পূর্ণসংখ্যার ছোট সেটগুলি সন্ধান করা যাতে প্রতিটি উপাদান দু'জনের যোগফল

Question

এটি গণিত.স্ট্যাকেক্সচেঞ্জ এ এই প্রশ্নের ফলোআপ।

আমাদের বলে যে একটি খালি সেট এস ⊆ ℤ থাকা অবস্থায়ও স্বয়ম্ভর যদি প্রত্যেক জন্য একটি  ∈ এস, বিদ্যমান আছে স্বতন্ত্র উপাদান B, C  ∈ যেমন যে S একটি  =  খ  + C। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার এনগুলির জন্য , সাধারণ উদাহরণগুলির মধ্যে আদর্শ এস =  এন ℤ, বা ( এন > 3 এর জন্য) পূর্ণসংখ্যার অন্তর অন্তর্ভুক্ত থাকে [- n ,  n ]।

আমরা বলব যে এস দৃ from়ভাবে স্ব-সমর্থন করছে যদি এস dis এস থেকে বিচ্ছিন্ন হয়: অর্থাৎ, যদি কোনও  ∈ এস হয়, তবে - একটি  ∉ এস। উপরোক্ত উদাহরণগুলির মধ্যে দুটিও দৃ strongly়ভাবে স্ব-সমর্থনকারী নয়, কারণ তারা বাস্তবে বন্ধ রয়েছে they অবহেলা অধীনে। সীমাবদ্ধ সেট রয়েছে যা দৃ strongly়ভাবে স্ব-সমর্থনকারী রয়েছে: উদাহরণস্বরূপ, সেটগুলি {−22, −20, −18, −16, −14, −12, −10, −2, 1, 3, 7, 8, 15 , 23} এবং {−10, −8, −6, −2, 1, 3, 4, 5}}

প্রশ্ন 1. ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার এন > ০ এর জন্য, কোনও ( এন ) -র মধ্যে একটি পলি ( এন ) -কালীন [বা পল্লগ ( এন ) -কালীন ] অ্যালগরিদম রয়েছে কি না (i)  একটি দৃ self় স্ব-সমর্থনকারী সেট উত্পাদন করতে পারে যার সর্বোচ্চ পরম মান N , বা (ii) )  নির্ধারণ করুন যে এরূপ কোনও সেট বিদ্যমান নেই? [ সম্পাদনা করুন : প্রাচীন উত্তরটিতে যেমনটি উল্লেখ করা হয়েছে + এতে আমার মন্তব্য হিসাবে, N always  10 এর জন্য সর্বদা এমন একটি সেট উপস্থিত থাকে ]]

প্রশ্ন # 2। জন্য এন > 0, আপনি জোরালোভাবে স্বয়ম্ভর সর্বাধিক পরম মান সেট গঠন করা যেতে পারে এন , এবং যা অল্পসংখ্যক পরিষেবা সম্ভব উপাদান আছে?

Comments

উত্তর দেওয়া প্রশ্নগুলি স্থানান্তর করা সাধারণ অনুশীলন নয় এবং প্রশ্নটি এখানে দুর্দান্ত দেখায়। তবে আপনি চাইলে আমি এটি স্থানান্তর করব।

— কাভেঃ

আমি নিশ্চিত নই যে উত্তরের প্রশ্নটি স্থানান্তরিত করা বুদ্ধিমান।

— সুরেশ ভেঙ্কট

আপনি যেমন চান, তারপর। তাত্ত্বিক বিষয়ের উপর সাইটটি প্রশ্নোত্তরের জন্য একটি পরিপক্ক ফোরামে পরিণত হওয়ার পর থেকে এই প্রশ্নটি এখানে থেকেই যায় এই বিষয়টি আমাকে কিছু সময়ের জন্য বিরক্ত করেছিল। আমি ভেবেছিলাম যে টিউনটি (অ-গবেষণা স্তরের) সিএসএসইয়ের সাথে আরও বেশি উপযুক্ত হতে পারে; তবে আপনি যদি মনে করেন না যে এটির একটি উল্লেখযোগ্য ধারাবাহিকতা আছে, তবে আমি এ সম্পর্কে উত্তেজনা বন্ধ করব।

— নিল দে বিউড্রাপ

Answer 1

আমি মনে করি প্রশ্ন # 1 এর জন্য একটি রৈখিক সময়ের অ্যালগরিদম সম্ভব হওয়া উচিত (এবং আপনি যদি অন্য উপস্থাপনের সাথে ডিল করতে ইচ্ছুক থাকেন তবে একটি O (1) সময়ের অ্যালগরিদম)

যে কোনও এন> = 23 দেওয়া, আমরা একটি দৃ self় স্ব-সমর্থনকারী সেট তৈরি করি যা 1 এবং এন রয়েছে contains

আমরা সহজেই এটি করতে পারি যদি আমরা এন -1 এর জন্য একই নির্মাণ করি, এবং তারপরে ফলাফলটি সেটে N যুক্ত করি।

23 এর বেস কেসের জন্য, আমরা আপনার উদাহরণ সেট দিয়ে শুরু করতে পারি।

আকার কমিয়ে আনতে আমাদের একই ধরণের পদ্ধতির ব্যবহার করতে সক্ষম হওয়া উচিত:

রয়েছে এমন সেটগুলি তৈরি করুন 1, N and N-1.

আমরা এই সীমিত সেটগুলি ব্যবহার করি এবং নীচে ও (লগএন) এর আকারটি কমিয়ে আনার জন্য এই নির্মাণটি পুনরাবৃত্তভাবে করি:

• যদি N সমান হয় তবে 1, N এবং N-1 সমন্বিত একটি সেট তৈরি করতে পুনরাবৃত্তভাবে 1, N / 2 এবং N / 2-1 (অর্থাৎ এন / 2 এর সাথে সমান সেট) সমন্বিত একটি সেট তৈরি করুন এবং এন এবং এন -1 যুক্ত করুন ফলাফল সেট। যেহেতু N-1 = N / 2 + N / 2-1 এবং N = 1 + N-1, এটি একটি বৈধ সেট।

• যদি এন বিজোড় হয় তবে ফলাফল নির্ধারণের জন্য এন -1 এবং এন এর জন্য একটি সেট তৈরি করুন।

বেস কেসগুলির জন্য, আমরা এন এর জন্য {−22, −20, −18, −16, −14, −12, −10, −2, 1, 3, 7, 8, 15, 23,24 with দিয়ে শুরু করতে পারি = 24। 24 <এন <= 47 এর জন্য, আমরা উপরের লিনিয়ার সময় অ্যালগরিদমটি ব্যবহার করতে পারি এবং এন = 24 এর জন্য সেটটি তৈরি করতে পারি। এন> = 48 এর জন্য আমরা অর্ধেক হ্রাস করতে চলেছি।

প্রকৃতপক্ষে, সংমিশ্রিত এন এর জন্য, আমরা ছোট ছোট প্রাইমগুলির মধ্যে N কে ভাগ করে নেওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় আকারে আরও নীচে আনতে পারি: ছোট প্রাইমের জন্য একটি সেট সন্ধান করুন এবং একটি উপযুক্ত উপাদান দ্বারা সমস্ত সংখ্যাকে গুণিত করুন।

এন প্রাইম হ'ল ক্ষেত্রে কিছুটা নিম্ন সীমা প্রমাণ করা আকর্ষণীয় হতে পারে।

Comments

+1 টি। আমি মনে করি খুব বেশি স্ল্যাক রুম নিয়ে কোনও প্রশ্ন উত্থাপনের জন্য আমাকে সঠিকভাবে সেবা করে। অবশ্যই এন> 10 এর জন্য আপনি একই কাজ করতে পারেন। এটি আমাদের চেয়ে কম আকারে সেটগুলি নির্মাণের প্রশ্নে ছেড়ে দেয় (সম্ভবত আকারে ন্যূনতম, # 2 তেও)।

— নিল দে বৌড্রাপ

আপনার আকারটি কমিয়ে আনার জন্য সংশোধিত উত্তরের জন্য: আমি অনুসরণ করি না। আমি সংগ্রহ করেছি যে আপনি এন "সমর্থিত" (স্বতন্ত্র উপাদানগুলির যোগফল হিসাবে প্রকাশিত) 1 + (এন -1) হিসাবে রাখতে চান। তবে আপনি কীভাবে এন -1 "সমর্থন" করবেন? --- এছাড়াও: আমি সেটের নিজের আকার, অর্থাৎ কার্ডিনালিটির বিষয়ে আরও আগ্রহী, যদিও এর উপস্থাপনের আকর্ষণীয় সীমাটিও আকর্ষণীয় হতে পারে।

— নিল দে বৌড্রাপ

@ নীল: আমি মন্তব্য করতে চলেছিলাম: আমার সম্পাদনা দেখুন :-)

— আর্যভট্ট

এন = 46 এর ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন। তারপরে এন / 2 = 23; আমরা প্রশ্নটিতে প্রদত্ত উদাহরণটিকে স্ব-সমর্থনকারী সেট হিসাবে গ্রহণ করি এবং N-1 = 45 এবং N = 46 অন্তর্ভুক্ত করি। তাহলে আমরা কীভাবে এন -1 = 45 "সমর্থন" করব?

— নিল দে বিউড্রাপ

(আপনি আপনার ডাকনামটি পরিবর্তনের বিষয়ে বিবেচনা করতে পারেন Why আপনি প্রকৃতপক্ষে কাকে বিজ্ঞাপন দিচ্ছেন না? আমি আপনাকে কাউকে অপমান করছি এমনভাবে না দেখে আপনাকে

— সম্বোধন করার অনুমতি দেয়,

Answer 2

N ≥ 10 এর জন্য, কেউ নীচে সর্বোচ্চ এগারোটি আকারের দৃ strongly়ভাবে স্ব-সমর্থনকারী সেট তৈরি করতে পারেন:

− −N, −N + 2, +N + 4, −2, 1, 3, 4, 5, N − 7, N − 6, N − 5}

মূল প্রশ্নের উত্থাপিত সংক্ষিপ্ত উদাহরণটি এন = 10 এর সাথে মিলে যায়, এটি সর্বোত্তম হওয়ার কাছাকাছি, কারণ কোনও দৃ strongly়ভাবে স্ব-সমর্থনকারী সেটটির অন্তত আটটি কার্ডিনালিটি থাকতে হবে ।

সুতরাং, সমস্যাটি ও (লগ (এন)) সময়ের মধ্যে সমাধান করা যায় [জাগরণে পাটিগণিত অপারেশনগুলিতে নেওয়া হয়], আট থেকে এগারোর মধ্যে কার্ডিনালিটির সেট দেয়।

এই উত্তরের জন্য নির্মাণটি প্রথমে গণিত.স্ট্যাকওভারফ্লো প্রশ্নের জন্য উপস্থাপন করা হয়েছিল , যা এটি নির্মাণের অন্তর্দৃষ্টি দেয়। আমরা কী আরও ছোট ছোট নির্মাণগুলি পেতে পারি, যেমন প্রতি এন> 9 এর জন্য আটটির নীচের সীমানাটির সাথে মিল? এন {{8,9} এর ক্ষেত্রে কী হবে?