লিপটনের সবচেয়ে প্রভাবশালী ফলাফল

Question

রিচার্ড জে লিপটনকে "নতুন ধারণা এবং কৌশলগুলি প্রবর্তনের জন্য" 2014 এর নথ পুরস্কারের বিজয়ী হিসাবে নির্বাচিত করা হয়েছে ।

লিপটন যে নতুন নতুন ধারণা এবং কৌশলগুলি বিকাশ করেছেন তা আপনার মনে কী?

বিঃদ্রঃ. এই প্রশ্নটি সম্প্রদায়ের উইকি হয়ে উঠবে, দয়া করে উত্তর অনুসারে এরকম একটি ধারণা, কৌশল বা ফলাফল দিন।

Comments

রিচার্ড জে.লিপটনের অভিনন্দন! :-)

— মারজিও ডি বায়াসি

আরজেলিপটন ব্লগ (y 5 বছর পুরানো) তার বই / গবেষণা ইত্যাদির লিঙ্কগুলির সাথে

— ভিজেএন

যদি কেউ মাল্টিপার্টি যোগাযোগ জটিলতা এবং কপাল মডেলটিতে নম্বর সম্পর্কে কিছু লিখেন তবে এটি চমৎকার হবে। আমার কাছে বর্তমানে সময় নেই।

— সাশো নিকোলভ

নথ প্রাইজ লেকচারের এখানে একটি লিঙ্ক রয়েছে: techtalks.tv/talks/…

— মাইকেল ওয়েহার

দুটি কাগজপত্র এখনো এখানে উল্লেখ করা উভয় গুগল স্কলার উপর 500 উদ্ধৃতির আছে আছেন: scholar.google.com/... (Aleliunas এট, L- বনাম এন এল একটি গুরুত্বপূর্ণ জটিলতা কাগজে।) এবং scholar.google.com/... (ডি মিলো এট আল।, কেন প্রোগ্রামগুলি সঠিক হওয়ার আনুষ্ঠানিক প্রমাণের চেয়ে পরীক্ষা-নিরীক্ষা সম্ভবত উত্তম - বিতর্কিত!)

— অ্যান্ড্রেস সালামন

Answer 1

প্ল্যানার পৃথককারী উপপাদ্য বলে যে, কোনো প্ল্যানার মধ্যে -vertex গ্রাফ জি সেখানে একটি সেট বিদ্যমান হে ( $n$$G$উল্টানো যাদের সরানো গ্রাফটি কমপক্ষে দুটি মোটামুটি সুষম উপাদানগুলিতে সংযোগ বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়। তদ্ব্যতীত, এই ধরনের একটি সেট লিনিয়ার সময় পাওয়া যাবে। এই (টাইট) ফলাফল,লিপটন এবং টারজন দ্বারা প্রমাণিত(উঙ্গারেরদ্বারা পূর্ববর্তী ফলাফলের উন্নতি) প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে অ্যালগোরিদম ডিজাইনের একটি শক্তিশালী সরঞ্জাম। এটি এনপি-হার্ড সমস্যা এবং উন্নত বহু-কালীন সময়ের আনুমানিক আলগোরিদিমগুলির জন্য অনেকগুলি যথাযথ সুবেস এক্সনোশিয়াল টাইম অ্যালগরিদম দেয়। উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাটিদেখানোঅসংখ্য অ্যাপ্লিকেশনগুলি অন্বেষণ করার জন্য একটি ভাল সূচনা স্থান দেয়। ১৯৮০ সালে লিপটন ও টারজান বেশ কয়েকটি অ্যাপ্লিকেশন সম্পর্কিত বিবরণ সহএকটিপ্রাথমিক সমীক্ষালিখেছিলেন।$O(\sqrt{n})$

Comments

এই সমস্ত অ্যালগরিদমগুলির প্রায় সমস্তগুলি পচনের কৌশলগুলির ভিত্তিতে যা প্ল্যানার বিভাজক নয়। সেই বিভাজনকারী উপপাদকের প্রমানের প্রচুর প্রকরণ রয়েছে, আমাদের সেই সমস্ত প্রমাণ উদ্ভাবককে ধন্যবাদ জানানো উচিত। আপনি বিভাজক সম্পর্কে যেভাবে কথা বলেছেন তার মধ্যে আমাদের সেই ব্যক্তিকে ধন্যবাদ বলা উচিত যিনি প্রথম সংখ্যাটি পেয়েছিলেন (তারা এমনকি প্রথমে ছোট প্ল্যানার বিভাজকও খুঁজে পাননি, তারা কেবল পুরানোগুলির উন্নতি করেছেন)। নোট করুন যে পচনগুলিতে আমাদের আরও বিশেষ ধরণের বিভাজক প্রয়োজন। রবার্টসন এবং সিমুরের কাজ দ্বারা প্রাপ্ত পচন কৌশলগুলি সাধারণত যা বঞ্চিত নাবালিকাদেরও কাজ করে।

— Saeed

@ সাeedদ যথারীতি আপনি আশ্চর্যজনকভাবে যুদ্ধাত্মক শোনেন। এটি সম্প্রদায়ের উইকি, আপনার উপযুক্ত হিসাবে উত্তরটি উন্নত করতে দ্বিধা বোধ করুন আমি যোগ করেছি যে তারা ছোট প্ল্যানার বিভাজক আবিষ্কার করেনি। যতদূর আমি সচেতন, প্রতিটি আবেদনের জন্য আমি উল্লেখ করেছি যে প্ল্যানার বিভাজক উপপাদ্যটির মাধ্যমে কাজ করে (এবং বেশ কয়েকটি উদাহরণ লিপটন এবং টারজানের 1980 এর সমীক্ষায় পাওয়া যেতে পারে)। এর অর্থ এই নয় যে অন্যান্য সরঞ্জামের প্রয়োজন নেই বা অন্য পদ্ধতি বিদ্যমান নেই। লিটন এবং টারজানের কাগজটি 10+ বছর পূর্বে অ্যালন, রবার্টসন এবং সিমুরের ফলাফলের পূর্বাভাস দেয়।

— সাশো নিকোলভ

@ সাeedদ এছাড়াও আমি বিশ্বাস করতে পারি না আপনি কোনও সরল মুখের সাথে পরামর্শ দিতে চাই যে প্ল্যানার বিভাজক তত্ত্বটি প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি তৈরির চেয়ে এই অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে আর কোনও উল্লেখযোগ্য ভূমিকা রাখে না। এটা হাস্যকর!

— সাশো নিকোলভ

যাই হোক না কেন, আরও গঠনমূলক হওয়ার চেষ্টা করা যাক। গ্রাফ মাইনার্স আমি 1983 সালের, এবং রবার্টসন এবং সিমুরের প্রথম কাগজ একসাথে, সুতরাং আমি আপনার বক্তব্যটি এখানে দেখতে পাচ্ছি না। যাই হোক না কেন আমি অস্বীকার করি না যে এই ধারণাগুলি প্রায় আগে ছিল: উঙ্গারের ফলাফল 1950 এর দশক থেকে। মুল বক্তব্যটি হ'ল, কড়া বেঁধে প্রমাণ দেওয়া একটি যুগান্তকারী ফলাফল ছিল এবং এখানে অনেকগুলি সঠিক এবং আনুমানিক আলগোরিদিম রয়েছে যেগুলি কেবল লিটন এবং টার্জনের উপপাদ্য বা পচনের প্রয়োজন যা এটি একটি কালো বাক্স হিসাবে ব্যবহার করে। ১৯৮০ সালের সমীক্ষা ইতিমধ্যে বেশ কয়েকটি উদাহরণ দেয় (যা গ্রাফ মাইনার্স I এর আগে রয়েছে)।

— সাশো নিকোলভ

তাদের ফলাফল খুব সুন্দর (অন্যান্য অনেক দুর্দান্ত ফলাফলের মতো) তবে এই উত্তরের শব্দটি এমনভাবে রয়েছে যাতে এটি অত্যুক্তি করে। উদাহরণস্বরূপ, প্ল্যানার বিভাজকগুলি প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে কঠিন সমস্যার মোকাবিলার জন্য সত্যিকারের প্রধান সরঞ্জাম নয়, কমপক্ষে আজকাল, যখন আরও সাধারণ দৃশ্যের জন্য প্রচুর পচনের কৌশল রয়েছে। এছাড়াও আমি জোর দিয়ে বলতে চাই যে তাদের কাজটি দুর্দান্ত থাকাকালীন তাদের সময়ে (+ -5 y) তেমন দুর্দান্ত নয়। এই দুটি মন্তব্যে আমি যা বলেছি তা কেবলমাত্র আমার আগের শব্দগুলি পুনরাবৃত্তি করছে কারণ আপনি এবং কমপক্ষে 4 জন ব্যক্তিগত আক্রমণ করতে চান।

— Saeed

Answer 2

কার্প-লিপটন উপপাদ্যটিতে বলা হয়েছে যে পলিনোমিয়াল হায়ারার্কিটি দ্বিতীয় স্তরে পতিতনা হলে -তে বহুপক্ষীয় আকারের বুলিয়ান সার্কিট থাকতে পারে না।$\mathsf{NP}$

জটিলতা তত্ত্বের জন্য এই উপপাদ্যের দুটি ইঙ্গিত:

• সম্ভবত কোনও বহুবর্ষীয়-আকারের বুলিয়ান সার্কিট নেই; সার্কিট মাপের নিম্ন সীমানা প্রমাণ করা জটিলতা ক্লাসগুলি পৃথক করার জন্য একটি সম্ভাব্য পন্থা।$\mathsf{NP}$
• জটিলতা শ্রেণীর বিভাজন (উদাহরণস্বরূপ কান্নানের উপপাদ্য) প্রমাণ করার জন্য বেশ কয়েকটি ফলাফল এই উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে।

Answer 3

Random Self-Reducibility of the Permanent. Lipton showed that if there exist an algorithm that correctly computes the permanent of $1-1/(3n)$ fraction of all $\mathbb{F}^{n\times n}$, where $\mathbb{F}$ is a finite field of size at least $3n$, then this algorithm can be used as a black box to compute the permanent of any matrix with high probability.

মূল ধারণাটি হ'ল স্থায়ী হ'ল নিম্ন-ডিগ্রি বহুবর্ষীয়, সুতরাং অবিচ্ছিন্ন অ্যাফাইন ফাংশন সাথে এর গঠনটি নিম্ন-ডিগ্রি ইউনিভরিয়েট বহুভিত্তিক ( এক্স-এ ) এবং আন্তঃসংক্ষেপের মাধ্যমে অল্প সংখ্যক মান থেকেই ঠিক শিখতে পারে । আপনি একটি র্যান্ডম বাছাই করতে পারেন বি যাতে রচনা কোন একটি র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স স্থায়ী হিসাবে বিতরণ করা হয় এক্স । এ এক্স = 0 univariate বহুপদী শুধু স্থায়ী একটি । বিশদটি অরোড়া বারাকের অধ্যায় 8 এ পাওয়া যাবে ।$A + xB$$x$$B$$x$$x = 0$$A$

This algebraic approach has been extremely influential in complexity theory. Lipton's ideas led eventually to the proof of the IP=PSPACE theorem, the proof of the PCP theorem, and to results on local error-correcting codes.

Answer 4

I'm not 100% sure if the explanation below is historically accurate. If it isn't, please feel free to edit or remove.

Mutation testing was invented by Lipton. Mutation testing can be seen as a way to measure the quality or effectiveness of a test suite. The key idea is to inject faults into the program to be tested (i.e. to mutate the program), preferably the kinds of faults a human programmer is likely to make, and see if the test suite finds the introduced faults. A typical example of the kind of fault mutation testing would introduce could be to replace x > 0 by x < 0, or replace x by x+1 or x-1. The fraction of faults caught by the test suite is the "mutation adequacy score" of a test suite. Speaking very loosely, one can think of this as a Monte-Carlo method for computing the mutation adequacy score.

আরও বিমূর্তভাবে বলা যেতে পারে যে মিউটেশন টেস্টিং একটি প্রোগ্রাম এবং এর টেস্ট স্যুটগুলির মধ্যে একটি প্রতিসাম্য বা দ্বৈততা সামনে নিয়ে আসে: কেবলমাত্র পরীক্ষার স্যুটই কোনও প্রোগ্রামের নির্ভুলতা সম্পর্কে আরও আত্মবিশ্বাসী হয়ে উঠতে পারে না, তবে বিপরীতভাবে, একটি প্রোগ্রাম হতে পারে একটি পরীক্ষার স্যুটটির গুণমান সম্পর্কে আত্মবিশ্বাস অর্জন করতে ব্যবহৃত হয়েছিল।

এই দ্বৈততার আলোকে, মিউটেশন টেস্টিংটিও ত্রুটিযুক্তভাবে ফল্ট ইঞ্জেকশনটির কাছাকাছি । উভয় প্রযুক্তিগতভাবে সমান তবে বিভিন্ন উদ্দেশ্য রয়েছে। মিউটেশন টেস্টিং পরীক্ষার স্যুটটির মান পরিমাপ করতে চায়, অন্যদিকে ত্রুটি ইনজেকশনটি প্রোগ্রামের মানের, সাধারণত এর ত্রুটি পরিচালনার গুণমানকে প্রতিষ্ঠিত করতে চায়।

সম্প্রতি, মিউটেশন টেস্টিংয়ের ধারণাগুলি যৌক্তিক তত্ত্বগুলি (আনুষ্ঠানিককরণ) পরীক্ষা করার জন্য ব্যবহৃত হয়েছে। (৪) এর বিমূর্ত চিত্রটি ফুটিয়ে তুলতে: কোন উপপাদ্য প্রবাদে তুচ্ছ-তুচ্ছ আনুষ্ঠানিকতা বিকাশ করার সময়, যথেষ্ট পরিমাণ সময় "ডিবাগিং" স্পেসিফিকেশন এবং উপপাদ্যগুলিতে ব্যয় করা হয়। সাধারণত, ভুল স্পেসিফিকেশন বা উপপাদাগুলি ব্যর্থ প্রমাণ প্রয়াসের সময় আবিষ্কৃত হয়। এটি ডিবাগিংয়ের একটি ব্যয়বহুল ফর্ম। সুতরাং একটি প্রমাণ শুরু করার আগে অনুমানগুলি পরীক্ষা করা প্রায়শই দরকারী। এটি করার একটি সম্ভাব্য উপায় হ'ল অনুমানের মুক্ত ভেরিয়েবলগুলিতে এলোমেলো মান নির্ধারণ করা এবং তারপরে এটি মূল্যায়ন। (৪) ব্যবহৃত টেস্ট-কেস জেনারেটরের গুণমান পরীক্ষা করতে মিউটেশনগুলি ব্যবহার করে।

ইতিহাস । (১) থেকে: রিচার্ড লিপটনের একটি শিক্ষার্থীর গবেষণাপত্রে মিউটেশন টেস্টিংয়ের ইতিহাসটি ১৯ 1971১ সালের দিকে সনাক্ত করা যায় [...] লিপটন এট আল দ্বারা 1970 এর দশকের শেষের দিকে প্রকাশিত অন্যান্য গবেষণাপত্রগুলিতেও এই ক্ষেত্রের জন্ম চিহ্নিত করা যেতে পারে। (2) পাশাপাশি হ্যামলেট (3)।

1. মিউটেশন টেস্টিংয়ের সংগ্রহশালা: মিউটেশন টেস্টিং থিওরি ।

2. আরএ ডিমিলো, আরজে লিপটন, এফজি সাওয়ার্ড, টেস্ট ডেটা সিলেকশন সম্পর্কিত ইঙ্গিত: অনুশীলন প্রোগ্রামারটির জন্য সহায়তা ।

3. আরজি হ্যামলেট, একটি সংকলকের সহায়তার সাথে টেস্টিং প্রোগ্রাম ।

4. এস বার্গোফার, টি। নিপকো, ইসাবেলে / এইচএল-এ র্যান্ডম টেস্টিং। ।

Answer 5

Schwartz - Zippel - DeMillo-Lipton Lemma is a fundamental tool in arithmetic complexity: It basically states that if you want to know whether an arithmetic circuit represents the zero polynomial, all you need is to evaluate the circuit on one input. Then you'll obtain a nonzero value with good probability if the circuit does not represent the zero polynomial.

This is a particularly important lemma since no polynomial-time deterministic algorithm is known for this problem.

The lemma is usually known as Schwartz-Zippel Lemma. A history of this lemma can be found on Lipton's own blog.

Comments

As pointed out in a comment buried at the bottom of that blog post, it's worth mentioning that an important special case of this lemma goes back to at least 1922, when it was proven by Ore (see "Finite Fields" by Lidl and Niederreiter, Theorem 6.13 and chapter notes).

— Ashley Montanaro

Answer 6

Coverability in vector addition systems is EXPSPACE-hard: in R. J. Lipton, The reachability problem requires exponential space, Research report 63, Yale University, 1976.

A vector addition system (VAS, equivalent to a Petri net) of dimension $d$ is defined as a pair $\langle v_0,A\rangle$ where $v_0$ is a vector of non-negative integers in $\mathbb{N}^d$ and $A$ is a finite set of vectors of integers included in $\mathbb{Z}^d$. A VAS defines a transition system over configurations in $\mathbb{N}^d$ where $v\to v'$ if there exists $u$ in $A$ such that $v'=v+u$ (note that no component of $v'$ can be negative). The coverability problem, given a VAS and a target vector $v$ in $\mathbb{N}^d$, asks whether there exists an execution $v_0\to v_1\to\cdots\to v_n$ of the VAS such that $v_n\geq v$ for the product ordering over $\mathbb{N}^d$, i.e. $v_n(i)\geq v(i)$ for all $1\leq i\leq d$. Combined with an EXPSPACE upper bound proven by C. Rackoff in 1978, Lipton's result shows the completeness for EXPSPACE.

This result, as recounted on Lipton's blog, still provides the best known lower bound on the (seemingly? much harder) reachability problem, where one requires instead $v_n=v$. Interestingly, it was proven before reachability was shown decidable. The lower bound and the technique employed to prove it have been reused countless times in relation with various classes of counter systems, and indirectly for other classes of systems or logics.

Answer 7

Multiparty communication complexity and the Number-on-Forehead model were introduced by Ashok K. Chandra, Merrick L. Furst and Richard J. Lipton in Multi-party Protocols, STOC 1983, doi:10.1145/800061.808737.

The multiparty model is a natural extension of Yao's two-party model of communication complexity, where Alice and Bob each have non-overlapping halves of the input bits, and want to communicate to compute a predetermined function of the whole input. However, extending the partition of the input bits to more parties is often not very interesting (for lower bounds, one can usually just consider the first two parties).

Instead, in the NOF model $k$ parties each know all except one number from a set of $k$ integers, with the number not known to the party notionally "displayed on their forehead" for the other parties to see. Nowadays the numbers are usually required to be non-negative integers represented using at most $n$ bits. The parties want to compute some pre-arranged Boolean function of all the numbers. The question is: for which functions can this be done efficiently?

It is always possible to just send $n$ bits (for instance, by the second party telling the first party the number on its forehead).

The paper gives a non-trivial but essentially optimal protocol for the function Exactly-$N$, which is true when the sum of the $k$ numbers is $N$. In particular, $k=3$ parties can determine Exactly-$N$ using $O(\sqrt{\log N})$ bits. Since $N \le k(2^n-1)$, this is $O(\sqrt{n})$ bits. The lower bound argument is Ramsey-theoretic, via a multidimensional form of Van Der Waerden's theorem.

The NOF model has been used in much subsequent work in circuit complexity: multiparty communication lower bounds naturally translate into circuit lower bounds. One classic example is the link made by Håstad and Goldmann in 1991 (doi:10.1007/BF01272517 between fixed-depth threshold circuits of polynomial size, and the multiparty NOF communication complexity of the Inner Product function: a nontrivial lower bound for IP with a more than logarithmic number of parties would yield circuit size lower bounds for TC$^0$.

In the original paper the multiparty model was linked to branching program lower bounds, yielding that any constant-space branching program for Exactly-$N$ requires superlinear length.

Comments

Looks very nice, thanks for following through on my suggestion.

— Sasho Nikolov