ভার্টেক্স সেটটিতে সমতুল্য সম্পর্কের সাথে গ্রাফ আইসোমরফিজম

একটি রঙিন গ্রাফ টিপল হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে $(G,c)$ কোথায় $G$ একটি গ্রাফ এবং $c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$ রঙ হয়। দুটি রঙিন গ্রাফ $(G,c)$ এবং $(H,d)$ আইসোমরফিজম উপস্থিত থাকলে আইসোমরফিক বলে থাকে $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ যেমন রঙ মানা হয়, অর্থাত্‍ $c(v) = d(\pi(v))$ সবার জন্য $v \in V(G)$ ।

এই ধারণাটি খুব কঠোর অর্থে রঙিন গ্রাফের আইসোমরফিজমকে ধারণ করে। আপনার একই অঞ্চলের দুটি রাজনৈতিক মানচিত্র রয়েছে সে ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন তবে তারা বিভিন্ন বর্ণ সেট ব্যবহার করে। যদি কেউ জিজ্ঞাসা করে যে তারা একই ফ্যাশনে রঙিন হয় তবে এটির অর্থ এটি বোঝা যাবে যে দুটি রঙের সেটগুলির মধ্যে বাইজিক ম্যাপিং রয়েছে কি না উভয় মানচিত্রের রঙ এই ম্যাপিংয়ের সাথে মিলে যায়। রঙিন গ্রাফকে টিপল হিসাবে বর্ণনা করে এই ধারণাটি আনুষ্ঠানিকভাবে তৈরি করা যেতে পারে $(G,\sim)$ কোথায় $\sim$ এর ভার্টেক্স সেটটিতে সমতুল্য সম্পর্ক $G$ । এরপরে আমরা এরকম দুটি গ্রাফ বলতে পারি $(G,\sim_1)$ এবং $(H,\sim_2)$ আইসোমরফিক থাকলে আইসোমরফিজ থাকে $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ যেমন সমস্ত জোড়া জন্য $v_1,v_2 \in V(G)$ এটা যে ধরে

v_{1} \sim_{1} v_{2} iff π (v_{1}) \sim_{2} π (v_{2})

$v_1 \sim_1 v_2 \text{ iff } \pi(v_1) \sim_2 \pi(v_2)$

আমার প্রশ্ন হ'ল এই ধারণাটি পূর্বে আর্ট ফাইন্ডিং ক্যানোনিকাল ফর্মগুলি অধ্যয়ন করা হয়েছিল এবং যদি তাই হয় তবে এটি কোন নামে পরিচিত?

terminology graph-isomorphism equivalence

— জন ডি।
সূত্র

স্বরলিপি ব্যবহার করবেন না দয়া করে "

=

$=$ "সাম্যতা সম্পর্ক ছাড়া অন্য যে কোনও কিছুর জন্য!

— ডেভিড রিচারবি

উত্তর:

আপনি যে সমস্যাটি বর্ণনা করেছেন তা অবশ্যই বিবেচনা করা হয়েছে (আমি মনে করি এটি গ্রেড স্কুলে আলোচনা হয়েছে, এবং সেই সময়ে এটি ইতিমধ্যে এর আগে অনেক আগে থেকেই আলোচনা হয়েছিল), যদিও আমি সাহিত্যের কোনও নির্দিষ্ট উল্লেখকে ইঙ্গিত করতে পারি না। সম্ভবত এটি নিম্নরূপিত গ্রাফ আইসোমরফিজমের সমতুল্য সমান কারণ, (এটি প্রৌণিক রূপগুলির জন্য এমনকি সত্য)। আপনি যে প্রশ্নটি EQ-GI বর্ণনা করেছেন তাকে কল করুন।

জিআই হ'ল ইকিউ-জিআই-এর বিশেষ বিশেষ ক্ষেত্র যেখানে প্রতিটি গ্রাফের মধ্যে একটি মাত্র সমতুল্য শ্রেণি রয়েছে যা সমস্ত অনুভূমিক সমন্বয়ে গঠিত।

অন্য দিকে, ইসি-জিআইকে জিআই-তে হ্রাস করতে, আসুন $(G, \sim_G)$ সাথে সমতা সম্পর্কিত একটি গ্রাফ হতে $n$ ছেদচিহ্ন, $m$ প্রান্ত, এবং $c$ সমতা ক্লাস। একটি গ্রাফ তৈরি করুন $G'$ যার শীর্ষবিন্দু সেটটি উল্লম্বভাবে গঠিত $G$ , একসাথে নতুন শীর্ষে $v_1, \dotsc, v_c$ , প্রতিটি সমতুল্য শ্রেণীর জন্য একটি $=_G$ পাশাপাশি $n+c+1$ নতুন শীর্ষ $w_0, \dotsc, w_{n+c}$ । সংযুক্ত করুন $w_i$ একটি পথে $w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$ , প্রতিটি সংযোগ করুন $v_i$ প্রতি $w_0$ , এবং প্রতিটি শিখর জন্য $G$ , এটি সম্পর্কিত সমতুল্য শ্রেণীর প্রান্তের সাথে যুক্ত করুন $v_i$ । তারপর $G'$ সর্বাধিক আছে $n + 2c + n +1 \leq O(n)$ উল্লম্ব এবং একই সময়ে আবদ্ধভাবে নির্মিত যেতে পারে। (এটিও সর্বাধিক রয়েছে $m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$ প্রান্ত - যা হয় $O(m)$ সংযুক্ত গ্রাফের জন্য - তবে বেশিরভাগ জিআই অ্যালগরিদমগুলির চলমান সময়গুলি কেবলমাত্র নির্ভর করে যা কিছুটা কম প্রাসঙ্গিক $n$ ।)

আপডেট : যেহেতু মন্তব্যে কিছু বিভ্রান্তি ছিল, তাই আমি এখানে উপরের যুক্তির যথার্থতার স্কেচ যুক্ত করছি। প্রদত্ত $(G_1, \sim_1)$ এবং $(G_2, \sim_2)$ , দিন $G_1'$ এবং $G_2'$ উপরে বর্ণিত গ্রাফ হতে হবে; দিন $v_{i,1}$ শীর্ষবিন্দু বোঝা $v_i$ উপর থেকে ভিতরে $G_1'$ , এবং $v_{i,2}$ ভিতরে একটি $G_2'$ , এবং একইভাবে জন্য $w_{i,1}$ এবং $w_{i,2}$ । যদি আইসোমরফিজম হয় $G_1' \cong G_2'$ এটি অবশ্যই পাঠাতে হবে $w_{i,1}$ প্রতি $w_{i,2}$ সবার জন্য $i$ প্রতিটি গ্রাফ থেকে $w_{n+c}$ কমপক্ষে দৈর্ঘ্যের যে কোনও পথের সমাপ্তি is $n+c+1$ । নির্দিষ্টভাবে, $w_{0,1}$ মানচিত্র $w_{0,2}$ । যেহেতু প্রতিবেশী $w_0$ যে না $w_1$ হুবহু $v_i$ , আইসোমর্ফিজম অবশ্যই সেট মানচিত্র $\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$ সেট $\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$ (এবং বিশেষত উভয়ই $\sim_1$ এবং $\sim_2$ একই নম্বর থাকতে হবে, $c$ সমতুল্য শ্রেণীর)। নোট করুন যে আইসোমর্ফিজম প্রেরণের দরকার নেই $v_{i,1}$ প্রতি $v_{i,2}$ সবার জন্য $i$ , তবে এর সূচকে অনুমতি দেওয়ার অনুমতি দেওয়া হয় $v$ এতক্ষণ যতক্ষণ না এটি সম্পর্কিত সমমানের ক্লাসগুলি একে অপরের সাথে ম্যাপ করা যায়। বিপরীতভাবে, এর মধ্যে আইসোমর্ফিজমগুলির এই বিবরণের উপর ভিত্তি করে $G_1'$ এবং $G_2'$ দেখতে পারেন, এটি যদি দেখতে সহজ হয় $(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$ তারপরে এটি একটি আইসোমরফিজম দেয় $G_1' \cong G_2'$ ।

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

আমি যতদূর বুঝতে পারি আপনার হ্রাস নিয়ে একটি মৌলিক সমস্যা আছে। আপনি প্রতিটি সমতুল্য শ্রেণির শীর্ষাংশের সেটগুলিতে মূলত একটি অনন্য আক্রমণকারী সম্পত্তি প্রয়োগ করেন। এই ক্ষেত্রে আপনি অদম্য সম্পত্তি হিসাবে একটি শীর্ষবিন্দুর অভিজাতত্বকে বেছে নিয়েছেন। একটি গ্রাফ জন্য

G

$G$ দিন

f

$f$ রঙিন হতে। আমাদের বলার সুযোগ দিন

=_{f}

$=_f$ দ্বারা অনুপ্রাণিত সমতুল্য সম্পর্ক হয়

f

$f$ অর্থাৎ

u =_{f} v

$u =_f v$ iff

f (u) = f (v)

$f(u) = f(v)$ ।

— জন ডি

এখন, EQ-GI কে রঙিন জিআই-তে হ্রাস করার বিষয়টি বিবেচনা করুন। একটি ইনপুট জন্য আপনার যুক্তি দ্বারা

(G, =_{1}), (H, =_{2})

$(G,=_1),(H,=_2)$ এটি পাস করার জন্য যথেষ্ট হবে

G, H

$G,H$ এবং রঙ চয়ন করুন

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$ যা প্ররোচিত

=_{1}, =_{2}

$=_1,=_2$ । এখানে সমস্যাটি হ'ল

(G, c) ≅ (H, d)

$(G,c) \cong (H,d)$ বোঝা

(G, =_{c}) ≅ (H, =_{d})

$(G,=_c) \cong (H,=_d)$ তবে অন্য দিকটি অগত্যা সত্য নয় কারণ আমরা সমীকরণের ক্লাসের দুটি সেটগুলির মধ্যে একটি অগ্রাধিকারের চিঠিপত্র জানি না।

— জন ডি

অন্যভাবে উল্লেখ করা হয়েছে, আমি দেখতে ব্যর্থ হয়েছি যে আরও জটিল প্রতিবন্ধকতার কারণে নিছক গ্রাফ রূপান্তরকরণের জন্য EQ-GI কে রঙিন জিআইতে হ্রাস করা কীভাবে সম্ভব হবে। তবে এটি পরিষ্কার যে আপনার নির্মাণ রঙিন জিআই থেকে জিআই হ্রাস করতে কাজ করবে।

— জন ডি।

@ user17410 EQ-জি আই হয় জিআই রঙ্গিন। "আপনি যে প্রশ্নটি EQ-GI বর্ণনা করেছেন তাকে কল করুন" " EQ-GI কে জিআই-তে হ্রাস করার জন্য গ্রাফের রূপান্তরটি অবশ্যই সম্ভব: বাস্তবে জিআই-র সাথে সম্পর্কিত কাঠামোর কোনও আইসোমরফিজম সমস্যার জন্য এটি করা যেতে পারে। যিহোশূয়ের হ্রাস আমার কাছে সঠিক দেখাচ্ছে; আমি একটি সামান্য সরল একটি সম্পর্কে চিন্তা করেছিলাম যা আরও উল্লম্ব যোগ করে।

— ডেভিড রিচার্বি

আপনার সঠিকতা যুক্তি আমাকে বিশ্বাস করেছে। আমি আপনার হ্রাস বিশ্লেষণ করতে সময় নেওয়ার আগে উপসংহারে ঝাঁপিয়ে পড়েছি, আমি ক্ষমাপ্রার্থী।

— জন ডি

আমি আপনার শেষ মন্তব্যটি জোশুয়ার সঠিক উত্তরে পড়েছি; আপনার যদি EQ-GI কে রঙিন জিআইতে রূপান্তর করতে হয় (যেমন আপনি সমতা শ্রেণিতে অর্পিত রংগুলির সাথে সমস্যায় পড়েছেন) তবে আপনি নিম্নলিখিত হ্রাসটি ব্যবহার করতে পারেন:

মনে করুন যে প্রারম্ভিক গ্রাফগুলি $G_1 = (V_1, E_1)$ , $G_2 = (V_2, E_2)$ এবং সেখানে $q$ সমতা শ্রেণি; তারপরে আপনি প্রতিটি গ্রাফটিতে একটি "ক্রুমিতর" যুক্ত করতে পারেন, অর্থাত্ একটি সম্পূর্ণ গ্রাফ চালু $|V_1|+1=|V_2|+1$ নোড ( $K'_{|V_1|+1}$ , $K''_{|V_2|+1}$ ) আর ব্যবহার করুন $q+1$ রং $c_1,...,c_q,c_{q+1}$ ।

প্রত্যেকে $K'$ এবং $K''$ , $q$ নোডগুলি আলাদা এবং বর্ণযুক্ত $c_1,...,c_q$ বাকি নোডগুলি দিয়ে রঙিন হয় $c_{q+1}$ । এর নোড $G_1$ রঙিন রঙিন হয় $c_{q+1}$ এবং একই সমতুল্য শ্রেণীর নোডগুলি একই বর্ণের সাথে যুক্ত $K'$ ; এর নোড $G_2$ রঙিন রঙিন হয় $q+1$ এবং একই সমতুল্য শ্রেণীর নোডগুলি একই বর্ণের সাথে যুক্ত $K''$ ।

এছাড়াও নোট করুন যে আপনি রঙগুলি ফেলে দিতে এবং একটি সমমানের জিআই উদাহরণ পেতে পারেন :-)

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন
আপনার মন্তব্যে উদাহরণটি হ্রাস হ্রাস

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

এটি আশাব্যঞ্জক মনে হচ্ছে। আমি পরে সঠিকতা পরীক্ষা করব।

— জন ডি

@ ইউজার ১74৪০০: ঠিক আছে, আপনার যদি আরও স্পেসিফিকেশন দরকার হয় তবে আমাকে জানান

— মারজিও ডি বিয়াসি