একটি এলোমেলো ওরাকল আর এর জন্য, পিপি কি পি ^ আর-তে গণনাযোগ্য ভাষার সমান সমান করে?

18

ঠিক আছে, শিরোনামটি বেশ কিছু বলছে। উপরের আকর্ষণীয় প্রশ্নটি আমার ব্লগে মন্তব্যকারী জে জিজ্ঞাসা করেছিলেন (দেখুন এখানে এবং এখানে )। আমি উভয়ই অনুমান করছি যে উত্তরটি হ্যাঁ এবং এটি একটি অপেক্ষাকৃত সহজ প্রমাণ আছে, তবে আমি এটি অফহ্যান্ডে দেখতে পেলাম না। (খুব মোটামুটিভাবে, যদিও কেউ এটি দেখানোর চেষ্টা করতে পারে যে, কোনও ভাষা যদি না থাকে তবে অবশ্যই এটির সাথে সাথে অসীম অ্যালগরিদমিক পারস্পরিক তথ্য থাকতে হবে , এটি ক্ষেত্রে এটি গণনাযোগ্য হবে না Also এছাড়াও, দ্রষ্টব্য যে এক দিক তুচ্ছ হল: এ গণনীয় ভাষায় অবশ্যই ধারণ )। $P^R$ $BPP$ $R$ $P^R$ $BPP$

নোট করুন যে আমি ক্লাস অলমোস্টপি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছি না , যা প্রায় প্রতিটি জন্য থাকা ভাষাগুলি নিয়ে গঠিত (এবং সমানভাবে সুপরিচিত )। এই প্রশ্নের, আমরা প্রথম ফিক্স , তারপর গণনীয় ভাষার সেট তাকান । অন্যদিকে, এক যে দেখানোর জন্য, চেষ্টা করে দেখতে পারেন তাহলে একটি ভাষা , এমনকি একটি জন্য গণনীয় হয় সংশোধন করা হয়েছে র্যান্ডম ওরাকল তারপর, আসলে সেই ভাষায় হতে হবে মধ্যে । $P^R$ $R$ $BPP$ $R$ $P^R$ $P^R$ $R$ $AlmostP$

একটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত প্রশ্ন হচ্ছে, একটি র্যান্ডম ওরাকল উপর সম্ভাব্যতা 1 সাথে আছেন , আমরা $R$

$AM = NP^R \cap Computable.$

যদি তা হয় তবে আমরা নিম্নলিখিত আকর্ষণীয় পরিণতিটি পেয়েছি: যদি , তবে সম্ভাব্যতা 1 এর সাথে এলোমেলো ওরাকল , কেবলমাত্র ভাষা যা ওরাকল বিচ্ছিন্নতার সাক্ষ্য দেয় অসমর্থনীয় ভাষা। $P=NP$ $R$ $P^R \ne NP^R$

computability oracles random-oracles

— স্কট অ্যারনসন
সূত্র

1

আছে: এরিক Allender ও তার সহ lekhok দ্বারা কয়েক সংশ্লিষ্ট কাগজপত্র হয় উপর এলোমেলো স্ট্রিং কম্পিউটেশানাল শক্তির সীমা , এলোমেলো স্ট্রিং সেট হ্রাস: রিসোর্স-বেষ্টিত কেস

— Kaveh

16

হ্যাঁ.

প্রথমে, যেহেতু এটি নিজেকে খুঁজে বের করতে আমার এক মিনিট সময় লেগেছে, তাই আপনার প্রশ্ন এবং মধ্যে পার্থক্যটি আমাকে رسمي করতে দিন ; এটি কোয়ান্টিফায়ারদের ক্রম। , এবং আপনি যে ফলাফলটি প্রকাশ করেছেন তা হ'ল $\mathsf{AlmostP}$ $\mathsf{AlmostP} := \{L : Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1\}$ । যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে আপনি জিজ্ঞাসা করছেন যে $\forall L\, L \in \mathsf{BPP} \iff Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1$ । $Pr_R(\forall L\, L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \iff L \in \mathsf{BPP}) = Pr_R(\mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = 1$

বিবেচনা

। $p := 1-Pr_R(\mathsf{P}^R\cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = Pr_R(\exists L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \backslash \mathsf{BPP})$

দ্বারা ইউনিয়ন আবদ্ধ, দ্বারা উপরের বেষ্টিত । (দ্রষ্টব্য যে পরবর্তী অঙ্কটি গণনাযোগ্য)) এখন, 0-1 আইন অনুসারে - যেহেতু প্রযোজ্য যেহেতু আমরা সমস্ত চূড়ান্তভাবে পরিবর্তন করি তবে সমস্ত প্রাসঙ্গিক বিবৃতি পরিবর্তন হয় না - এই যোগফলের প্রতিটি স্বতন্ত্র সম্ভাবনা হয় 0 বা 1 হয় যদি আপনার প্রশ্নের উত্তর হ্যাঁ, তবে $p$ $\sum_{L \in \mathsf{COMP}} Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP})$ $R$ , তাই কিছু হতে হবে যেমন যে $p=1$ $L \in \mathsf{COMP}$ । তবে এটি সত্য যে স্ববিরোধী $Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP}) = 1$ $\mathsf{AlmostP} = \mathsf{BPP}$ ।

আপডেট 10 ই অক্টোবর, 2014 : এমিল জেব্যাকের মন্তব্যে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, একই যুক্তি বনাম ক্ষেত্রে প্রযোজ্য , যেহেতু আমরা এও জানি যে $\mathsf{AM}$ $\mathsf{NP}^R$ $\mathsf{AlmostNP} = \mathsf{AM}$ ।

তিনি আরও উল্লেখ করেছেন যে আমরা সম্পর্কে অন্য কিছু ব্যবহার করি নি এটি একটি গণনামূলক শ্রেণি যা (রেস।, ) রয়েছে। সুতরাং ওকিউ-এর "আকর্ষণীয় উপসংহার" আসলে ভাষার যে কোনও গণনার শ্রেণীর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যা : যদি তবে "কেবল" ভাষাগুলি যে ওরাকল বিচ্ছিন্নতার সাক্ষ্য দেয় এর বাইরে থাকে $\mathsf{COMP}$ $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{AM}$ $\mathcal{C}$ $\mathsf{AM}$ $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\mathsf{P}^R \neq \mathsf{NP}^R$ $\mathcal{C}$ । তবে পরবর্তী বিবৃতিটি আমার কাছে কিছুটা বিভ্রান্তিমূলক মনে করে (এটি এমন শব্দ করে তোলে যে কোনও আমরা বিবেচনা করতে পারি $L_0$ , এবং এর ফলে "প্রদর্শন" করে যেকোনও বুঝতে পারেনা $\mathcal{C} = \mathsf{AM} \cup \{L_0\}$ $L_0$ $\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R$ , সুপরিচিত উপপাদ্যের বিরোধিতা করা)। পরিবর্তে, এটি প্রতীকীভাবে লেখা, আমরা দেখিয়েছি:

যদি , তবে $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\forall \text{countable } \mathcal{C} \supseteq \mathsf{AM}\, Pr_R(\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R \text{ and } \mathsf{NP}^R \cap \mathcal{C} = \mathsf{P}^R \cap \mathcal{C}) = 1$

$R$ $R$ $Pr_R$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C} \cup \{L_0\}$ , এটি সর্বাধিক 0 পরিমাপের একটি সেট অপসারণ করে $R$ যে এই বিবৃতি সন্তুষ্ট।

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

5

একই যুক্তি AM বনাম NP ^ R এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এছাড়াও, গণনাযোগ্যতা আসলেই কিছু যায় আসে না, প্রুফ হিসাবে ব্যবহৃত গণনাযোগ্য ভাষার একমাত্র সম্পত্তি হ'ল এখানে প্রচুর পরিমাণ রয়েছে।

— এমিল জেবেক মনিকাকে

7

আপনি যা জিজ্ঞাসা করছেন এবং প্রায় পি এর মধ্যে কোয়ান্টিফায়ারগুলির ক্রম পৃথক রয়েছে, সেগুলি সমান কিনা তা দেখানো খুব কঠিন নয়। প্রথমত, কোনও স্থির এল এর জন্য, পি ^ এ ল O ও এর কোনও সীমাবদ্ধ প্রাথমিক বিভাগের উপর নির্ভর করে না কিনা এই প্রশ্নটি অনুসরণ করে যে পি ^ আর-এ এল either সম্ভাব্যতা হয় 0 বা 1 হয় - প্রায় - পি ফলাফল, বিপিপিতে নয় প্রতিটি গণনামূলক এল এর জন্য উত্তর 0 হয়, তবে বিপিপিতে যদি এল, থাকে তবে সম্ভাবনা 1 থাকে। যেহেতু প্রচুর পরিমাণে গণনাযোগ্য এল রয়েছে তাই আমরা একটি ইউনিয়ন আবদ্ধ করতে পারি; সম্ভাব্য 0 সেটের একটি গণনামূলক ইউনিয়নের সম্ভাব্যতা 0 রয়েছে। সুতরাং, এমন কোনও সংখ্যক এল আছে যা বিপিপিতে নয় তবে পি ^ আর তে 0 রয়েছে, সম্ভবত বিপিপি-তে কোনও ভাষা নেই P ^ আর,

— রাসেল ইম্পাগলিয়াজো
সূত্র