্টের জন্য প্রস্তুত:

উপপাদ্য: সীমাবদ্ধ প্রত্যক্ষভাবে অপ্রত্যাশিত (মাস্টার) ওজন ফাংশনগুলিতে গ্যালাইয়ের সংযোগে বন্ধের সেটগুলি হ'ল অনুমতি ক্রোনগুলি (মাস্টার ক্লোনস, রেস।) Exactly

অর্থাৎ যদি , তারপর বিন্যাস দ্বারা উত্পন্ন ক্লোন হয় এবং মাস্টার দ্বারা উত্পন্ন ক্লোন হয় । $\cC\subseteq\cP$ $\cC$ $\pol(\inv(\cC))$ $\cC$ $\pol(\minv(\cC))$

প্রমাণ: পূর্ববর্তী আলোচনার বিবেচনায়, এটি দেখানোর পক্ষে যথেষ্ট যে যদি একটি ক্লোন হয় এবং , সেখানে একটি এর যেমন যে , এবং গ্রহণ করতে পারেন একটি মাস্টার ওজন ফাংশন হবে যদি একটি মাস্টার ক্লোন নয়। $\cC$ $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$ $w\colon A^k\to M$ $\cC$ $f\nparallel w$ $w$ $\cC$

রাখুন , এবং দিন বিনামূল্যে monoid দ্বারা উত্পন্ন হতে (বর্ণমালা ধরে অর্থাত, সসীম শব্দ )। আমরা একটি সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত উপর দ্বারা (অসম দৈর্ঘ্যের শব্দ দ্বারা কখনোই সম্পর্কিত হয় ।) প্রতিটি যেহেতু একটি গোষ্ঠী, একটি সমতুল্য সম্পর্ক (আসলে, দৈর্ঘ্য শব্দের সাথে এর সীমাবদ্ধতা অভিনয়ের কক্ষপথ সমতুল্য সম্পর্ক সুস্পষ্ট উপায়ে $k=|A|^n$ $F$ $A^k$ $A^k$ $\sim$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists g \in C \cap Sym (A^{m}) \forall j = 1, \dots, k g (x_{1}^{j}, \dots, x_{m}^{j}) = (y_{1}^{j}, \dots, y_{m}^{j}) .

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$

\sim

$\sim$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

\sim

$\sim$

m

$m$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

A^{m k}

$A^{mk}$ )। তদুপরি,

\sim

$\sim$ : যদি এবং সাক্ষী দেয় যে এবং respectively যথাক্রমে, তারপর সাক্ষী ।

g \in C \cap Sym (A^{m})

$g\in\cC\cap\sym(A^m)$

g^{'} \in Sym (A^{m^{'}})

$g'\in\sym(A^{m'})$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m}

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$

x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$

g \times g^{'} \in C \cap Sym (A^{m + m^{'}})

$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$

x_{1} \dots x_{m} x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1} \dots y_{m} y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

সুতরাং, আমরা গঠন করতে পারেন ভাগফল monoid । অদলবদলের অনুমতি প্রত্যক্ষিত হয়েছে যে প্রতি জন্য ; এটি হ'ল যাতায়াতের জেনারেটর , সুতরাং পরিবর্তনশীল। একটি ওজন ফাংশন নির্ধারণ প্রাকৃতিক অন্তর্ভুক্তি হিসাবে মধ্যে ভাগফল মানচিত্র রচনা করেছেন। $M=F/{\sim}$ $xy\sim yx$ $x,y\in A^k$ $M$ $M$ $w\colon A^k\to M$ $A^k$ $F$

এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে : সত্যই, যদি , এবং , তারপরে এর সংজ্ঞা দ্বারা (সংজ্ঞা হিসেবে স্বরলিপি ব্যবহার )। অন্যদিকে, ধরে নিন । আসুন , একটি গণনা হতে পারে , এবং জন্য দিন আবার সংজ্ঞা অনুসারে হবে । তারপর $\cC\subseteq\pol(w)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

\sum_{i = 1}^{m} w (x_{i}) = x_{1} \dots x_{m} / \sim = y_{1} \dots y_{m} / \sim = \sum_{i = 1}^{m} w (y_{i})

$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$

\sim

$\sim$

∥

$\pres$

f ∥ w

$f\pres w$

{a^{j} : j = 1, \dots, k}

$\{a^j:j=1,\dots,k\}$

A^{n}

$A^n$

b^{j} = f (a^{j})

$b^j=f(a^j)$

a_{i}, b_{i} \in A^{k}

$a_i,b_i\in A^k$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

∥

$\pres$

a_{1} \dots a_{n} / \sim = \sum_{i = 1}^{n} w (a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (b_{i}) = b_{1} \dots b_{n} / \sim,

$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$ সুতরাং সংজ্ঞা দ্বারা এর , অস্তিত্ব আছে যেমন যে প্রত্যেকের জন্য । যাইহোক, নিষ্কাশন , এর মানে , অর্থাত্, , একটি অসঙ্গতি। এটি অনুমোদনের ক্লোনগুলির প্রমাণ পূর্ণ করে।

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{n})

$g\in\cC\cap\sym(A^n)$

g (a^{j}) = b^{j} = f (a^{j})

$g(a^j)=b^j=f(a^j)$

j

$j$

a^{j}

$a^j$

A^{n}

$A^n$

g = f

$g=f$

f \in C

$f\in\cC$

এমনকি যদি একটি মাস্টার ক্লোন হয়, প্রয়োজন একটি মাস্টার ওজন ফাংশন নাও হতে, আসলে, তির্যক উপাদানের এমনকি অগত্যা মধ্যে cancellative হয় , অত আমরা এটি ঠিক করতে হবে। প্রত্যেকের জন্য যাক এবং একটি নতুন সমানতা সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত উপর দ্বারা যাতায়াতকারী মডুলো উপাদানগুলি ব্যবহার করে , এটি দেখানো সহজ যে আবার একত্রিত হয়, সুতরাং আমরা একঘেয়েমি তৈরি করতে পারি $\cC$ $w$ $M$ $c\in A$ $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$ $\approx$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \approx y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists c_{1}, \dots, c_{r} \in A x_{1} \dots x_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} \sim y_{1} \dots y_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} .

$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$

A^{k}

$A^k$

\sim

$\sim$

\approx

$\approx$

M^{'} = F / \approx

$M'=F/{\approx}$ , এবং একটি ওজন ফাংশন । যেহেতু প্রসারিত হয় , পরিবর্তনশীল, এবং একটি ভাগফল ; বিশেষত, । অন্যদিকে, যদি , তবে উপরের মত একই যুক্তি together সংজ্ঞা সংজ্ঞা সহ একটি , এবং যেমন যে সবার জন্য , এইভাবে যেমন একটি মাস্টার ক্লোন, একটি বৈপরীত্য।

w^{'} : A^{k} \to M^{'}

$w'\colon A^k\to M'$

\approx

$\approx$

\sim

$\sim$

M^{'}

$M'$

M

$M$

C \subseteq Pol (w^{'})

$\cC\subseteq\pol(w')$

f ∥ w^{'}

$f\pres w'$

\approx

$\approx$

g \in C \cap Sym (A^{n + r})

$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$

c_{1}, \dots, c_{r} \in A

$c_1,\dots,c_r\in A$

g (x, c_{1}, \dots, c_{r}) = (f (x), c_{1}, \dots, c_{r})

$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$

x \in A^{n}

$x\in A^n$

f \in C

$f\in\cC$

C

$\cC$

সংজ্ঞা নিশ্চিত করে যে সবার জন্য , এবং । এটি অনুসরণ করে যে উপাদানগুলি বাতিল হয় । এটি একটি সহজ সুপরিচিত সত্য যে কোনও যাতায়াত মনোয়েড অন্য একটিতে এম্বেড করা যেতে পারে যেখানে সমস্ত বাতিল উপাদানগুলি অবিচ্ছিন্ন হয়ে যায়। সাথে এম্বেডিংয়ের সংমিশ্রণটি হ'ল মাস্টার ওজন ফাংশন , এবং , সুতরাং । Qed $\approx$

x c^{*} \approx y c^{*} ⟹ x \approx y

$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$

x, y \in F

$x,y\in F$

c \in A

$c\in A$

c^{*} / \approx = w^{'} (c^{*})

$c^*/{\approx}=w'(c^*)$

M^{'}

$M'$

w^{'}

$w'$

w^{″}

$w''$

Pol (w^{'}) = Pol (w^{″})

$\pol(w')=\pol(w'')$

w^{″} \in {MInv}^{*} (C) ∖ {MInv}^{*} (f)

$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$

সম্পাদনা: উপরের ক্লোন-কোকলোনের দ্বৈতকরণের একটি সাধারণীকরণ এখন লেখা আছে

[1] ই Jeřábek, মাল্টিপল-আউটপুট অপারেশনের জন্য গ্যালোয়া সংযোগ , উদ্ভাবনের, 2016, arXiv: 1612,04353 [math.LO] ।

— এমিল জেবেক মনিকাকে সমর্থন করেন
সূত্র

এটি লেখার জন্য যে প্রচেষ্টাটি গ্রহণ করা উচিত ছিল তার জন্য অনেক ধন্যবাদ! এটি হজম করতে আমার সময় লাগবে, কারণ ক্লোন এবং সর্বজনীন বীজগণিতের ভাষাটি আমার পক্ষে যথেষ্ট বিমূর্ত (সত্যই, আমি যখন অতীতে এই সাহিত্যটি পড়ার চেষ্টা করেছি তখন তা হোঁচট খেয়েছিল)। তবে আমরা ক্লোনগুলি কংক্রিটলিমে কাজ করার কারণে এটি জেনে রাখা কার্যকর যে এগুলি সমস্তই হানাদারদের দ্বারা চিহ্নিত করা হবে, যেমনটি আমরা জানতাম সমস্ত উদাহরণ। (প্রসঙ্গক্রমে, ফ্রেডকিন + যেমন কোনও আক্রমণকারী দ্বারা চিহ্নিত নয়, আমি অনুমান করি যে আমরা জোড়া ইনপুট দেখি এবং বলি যে প্রতিটি রূপান্তর তাদের পার্টির যোগফলকে সংরক্ষণ করে?)

— স্কট অ্যারনসন

ইতিমধ্যে, আমার কাছে কংক্রিট প্রশ্নে রিপোর্ট করার অগ্রগতি আছে। ফ্রেডকিন গেটের উপরে জ্যাকেটগুলির সমস্ত পয়েন্টগুলিকে শ্রেণিবদ্ধ করতে সক্ষম হয়েছি: একমাত্র সম্ভাবনা হ'ল যে রূপান্তরগুলি হ্যামিং ওজন মোড কে যে কোনও কে-র জন্য সংরক্ষণ করে, হ্যামিং ওজন মোড 2 সংরক্ষণ করে বা ফ্লিপ করে এমন রূপান্তরগুলি ফ্রেডকিন + নয়), এবং সমস্ত রূপান্তর। আমি CNOTNOT এর উপরের জ্যাকেটগুলিতে সমস্ত পয়েন্টগুলিও চিহ্নিত করতে পারি: এগুলি কেবলমাত্র আমি ওপি-তে তালিকাভুক্ত (সিএনটনট + নন, সিএনওটি, ফ্রেডকিন + নটনট, ফ্রেডকিন + নট, সবকিছু) নয়।

— স্কট অ্যারনসন

হ্যাঁ, ফ্রেডকিন + নট এর জন্য আমরা , । আপডেটের জন্য ধন্যবাদ, এটি খুব ভাল লাগছে।

M = C (2)

$M=C(2)$

w (x, y) = x \oplus y

$w(x,y)=x\oplus y$

— এমিল জেবেক

আশা অবশ্যই হ'ল আক্রমণকারীরা প্রমাণের বাইরে যা পড়ে তার চেয়ে অনেক ছোট অনুশীলনে রয়েছে। (পোস্টের ক্ষেত্রে, আমি বিশ্বাস করি যে সবচেয়ে ঘটতে পারে তা হল is )) গ্যালোয়িস সংযোগটি সরাসরি কংক্রিটের শ্রেণিবদ্ধকরণে সহায়তা করে না, এটি আরও একটি পদ্ধতিগত সরঞ্জাম। প্রথমত, কোনও অজানা শ্রেণীর সন্ধান করা যদি সহজেই জানা যায় তবে পূর্বে অজ্ঞাত শ্রেণীর সন্ধান করা আরও সহজ হতে পারে। দ্বিতীয়ত, পোস্টের শ্রেণিবিন্যাসের প্রমাণের একটি সাধারণ পদক্ষেপ নীচের মত দেখায়। আমরা একটি বর্গ পেয়েছিলাম জাফরি মাঝখানে কোথাও, এবং আমরা এটি উপরে শ্রেণীর বর্ণনা করতে চাই। ...

k \leq n + 1

$k\le n+1$

C

$C$

— এমিল জেবেক

... সম্পর্কগুলি দ্বারা নির্ধারিত হয় । তারপরে যথাযথ প্রসারণে একটি থাকতে হবে যা কিছু সংরক্ষণ করে না এবং সাধারণত একটি সংখ্যক ভেরিয়েবলের একটি নির্দিষ্ট ফাংশনে রচনা ইত্যাদি দ্বারা চালিত করতে পারে । এইভাবে, একটি তালিকা যে এর উপরে প্রতিটি ক্লাসে কিছু জন্য by দ্বারা উত্পাদিত ক্লাস থাকে এবং কেউ তার উপরে ল্যাটিসের অংশে যেতে পারে । এটি সাধারণ চিঠিপত্রের প্রয়োজন হয় না, তবে নির্দিষ্ট ক্লাসের আক্রমণকারীদের জেনে একটি মুখোমুখি হয়।

C

$C$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\dots,R_k$

C

$C$

f

$f$

R_{i}

$R_i$

f

$f$

f_{1}, \dots, f_{c}

$f_1,\dots,f_c$

C

$C$

C \cup {f_{i}}

$C\cup\{f_i\}$

i

$i$

— এমিল জেবেক