সীমাবদ্ধ ভাষার জন্য এক্সওআর অটোমেটা (এনএক্সএ) কি চক্র থেকে উপকৃত হয়?

Question

একটি অ-নিরস্তক জোর অটোমেটা (এনএক্সএ) সিন্ট্যাক্টিকভাবে একটি এনএফএ, তবে একটি শব্দ এনএক্সএ দ্বারা গ্রহণযোগ্য বলে মনে করা হয় যদি এটির মধ্যে বিজোড় সংখ্যক গ্রহণযোগ্য পাথ থাকে (এনএফএ ক্ষেত্রে কমপক্ষে একটি গ্রহণযোগ্য পাথের পরিবর্তে)।

এটি দেখতে সহজ যে সীমাবদ্ধ নিয়মিত ভাষা জন্য একটি ন্যূনতম এনএফএ রয়েছে যার মধ্যে কোনও চক্র থাকে না (যদি একটি চক্র প্রাথমিক অবস্থা থেকে উভয়ই পৌঁছনীয় ছিল এবং আপনি এটি থেকে গ্রহণযোগ্য অবস্থায় পৌঁছান - আপনার ভাষা নয়) সসীম)।$L$

এটি অগত্যা এনএক্সএগুলির ক্ষেত্রে হয় না।

দ্বারা চিহ্নিত XOR রাষ্ট্রবিরোধী জটিলতা একটি ভাষা ,$xsc(L)$$L$

এবং দ্বারা এর acyclic XOR রাষ্ট্র জটিলতা (ক ক্ষুদ্রতম acyclic NXA যা গ্রহণ করে আকার অর্থাৎ )।$axsc(L)$$L$$L$

এটা কি সত্য যে প্রতিটি সীমাবদ্ধ ভাষার জন্য :$L$

$$axsc(L)=xsc(L)\ ?$$

Comments

আপনি দয়া করে একটি সীমাবদ্ধ ভাষার জন্য একটি (কিছু) চক্র (গুলি) যুক্ত এনএক্সএর একটি উদাহরণ দিতে পারেন?

— আবুজার ইয়াকারিয়ালমাজ

সেখানে চক্র হন সেখানে গ্রহণ পাথ (যদি আপনি অনুমতি দেয় অসীম অনেক হতে পারে প্রান্ত), তাই আপনি নিষেধ আছে -cycles। $\epsilon$$\epsilon$

— যুবাল ফিল্মাস

@ আবুজার কোনও গ্রহণযোগ্য রাজ্য ছাড়াই একটি রাষ্ট্রীয় অটোমেটনের একটি উদাহরণ। আমি জানি এটি একটি বোকামি উদাহরণ তবে প্রশ্নটির মূল বিষয়টি, প্রতিটি চক্র অপসারণযোগ্য।

— ডোমোটরপ

বিটিডব্লিউ, আপনি চক্রটিকে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করবেন? রাজ্যগুলি গ্রহণের পথে পরিচালিত পথগুলি চক্রমুক্ত থাকতে হবে?

— ডোমোটরপ

Answer 1

আমি মনে করি উত্তরটি ইতিবাচক। সম্ভবত একটি সহজ প্রমাণ আছে, কিন্তু এখানে একটি প্রমাণ একটি স্কেচ যা লিনিয়ার বীজগণিত ব্যবহার করে।

ডোমোটেরপের মতো, আমরা ভি = জিএফ (2) ^{এন-তে} ভেক্টর হিসাবে একটি এন-স্টেট এক্সওআর অটোমেটনের একটি কনফিগারেশন দেখব ।

এলকে বর্ণমালার উপর সীমাবদ্ধ ভাষা হতে দিন Σ = {1,…, কে }, এবং সর্বনিম্ন সংখ্যার রাজ্যের সাথে এল এর জন্য একটি এক্সওআর অটোমেটন বিবেচনা করুন । রাজ্যের সংখ্যা হ'ল এন । আমরা ধরে নিই যে রাজ্যগুলিকে 1,…, n এবং লেবেলযুক্ত 1 এবং প্রাথমিক অবস্থা 1 হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

প্রথমে আমরা স্বরলিপি স্থাপন করি। যাক বনাম ₀ = (1, 0, ..., 0) ^টি ∈ ভী প্রাথমিক ভেক্টর প্রাথমিক অবস্থায় সংশ্লিষ্ট হবে | গুলি সারি ভেক্টর যার হতে আমি তম এন্ট্রি 1 যদি এবং কেবল রাষ্ট্র যদি আমি একটি গ্রহণ রাষ্ট্র। Subspace আর = { বনাম : গুলি বনাম = 0} এর ভী কনফিগারেশন ভেক্টর যে বাতিল করা হয় অনুরূপ।

প্রত্যেকের জন্য একটি ∈Σ যাক একটি _একটি হতে এন × এন জিএফ (2) উপর ম্যাট্রিক্স যা চিঠি দ্বারা সৃষ্ট পরিবর্তনকে প্রতিনিধিত্ব করে একটি । উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, ইনপুট স্ট্রিং পড়ার পর কনফিগারেশন ভেক্টর একটি খ হয় একটি _খ একজন _একটি বনাম ₀ । একটি স্ট্রিং জন্য σ = একটি ₁ ... একটি _টন , আমরা পণ্য বোঝাতে একটি _{একটি টন} ... একটি _{একটি 1} দ্বারা এম ( σ )। যাক এস = { একটি ₁,…, এ _কে }।

একজন subspace ওয়াট এর ভী মনে করা হয় এস - পরিবর্তিত যখন একটি ওয়াট ⊆ ওয়াট প্রতি একটি ∈ এস । আমাদের প্রসঙ্গে, এর অর্থ হ'ল একবার কনফিগারেশন ভেক্টর ডাব্লুতে চলে গেলে , আরও চিঠিগুলি পড়ে ডাব্লু থেকে বেরিয়ে যাওয়ার কোনও উপায় নেই ।

কারণ এই এক্সওআর অটোমেটনে সর্বনিম্ন সংখ্যক রাজ্যের সংখ্যা রয়েছে, আমাদের নীচের বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

• শুধুমাত্র S এর -invariant subspace ভী রয়েছে সেটা বনাম ₀ হয় ভী নিজেই। এটি হ'ল যদি ডাব্লু একটি যথাযথ এস- ইনভেরিয়েন্ট উপ-স্থান যেখানে ভি _{0 থাকে} তবে আমরা সংক্ষিপ্ততার বিপরীতে ভি এর জায়গায় ডাব্লু ব্যবহার করতে পারি ।
• শুধুমাত্র S -invariant subspace অন্তর্ভুক্ত আর হয় {0}। কারন এই ওয়াট একটি nontrivial এস -invariant subspace অন্তর্ভুক্ত আর , তাহলে আমরা ভাগফল ভেক্টর স্থান ব্যবহার করতে পারেন ভী / ওয়াট স্থানে ভী , আবার minimality contradicting।

কারণ এল সসীম হয়, দিন মি একটি পূর্ণসংখ্যা যে কোন স্ট্রিং এর দৈর্ঘ্য চেয়ে বড় হতে এল ।

লেমা ঘ । কোনো STRING এর জন্য σ অন্তত দৈর্ঘ্যের মি , আমরা যে আছে এম ( σ ) = 0।

প্রুফ। আমরা প্রথমে প্রমাণ যে কোনো স্ট্রিং এর জন্য σ অন্তত দৈর্ঘ্যের মি , আমরা যে আছে এম ( σ ) বনাম ₀ = 0। যাক ওয়াট এর subspace হতে ভী দ্বারা দৃশ্যও { এম ( σ ) বনাম ₀ : σ অন্তত দৈর্ঘ্যের একটি স্ট্রিং মি }। সংজ্ঞা দ্বারা, ডব্লিউ হয় এস -invariant। কারণ প্রশ্নে XOR যাও যন্ত্রমানব প্রত্যাখ্যান এই স্ট্রিং σ , ডব্লিউ মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় আর । সুতরাং ডাব্লু = {0}, যার অর্থএম ( σ ) ভি ₀ = 0 এ জাতীয় সমস্ত স্ট্রিংয়ের জন্য σ ।

এখন যে কোনও ভেক্টর ভি ∈ ভি বিবেচনা করুন । কারণ শুধুমাত্র S এর -invariant subspace ভী যে রয়েছে বনাম ₀ হয় ভী খোদ বনাম ফর্মের ভেক্টর একটি রৈখিক সমন্বয় হিসেবে লেখা যেতে পারে এম ( τ ) বনাম ₀ কিছু স্ট্রিং জন্য τ । কারণ এম ( σ ) এম ( τ ) ভি ₀ = এম ( τ σ ) ভি ₀= 0 (আধুনিক সমতা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে অনুসরণ করে কারণ দৈর্ঘ্য τ σ অন্তত হয় মি ), এটা যে ঝুলিতে এম ( σ ) বনাম = 0। ■

লিনিয়ার বীজগণিত থেকে আমাদের আরও একটি তথ্য প্রয়োজন।

লেমা 2 । যাক একজন ₁ , ..., একটি _ট হতে এন × এন ম্যাট্রিক্স একটি ক্ষেত্রের উপর, এবং সংজ্ঞায়িত এম ( σ উপরে হিসাবে)। তাহলে আছে মি ≥0 যেমন যে এম ( σ যে স্ট্রিং এর জন্য 0) = σ অন্তত দৈর্ঘ্যের মি , তারপর ম্যাট্রিক্স একটি ₁ , ..., একটি _ট একযোগে অনুরূপ কঠোরভাবে নিম্ন ত্রিকোণ ম্যাট্রিক্স (যে, একটি বিদ্যমান করছে এন × n ননসিংুলার ম্যাট্রিক্স পি যেমন ম্যাট্রিকগুলি P ⁻¹ A₁ পি ,…, পি ⁻¹ এ _কে পি কঠোরভাবে ত্রিভুজাকার কম)।

কে = 1 এর ক্ষেত্রে নীলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সগুলির একটি সুপরিচিত বৈশিষ্ট্য এবং লেমমা 2 একইভাবে প্রমাণিত হতে পারে।

এখন বিবেচনা এন -state XOR যাও যন্ত্রমানব যা রূপান্তরটি প্রতীক সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্স একটি ∈Σ দেওয়া হয় পি ^-1 একটি _একটি পি , প্রাথমিক কনফিগারেশন ভেক্টর দেওয়া হয় পি ^-1 বনাম ₀ , এবং চরিত্রগত (সারি) ভেক্টর গ্রহণযোগ্য রাষ্ট্রগুলি এস পি দ্বারা প্রদত্ত । নির্মাণ করে, এই এক্সওআর অটোমেটন একই ভাষা এল গ্রহণ করে। যেহেতু রূপান্তর ম্যাট্রিকগুলি কঠোরভাবে ত্রিভুজাকার, তাই এই এক্সওআর অটোমেটনের প্রতিটি রূপান্তর প্রান্তটি একটি ছোট সূচকযুক্ত একটি রাজ্য থেকে বৃহত্তর সূচকযুক্ত একটি রাজ্যে চলে যায় এবং তাই এই এক্সওআর অটোমেটন অ্যাসাইক্লিক। যদিও প্রাথমিক কনফিগারেশন ভেক্টরটিতে একের বেশি সংখ্যক থাকতে পারে, তবে এই এক্সওআর অটোমেটনকে একই ভাষার জন্য একক প্রাথমিক অবস্থার সাথে একটি সাধারণ এক্সওআর অটোমেটনে রূপান্তর করা সহজ রাষ্ট্রের সংখ্যা বাড়ানো বা অ্যাকসিলিটিটি বিনষ্ট না করে।

Comments

<এন রাজ্যগুলির সাথে এনএক্সএ ব্যবহারের জন্য ভাগফল ভেক্টর স্পেস ভি / ডাব্লু কীভাবে অনুবাদ করে?

— আবেল মোলিনা

$\overline{A_a}$$\bar{s}$$\overline{A_a}$$\bar{s}$

Answer 2

আমি মনে করি আমি প্রমাণ করতে পারি যে চক্রগুলি অবিচ্ছিন্ন বর্ণমালাগুলিতে সাহায্য করে না।

$M$$F_2$$v_n$$F_2$$\mod 2$$n$$v_n=M^nv_0$$v_0=(1,0,..,0)$$t$$s\cdot v=0$$s$$M^n$$s\cdot v_n=0$