দীর্ঘস্থায়ী অনুমান পরে তুচ্ছভাবে একটি জড়িত দ্বারা প্রমাণিত

18

আমি জানতে চাই যে টিসিএসে দীর্ঘকাল ধরে অনুমানযোগ্য অনুমানগুলি রয়েছে, যা পরে অন্য একটি উপপাদ্য থেকে জড়িত দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, এটি প্রমাণ করা আরও সহজ হতে পারে।

reference-request soft-question big-list

— রায়ান
সূত্র

11

Erdös এবং মানানো প্রমাণিত যে কোনো পূর্ণসংখ্যা জন্য এবং কোন গ্রাফ পারেন হয়েছে গ্রন্থিচ্যুত চক্র অথবা সর্বাধিক আকারের একটি সেট ছেদচিহ্ন যেমন যে একটি বন নয়। (তাদের প্রুফ )। $k$ $G$ $G$ $k$ $f(k)$ $S\in G$ $G\setminus S$ $f(k) \in O(k \cdot \log k)$

নিম্নলিখিত হিসাবে পরিচিত একটি নির্দিষ্ট গ্রাফ এরস এবং প্যাসা সম্পত্তি (কোনও আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা নয়): $H$

গ্রাফ বর্গ Erdös-মানানো সম্পত্তি স্বীকার যদি একটি ফাংশন এমন প্রত্যেকটি গ্রাফ যে এবং কোন জন্য এবং কোন গ্রাফের জন্য পারেন আছে গ্রন্থিচ্যুত isomorphic অনুলিপি (wrt ছোটখাট বা উপবিভাগ) এর তে বা সেখানে একটি ুকুচিহ্ন সেট রয়েছে , যেমন এবং এর এর কোনও আইসোমোরফিক কপি নেই । $\mathcal{C}$ $f$ $H\in \mathcal{C}$ $k \in \mathbb{Z}$ $G$ $k$ $H$ $G$ $S\in G$ $|S|\le f(k)$ $G\setminus S$ $H$

চক্র যা এই সম্পত্তি admitting করছে একটি বর্গ জন্য Erdös এবং মানানো এর ফলাফলের পর একটি সঠিক বর্গ এটি একটি খোলা প্রশ্ন ছিল । ইন গ্রাফ ছোটখাট ভী প্রমাণিত যে প্রতি প্ল্যানার গ্রাফ পারেন একটি বেষ্টিত গাছ প্রস্থ আছে বা, একটি ছোটখাট হিসাবে একটি বড় গ্রিড রয়েছে হাতে গ্রিড উপপাদ্য না থাকার তারা দেখিয়েছেন যে Erdös এবং মানানো সম্পত্তি (মাইনর জন্য) যদি এবং কেবল যদি ঝুলিতে একটি হল প্ল্যানার গ্রাফের বর্গ। যদিও সমস্যাটি মহকুমার জন্য এখনও খোলা রয়েছে। তবে উপপাদ্য নাগরিকের প্রমাণটি একরকম সহজ এবং আমার জ্ঞানের সর্বোত্তম হিসাবে গ্রিড উপপাদ্যটি ব্যবহার না করে প্রমাণ নেই। $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

ডিগ্রাফগুলির সাম্প্রতিক ফলাফলগুলি , ডিগ্রাফগুলির জন্য একই অঞ্চলে দীর্ঘ স্থায়ী খোলা প্রশ্নের উত্তর সরবরাহ করে। যেমন এক খুব মৌলিক প্রশ্ন যে একটি ফাংশন ছিল যেমন কোনো গ্রাফ যে এবং পূর্ণসংখ্যার , আমরা হয় একটি সেট জানতে পারেন এর সর্বাধিক ছেদচিহ্ন যেমন যে অন্তত দৈর্ঘ্য কোন চক্র রয়েছে বা আছে অন্তত দৈর্ঘ্যের গ্রন্থিচ্যুত চক্র মধ্যে $f$ $G$ $k,l$ $S\subseteq V(G)$ $f(k+l)$ $G-S$ $l$ $k$ $l$ $G$ । এটি কেবলমাত্র একটি বিশেষ কেস তবে এটি ছোটদের অনুমান হিসাবে পরিচিত ছিল। এর আগে ইয়ংয়ের অনুমানটি একটি জটিল পদ্ধতির সাথে রিড এট আল দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। $l=2$

এটি উল্লেখ করার মতো বিষয় যে এখনও ডিজিট্রাফগুলিতে বেশ কিছু তুচ্ছ ঘটনা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, উপরের কাগজটিতে তাত্ত্বিক 5.6 হ'ল দুর্বলভাবে সংযুক্ত ডিগ্রাফগুলির সাথে একটি ছোট শ্রেণীর কাছে কল্পিত অনুমানের একটি ইতিবাচক বর্ধন, তবে আমাদের যে জ্ঞান এবং গাণিতিক সরঞ্জাম রয়েছে তা এটি তুচ্ছ নয় (বা সম্ভবত আমরা তার পক্ষে একটি সহজ যুক্তি জানি না )। সম্ভবত এই গ্রাফগুলির জন্য আরও ভাল বৈশিষ্ট্য সরবরাহ করার মাধ্যমে এটি প্রমাণ করার আরও সহজ উপায় থাকবে।

— সাঈদ
সূত্র

4

প্রশ্নের শিরোনাম "তুচ্ছ বিষয়গুলি" বোঝায় তবে বিষয়বস্তু ঠিক সেই মানদণ্ডটি নির্দিষ্ট করে না, তাই এটি একটি মিশ্র বার্তা of সাধারণ থিমের নিকটে আসা একটি সেমিফামাস আইটেম / উদাহরণ হ'ল (তখন ~ 4 দশকের পুরানো) স্ট্রং পারফেক্ট গ্রাফ কনজেকচারের প্রমাণ২০০২ সালে মারিয়া চুদনভস্কি, নীল রবার্টসন, পল সেমুর এবং রবিন থমাস। নিখুঁত গ্রাফগুলির স্বীকৃতির অ্যালগরিদমিক জটিলতার সমস্যাটি দৃ perfect় নিখুঁত গ্রাফ অনুমানের প্রমাণ যান্ত্রিকগুলির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে বেঁধে / শক্তভাবে বেঁধে পরিণত হয়েছিল, যদিও অনুমানের প্রমাণের আগে এটি যথাযথভাবে বোঝা বা জানা ছিল না known অন্য কথায় একটি অনানুষ্ঠানিক উন্মুক্ত অনুমান ছিল যে শক্তিশালী নিখুঁত গ্রাফ উপপাদকের বিশ্লেষণ / বৈশিষ্ট্য / যান্ত্রিকতার উপর ভিত্তি করে "নিখুঁত গ্রাফ স্বীকৃতি পিতে" (বা "কম জটিলতা" ইত্যাদি) তুলনামূলকভাবে দ্রুত সমাধান করা হয়েছিল।

নিখুঁত গ্রাফগুলি সনাক্ত করার জন্য একটি বহুপদী আলগোরিদম গার্ডার্ড কর্নুয়জলস, জিনমিং লিউ, ক্রিস্টিনা ভুভকোভিয় 2003

— vzn
সূত্র

ধন্যবাদ, আমি "তুচ্ছ" এর অর্থ বোঝাতে চেয়েছি যে প্রথম সমস্যার প্রমাণ (যা দ্বিতীয়টি বোঝায় "কঠিন") এর প্রমাণ দিয়ে জড়িতটি সহজেই বোধগম্য হয়।

— রায়ান