একটি ম্যাট্রিক্সের ইজেনডিকম্পোজেশন সন্ধানের জটিলতা

Question

আমার প্রশ্নটি সহজ:

খারাপ-কেস একটি কম্পিউটিং জন্য শ্রেষ্ঠ পরিচিত আলগোরিদিম সময় চলমান কি eigendecomposition একটি এর ম্যাট্রিক্স?$n \times n$

আইজেন্ডেকম্পোজিশন কি ম্যাট্রিক্সের গুণায় হ্রাস পাচ্ছে বা সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে সর্বাধিক পরিচিত অ্যালগরিদম ( এসভিডি এর মাধ্যমে ) হয়?$O(n^3)$

দয়া করে মনে রাখবেন যে আমি একটি খারাপ কেস বিশ্লেষণের জন্য জিজ্ঞাসা করছি (কেবলমাত্র শর্তাবলী ), শর্ত সংখ্যাটির মতো সমস্যা-নির্ভর ধ্রুবকগুলির সীমানার জন্য নয়।$n$

সম্পাদনা : নীচের কয়েকটি উত্তর দেওয়া, আমাকে প্রশ্নটি সামঞ্জস্য করতে দিন: আমি একটি -প্রক্রোকেশন সহ খুশি হব । অনুমানটি গুণক, সংযোজনযোগ্য, প্রবেশ-ভিত্তিক বা আপনার পছন্দনীয় যুক্তিসঙ্গত সংজ্ঞা হতে পারে। আমি আগ্রহী যদি কোনও পরিচিত অ্যালগরিদম থাকে যা ও ( পি ও এল ওয়াই ( 1 / ϵ ) এন 3 ) এর চেয়ে n এর উপর আরও বেশি নির্ভরতা রাখে ?$\epsilon$$n$$O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3)$

সম্পাদনা 2 : দেখুন এই সংশ্লিষ্ট প্রশ্ন উপর প্রতিসম ম্যাট্রিক্স ।

Comments

আপনি কি সিএলআরএস অ্যালগরিদম পাঠ্যপুস্তকে ম্যাট্রিক্স বিপরীকরণ থেকে ম্যাট্রিক্স গুণায় হ্রাসের দিকে তাকিয়েছেন? আমি ideas ধারণাগুলি দেখে এগুলি শুরু করে দেখতে চাই সেগুলি ইগেন-পচে যাওয়া পর্যন্ত প্রসারিত কিনা।

— ওয়ারেন স্কুডি

হ্যাঁ - এগুলি LU- পচনের সন্ধানে প্রসারিত হবে বলে মনে হয়, তবে কীভাবে এটি এজন-পচনের জন্য কাজ করা যায় তা আমি জানি না।

— লেভ রেইজিন

$O(n^3)$

$O(\min(mn^2, m^2n))$$n \times n$

ঠিক আছে. আমি এই অঞ্চলটি সম্পর্কে খুব বেশি জানি না, তবে সম্ভবত এসভিডি গণনাটি আইজেন্ডেকম্পোজেনে হ্রাস করা যেতে পারে, আপনি যদি এএ * এবং এ * এ ইজেন্ডেকম্পোজ করতে পারেন তবে আপনি এসভিডির জন্য ডান এবং বাম ম্যাট্রিক পাবেন es

— রবিন কোঠারি

Answer 1

রায়ান ম্যাথওভারফ্লোতে অনুরূপ প্রশ্নের উত্তর দিলেন। এখানে লিঙ্কটি রয়েছে: গণিতফ্লো-উত্তর

মূলত, আপনি প্রতীকী নির্ধারককে গণনা করে ইগেনভ্যালু গণনাটিকে ম্যাট্রিক্স গুণায় হ্রাস করতে পারেন। এটি ইগেনভ্যালুগুলির বিটগুলি পেতে ও ( ) এর চলমান সময় দেয় ; সেরা বর্তমানে জ্ঞাত রানটাইম হে (হয় ) মধ্যে একটি পড়তা জন্য ।$n^{\omega+1}m$$m$$n^3+n^2\log^2 n\log b$$2^{-b}$

রায়ান'র রেফারেন্স হ'ল `` ভিক্টর ওয়াই। প্যান, ঝাও কি। চেন: ম্যাট্রিক্স ইয়েজেনপ্রব্লেম এর জটিলতা। স্টক 1999: 507-516 ''।

(আমি বিশ্বাস করি পুরানো আহো, হপকক্রফ্ট এবং উলম্যান বইয়ের igen `কম্পিউটার অ্যালগরিদমসের ডিজাইন এবং বিশ্লেষণ '' বইয়ের ইগেনভ্যালু এবং ম্যাট্রিক্স গুণনের জটিলতার মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কেও আলোচনা রয়েছে, তবে আমার কাছে বইটি নেই আমার সামনে, এবং আমি আপনাকে সঠিক পৃষ্ঠা নম্বর দিতে পারি না))

Answer 2

ইগেনভ্যালুগুলি সন্ধান করা সহজাতভাবে একটি পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়া: ইগেনভ্যালুগুলি সন্ধান করা একটি বহুবর্ষের শিকড় অনুসন্ধানের সমতুল্য। তদুপরি, আবেল – রুফিনি উপপাদ্যটি বলেছে যে, সাধারণভাবে আপনি একটি স্বেচ্ছাসেবী বহুত্বের মূলকে একটি সহজ বদ্ধ আকারে প্রকাশ করতে পারবেন না (অর্থাত্ চতুর্ভুজ সূত্রের মতো র‌্যাডিক্যাল সহ)। সুতরাং আপনি ইগেনভ্যালুগুলি "হুবহু" গণনা করার আশা করতে পারবেন না।

এর অর্থ একটি বর্ণালী পচন অ্যালগরিদম আনুমানিক হতে হবে। যে কোনও সাধারণ অ্যালগরিদমের চলমান সময় অবশ্যই পছন্দসই নির্ভুলতার উপর নির্ভর করে; এটি মাত্র মাত্রার উপর নির্ভর করতে পারে না।

আমি এই বিষয়ে বিশেষজ্ঞ নই। আমি অনুমান করব যে এন এর উপর একটি ঘন নির্ভরতা খুব ভাল। আমি যে সমস্ত অ্যালগরিদমগুলি দেখেছি সেগুলি ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণকে ব্যবহার করে, তারপরে ম্যাট্রিক্স-ম্যাট্রিক্সের গুণকে ব্যবহার করে। সুতরাং আমি কিছুটা অবাক হব যদি এগুলি সমস্ত ম্যাট্রিক্স-ম্যাট্রিক্সের গুণায় ফোটে।

Http://en.wikedia.org/wiki/List_of_numerical_analysis_topics# এজনভ্যালু_ালগোরিদিমগুলিতে একবার দেখুন

Comments

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ - এটি হজম করতে আমার কিছুটা সময় লাগবে! তবে যদি কেউ ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণকে ব্যবহার করে তবে n এর উপর নির্ভরতা সম্ভবত n ^ 3 এর চেয়ে ভাল হতে পারে।

— লেভ রেইজিন

Answer 3

আমি কেবল একটি ম্যাট্রিক্সের ইগেনভ্যালু সম্পর্কিত একটি আংশিক উত্তর দেব।

পূর্বে উল্লিখিত হিসাবে, ম্যাট্রিক্সের ইগেনভ্যালুগুলি (যেমন শক্তি পুনরাবৃত্তি) সন্ধানের জন্য অনেকগুলি পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি রয়েছে তবে সাধারণভাবে, এগেনভ্যালুগুলি সন্ধান করা বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুবর্ষের শেকড় সন্ধান করতে হ্রাস করে। বৈশিষ্ট্যযুক্ত সন্ধান করা , যেখানে বিট গুণনের ব্যয় হয় এবং সর্বাধিক প্রবেশের বিট আকার হয়, বারিসের অ্যালগরিদম ব্যবহার করে প্রতীকী নির্ধারক গণনা । "আলগোরিদিমিক বীজগণিতের মূল বিষয়গুলি" সম্পর্কিত ইয়্যাপের বইটি দেখুন , বিশেষত, চ্যাপ। 10, "লিনিয়ার সিস্টেমস" ।$O(n^3 M_B[n(log n + L)] )$$M_B(s)$$s$$L$

বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুবর্ষটি সন্ধানের পরে, পৃথক বিরতি ব্যবহার করে যে কোনও ডিগ্রি যথাযথতার জন্য শিকড় খুঁজে পেতে পারে। ইয়াপের বইটি দেখুন, চ্যাপ। বিশদের জন্য 6 "বহুভুতের মূল" " আমি যথাযথ রান সময়টি ভুলে যাই তবে এর বহুত্বীয় বৈশিষ্ট্যটি বহুবর্ষীয় এবং ডিগ্রিযুক্ত নির্ভুলতার ডিগ্রিটিতে থাকে desired

আমি সন্দেহ করি যে ইগেনভেেক্টরকে যথার্থতার যে কোনও ডিগ্রী পর্যন্ত গণনা করাও বহুপদী, তবে আমি কোনও সরাসরি ফরোয়ার্ড অ্যালগরিদম দেখতে পাই না। অবশ্যই আছে, ট্র্যাকের স্ট্যান্ডার্ড ব্যাগ যা পূর্বে উল্লিখিত হয়েছে, তবে যতদূর আমি জানি, এর মধ্যে কোনওটিই পছন্দসই নির্ভুলতার জন্য বহুপদী রান সময় গ্যারান্টি দেয় না।

Comments

আকর্ষণীয়, তবে এটি n ^ 3 এর চেয়েও খারাপ বলে মনে হচ্ছে। আমরা কি জানি যে এটি সর্বোত্তম সম্ভব?

— লেভ রেইজিন

এই প্রকৃতির অ্যালগরিদমগুলিতে রান সময়গুলি ম্যাট্রিক্স গুণণের জটিলতার সাথে আবদ্ধ হয় যা প্রায় O (n ^ 3)। আমি স্ট্র্যাসেনের অ্যালগরিদম সম্পর্কে জানি তবে আপনি যদি সংখ্যার স্থায়িত্বের বিষয়গুলি উপেক্ষা করেন না, তবে আমি বিশ্বাস করি ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য আপনি O (n ^ 3) ফিরে পেয়েছেন। আইট্রেটিভ পদ্ধতিগুলি "গড়" ক্ষেত্রে দ্রুত রূপান্তর করতে পারে তবে আমি বিশ্বাস করি, সাধারণভাবে, ও (এন ^ 3) সম্পর্কে আপনি সবচেয়ে ভাল করতে পারেন।

— ব্যবহারকারী 834

সুতরাং আপনি বলছেন যে আমি যদি সংখ্যাগত স্থিতিশীলতার বিষয়ে চিন্তা না করি, তবে আমরা এটি ও (নে ^ 2.376) এ নামতে পারি?

— লেভ রেইজিন

Answer 4

আপনি কমান্ডুর এবং কালের নতুন কাগজটি পরীক্ষা করে দেখতে পারেন যা ম্যাক্স-কাটের জন্য সম্মিলিত আলগোরিদিম দেয়। দেখে মনে হচ্ছে (একটি অভিশাপ পাঠে) তাদের অ্যালগোরিদম সংযুক্তিযুক্ত সর্বাধিক ইগেনুয়ালুয়ের সাথে সম্পর্কিত ইগেনভেেক্টর সন্ধান করার উপর ভিত্তি করে এবং পরে লুকা ট্রেভিসনের অ্যালগরিদম ব্যবহার করার পরে তারা এই আইগনেক্টরটি পেয়ে যায়।

দেখে মনে হচ্ছে যে তারা ল্যানকসোসের অ্যালগরিদম এ জাতীয় একটি আইগেনভেেক্টর সন্ধানের জন্য বিকল্প পন্থা ব্যবহার করছেন, তাই এটি আগ্রহী হতে পারে। আমি নিশ্চিত নই যে আইজেনভেেক্টর সন্ধানের জন্য তাদের পদ্ধতির দাবি করা জটিলতা কী, তবে এটি সন্ধান করার পক্ষে উপযুক্ত হতে পারে। এছাড়াও, যেহেতু এটি আনুমানিক অনুপাত এবং সে ক্ষেত্রে সময় নয় যে তারা আগ্রহী, তারা যে সময়সীমা দেয় তা অনুকূল নাও হতে পারে।

Answer 5

এটি একটি পুরানো প্রশ্ন তবে কিছু গুরুত্বপূর্ণ সাহিত্য মিস হয়েছে বলে মনে হচ্ছে।

এখানে অ্যালগরিদম রয়েছে যার জন্য আমাদের তাত্ত্বিক সমর্থন আরও শক্তিশালী। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স সাইন ফাংশনের উপর ভিত্তি করে পুনরাবৃত্তি রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ ডেমেল, ডুমিত্রিউ এবং হল্টজ দ্বারা "ফাস্ট লিনিয়ার বীজগণিত স্থিতিশীল" দেখুন । সেই কাগজে, এটি দেখানো হয়েছে যে ইগেনভ্যালু সমস্যাটি সময়মতো সমাধান করা যেতে পারে , যেখানে ম্যাট্রিক্সের গুণকের প্রকাশক এবং যে কোনও সংখ্যা ।$(O^{\omega+\eta})$$\omega$$\eta$$>0$

হ্যাঁ, প্যান + চেন + ঝেং পেপার রয়েছে যা বিগফ্লোটে বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদী একত্রিত করার এবং গণনা করার পরামর্শ দেয় কারণ আপনি শেষে অনেকগুলি নির্ভুলতা হারিয়ে ফেলেন, তবে অনেকেই এটিকে ব্যবহারিক পদ্ধতির হিসাবে বিবেচনা করবেন না।

আমি আরও উল্লেখ করেছি যে সর্বাধিক ব্যবহৃত অ্যালগরিদম, ফ্রান্সিস কিউআর পুনরাবৃত্তির সাধারণ ম্যাট্রিক্সের জন্য কনভার্জনের কোনও প্রমাণ নেই; ক্রেসনারের বইটিতে কয়েকটি পাল্টা নমুনা আলোচনা করা হয়েছে।

Answer 6

হ্যাঁ, বেশিরভাগ সংখ্যাসূচক লিনিয়ার বীজগণিতকে ম্যাট্রিক্সের গুণায় হ্রাস করা যেতে পারে, যদিও, বরাবরের মতো, সংখ্যাগত স্থায়িত্ব একটি সমস্যা issue এছাড়াও, আইজেন্ডেকম্পোজনেসের মতো সমস্যাগুলির সাথে, আপনার একটি অনুমানের সাথে সন্তুষ্ট হওয়া উচিত কারণ সমাধানটি অযৌক্তিক হতে পারে। বিন এবং প্যানের বহুপদী এবং ম্যাট্রিক্স কম্পিউটেশন বইটি দেখুন ।

এখানে আরও একটি উল্লেখ রয়েছে - দ্রুত লিনিয়ার বীজগণিত স্থিতিশীল http://www.netlib.org/lapack/lawnspdf/lawn186.pdf

Comments

পয়েন্টারের জন্য ধন্যবাদ, তবে গুগল বইগুলিতে বইটির মাধ্যমে অনুসন্ধান করে, আমি ম্যাট্রিক্সের গুণনের হ্রাস পাইনি। আপনার কি কিছু কংক্রিট রেফারেন্স বা অ্যালগরিদমের পয়েন্টার আছে? এবং তাদের এসভিডি অ্যালগরিদমগুলি ম্যাট্রিক্সের শর্ত সংখ্যার উপর নির্ভর করে বলে মনে হয়, যা কোনও খারাপ পরিস্থিতি বিশ্লেষণ নয়। সংখ্যাগত স্থিতিশীলতার সমস্যা ইত্যাদির বিষয়ে, আসুন আদর্শ মানের ক্ষেত্রে ধরে নেওয়া যাক, যেখানে সমস্ত গুণ এবং বিভাগগুলি একক সময় নেয় এবং সঠিক উত্তর দেয়।

— লেভ রেইজিন