গণনাযোগ্যতা এবং যুক্তি স্থির পয়েন্ট

এই প্রশ্নটি ম্যাথ.এসইতেও পোস্ট করা হয়েছে,

/math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic

আমি আশা করি এটি এখানে পোস্ট করা ঠিক আছে। যদি না হয়, বা এটি CS.SE এর জন্য খুব বেসিক তবে দয়া করে আমাকে বলুন এবং আমি এটি মুছে ফেলব।

আমি যুক্তি এবং $\lambda$ ক্যালকুলাসের স্থির পয়েন্টের উপপাদ্যের মধ্যে আরও ভাল সম্পর্ক বুঝতে চাই ।

পটভূমি

1) সত্যের অসম্পূর্ণতা এবং অনির্ধারিততার মধ্যে নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলির ভূমিকা

যতদূর আমি বুঝতে পারি, যুক্তিকে অভ্যন্তরীণ করার মৌলিক ধারণা ব্যতীত সত্যের তারস্কির অপরিজ্ঞাততার প্রমাণের উভয় প্রমাণের মূল চাবিকাঠি এবং গ্যোডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যটি একটি যৌক্তিক স্থির বিন্দু উপপাদ্য , একটি গঠনমূলক, চূড়ান্ত মেটাথেরিতে বাস করছেন (আমি আশা করি গঠনের আশা করি) ঠিক আছে, যদি কিছু ভুল হয় বা অনুধাবন করে থাকে তবে দয়া করে আমাকে সংশোধন করুন:

যুক্তিতে স্থির পয়েন্টের অস্তিত্ব

ধরুন পর্যাপ্ত ভাবপূর্ণ, ভাষা উপর যাও recursively গণনীয় তত্ত্ব , আর দিন একটি কোডিং হতে এ -formulas , যে একটি আলগোরিদিম নির্বিচারে বাঁক সুগঠিত -formulas মধ্যে এক বিনামূল্যে পরিবর্তনশীল সঙ্গে -formulas ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}$ ${\mathcal L}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}(\varphi)(v)$ , যে কোনও ফর্মুলার জন্য আমাদের । ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)$

তারপর অস্তিত্ব আছে একটি আলগোরিদিম বাঁক সুগঠিত বন্ধ সুগঠিত মধ্যে এক বিনামূল্যে পরিবর্তনশীল মধ্যে -formulas -formulas, কোন যেমন যে এক বিনামূল্যে পরিবর্তনশীল মধ্যে -formula আমরা আছে যা ব্যাখ্যা একটি সংজ্ঞায়িত কার্যকারিতা প্রতীক হিসেবে ${\mathbf Y}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ $\phi$
$T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow \exists v : C (Y (ϕ)) (v) \land ϕ (v),$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge \phi(v),$ ${\mathbf C}$ $\lceil -\rceil$ , এছাড়াও হিসাবে আরো কষে লেখা যেতে পারে $T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow ϕ (⌈ Y (ϕ) ⌉) .$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \phi(\lceil{\mathbf Y}(\phi)\rceil).$
অন্য কথায়, হ'ল এক-ভেরিয়েবল -ফর্মুলার গুণগতমানের বিষয়ে নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলি তৈরির জন্য একটি অ্যালগরিদম । ${\mathbf Y}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$

এটিতে কমপক্ষে দুটি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে:

সম্পৃক্ত তা প্রয়োগ করা হচ্ছে প্রকাশ " কোড একটি বাক্য যা, যখন নিজস্ব কোডিং সঙ্গে instantiated, প্রতিপাদ্য নয়।" "এই বাক্যটি প্রমাণযোগ্য নয়" -এর আনুষ্ঠানিককরণ পাওয়া যায় যা গোয়েদেলের যুক্তির কেন্দ্রস্থলে রয়েছে। $\phi(v)$ $v$
এটা প্রয়োগ করা হচ্ছে থেকে একটি অবাধ বাক্যের জন্য সত্যের Tarski এর undefinability উৎপাদ। $\neg\phi$ $\phi$

2) untyped মধ্যে ফিক্সড পয়েন্ট -calculus $\lambda$

Untyped সালে সংশোধন পয়েন্ট নির্মাণ -calculus রিকার্সিভ ফাংশন উপলব্ধি গুরুত্বপূর্ণ। $\lambda$

-ক্যালকুলাসে স্থির পয়েন্টের অস্তিত্ব : $\lambda$

একটি স্থির পয়েন্ট সমন্বয়কারী রয়েছে , অর্থাত্ একটি -term যেমন যে কোনও -আরতম , আমাদের কাছে $\lambda$ $Y$ $\lambda$ $f$
$f (Y f) \sim_{α β} Y f .$ $f(Y f)\sim_{\alpha\beta} Yf.$

পর্যবেক্ষণ

যা আমাকে স্তম্ভিত করে তা হ'ল স্থির বিন্দু সংযুক্তকারী মধ্যে -calculus সরাসরি প্রতিফলিত একটি খুব পরিষ্কার এবং অপ্রযুক্তিগত ভাবে, লজিক্যাল নির্দিষ্ট বিন্দু উপপাদ্য স্বাভাবিক প্রমাণ: $\lambda f.(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$ $\lambda$

খুব মোটামুটিভাবে কোনো সূত্র দেওয়া , এক formalization বিবেচনায় বিবৃতি ' কোড একটি বাক্য যা, যখন নিজেই সঙ্গে instantiated, সন্তুষ্ট ", এবং রাখে । বাক্যটি মতো , এবং সাথে সম্পর্কিত $\varphi$ $\varphi(v)$ $v$ $\phi$ ${\mathbf A}(\phi) := \varphi(\lceil\varphi\rceil)$ $\varphi(v)$ $\lambda x. f(x x)$ $\varphi(\lceil\varphi\rceil)$ । $(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$

প্রশ্ন

এর দ্রুত বর্ণিত ধারণা থাকা সত্ত্বেও, আমি লজিক্যাল ফিক্সড পয়েন্টের উপপাদকের প্রমাণটি পেয়েছি বেশ প্রযুক্তিগত এবং সমস্ত বিবরণে বহন করা কঠিন; কুনেন তার 'সেট থিওরি' বইয়ের উপপাদ্য 14.2 তে উদাহরণস্বরূপ এটি করেছেন। অন্যদিকে, মধ্যে -combinator -calculus খুবই সহজ এবং তার সম্পত্তি সহজে যাচাই করা হয়। $Y$ $\lambda$

লজিক্যাল নির্দিষ্ট বিন্দু উপপাদ্য সংশোধন বিন্দু combinators থেকে অক্ষরে অক্ষরে পালন করে -calculus? $\lambda$

উদাহরণস্বরূপ, কোনও ফর্মুলাগুলি দ্বারা লজিকাল সমতুল্যতার জন্য -ক্যালকুলাসকে মডেল করতে পারে, যাতে কোনও স্থির বিন্দু সংমিশ্রকের ব্যাখ্যাটি যৌক্তিক স্থির বিন্দু তত্ত্বের বর্ণিত হিসাবে একটি অ্যালগরিদম দেয়? $\lambda$ ${\mathcal L}$

সম্পাদন করা

মার্টিন এবং কোডির উত্তরগুলিতে বর্ণিত একই তির্যক যুক্তির আরও অনেক উদাহরণের দৃষ্টিতে, এই প্রশ্নটি পুনর্বিবেচনা করা উচিত:

কম্বিনেটরে প্রকাশিত নীতি অনুসরণ করে তির্যক তর্কগুলির একটি সাধারণ সাধারণীকরণ কি আছে ? $Y$
$λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))$ $\lambda f.(\lambda x. f(xx))(\lambda x.f(xx))$

যদি আমি এটি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে একটি প্রস্তাব হ'ল লভেরের ফিক্সড পয়েন্ট উপপাদ্য , নীচে দেখুন। দুর্ভাগ্যক্রমে যাইহোক আমি মার্টিন তার উত্তরে যে নিবন্ধগুলির উদ্ধৃতি দিয়েছিল সেগুলির মধ্যে দুটিতে প্রাসঙ্গিক বিশেষত্বগুলি অনুসরণ করতে পারি না এবং কেউ যদি সেগুলি ব্যাখ্যা করতে পারে তবে আমি খুশি হব। সম্পূর্ণতার জন্য প্রথম:

লভের্সের ফিক্সড পয়েন্ট উপপাদ্য

যাক সসীম পণ্য এবং সঙ্গে একটি বিভাগ হতে যেমন কোনো morphism যে মধ্যে কিছু হয় এমন সব পয়েন্টের জন্য যে এক হয়েছে ${\mathscr C}$ $\varphi: A\times A\to Y$ $f: A\to Y$ ${\mathscr C}$ $\lceil f\rceil: 1\to A$ $p: 1\to A$
$1 \overset{p}{\to} A \overset{f}{\to} Y = 1 \overset{p}{\to} A \overset{⟨ ⌈ f ⌉, {id}_{A} ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\ f\ } Y\ \ =\ \ 1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\langle \lceil f\rceil,\text{id}_A\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$
তারপর যে কোনো endomorphism জন্য , নির্বাণ কোন পছন্দ দেয় একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বৃদ্ধি , যথা $g: Y\to Y$
$f := A \overset{Δ}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y \overset{g}{\to} Y,$ $f\ :=\ A\xrightarrow{\Delta} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y\xrightarrow{g} Y,$ $\lceil f\rceil$ $g$ $1 \overset{⟨ ⌈ f ⌉, ⌈ f ⌉ ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{\langle\lceil f\rceil,\lceil f\rceil\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$

এটি সীমাবদ্ধ পণ্যগুলির সাথে বিভাগগুলির (অন্তর্নিহিত) প্রথম অর্ডার তত্ত্বের একটি বিবৃতি এবং তাই পরবর্তী কোনও মডেলের ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য।

উদাহরণ হিসেবে বলা যায় , বক্তৃতা ডোমেইনের যেমন সম্পূর্ণ সেট তত্ত্বীয় মহাবিশ্ব গ্রহণ রাসেল এর প্যারাডক্স দেয় (নেওয়া সেট প্রকল্পিত সেট, এবং -predicate) এবং ক্যান্টর এর উপপাদ্য (নেওয়া কোনো সেট এবং প্রকল্পিত surjection সংশ্লিষ্ট $A$ $Y := \Omega := \{0,1\}$ $\rho: A\times A\to\Omega$ $\in$ $A$ $\rho: A\times A\to \Omega$ $A\to\Omega^A$ )। তদ্ব্যতীত, ল্যাভেরের উপপাদ্য প্রমাণের অনুবাদটি স্বাভাবিক তির্যক যুক্তি দেয়।

আরও কংক্রিট সমস্যা:

আংশিক পুনরাবৃত্তির কাজগুলি বা লজিক্যাল ফিক্সড পয়েন্টের উপপাদ্যগুলিতে কেউ লভেরের উপপাদ্যের কোনও অ্যাপ্লিকেশন বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করতে পারেন? বিশেষত, সেখানে আমাদের কোন বিভাগগুলি বিবেচনা করা উচিত?

ডি পাভলোভিচ সালে কূটাভাস কাঠামো উপর , লেখক বিভাগ অবাধে দ্বারা উত্পন্ন বিবেচনায় সঙ্গে partical রিকার্সিভ ফাংশন। ${\mathbb N}$ ${\text{End}}({\mathbb N})$

দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি এর অর্থটি বুঝতে পারি না।

উদাহরণস্বরূপ, রচনা আইনটি কী হওয়া উচিত ? আংশিক পুনরাবৃত্তি কার্যাবলী রচনা? সর্বোপরি, বলা হয়ে থাকে যে ল্যাভেরের উপপাদ্যটি সাথে প্রযোজ্য , যাতে বিশেষভাবে কোনও মরফিজম একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট হওয়া উচিত । Endomorphisms প্রকৃতপক্ষে শুধু আংশিক recursive ফাংশন এবং যদি রচনা উপায়ে ফাংশন রচনা হও, তবে এই অদ্ভুত বলে মনে হয় - যদি পয়েন্ট মাত্র উপাদান $\text{End}({\mathbb N})$ $A=Y={\mathbb N}$ ${\mathbb N}\to{\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ ${\mathbb N}$ , তারপর দাবি ভুল, এবং একটি morphism যদি $1\to {\mathbb N}$ শুধুমাত্র একটি আংশিক ফাংশন, অতএব, অপরিজ্ঞাত করা যেতে পারে, স্থির পয়েন্টের উপপাদ্য তুচ্ছ।

প্রকৃতপক্ষে কোনটি বিভাগটি বিবেচনা করতে চায়?

সম্ভবত লক্ষ্যটি হল রজারের নির্দিষ্ট পয়েন্ট উপপাদ্যটি পাওয়া, তবে তারপরে কোনও একটিকে বিভাগের সংজ্ঞা হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি দ্বারা আংশিক পুনরাবৃত্তি ফাংশনগুলির কোডিং তৈরি করা উচিত এবং আমি কীভাবে এটি করব তা অনুভব করতে পারি না।

আমি খুব খুশি হব যদি কেউ লভেরের ফিক্সড পয়েন্ট উপপাদ্য প্রয়োগ করে এমন একটি প্রাসঙ্গিক নির্মাণের ব্যাখ্যা দিতে পারে যা একটি লজিকাল ফিক্সড পয়েন্ট উপপাদ্য বা আংশিক পুনরাবৃত্তির কাজগুলির জন্য একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট উপপাদ্যকে উত্সাহ দেয় giving

ধন্যবাদ!

lo.logic computability lambda-calculus

— হ্যানো বেকার
সূত্র

Q

$Q$

λ

$\lambda$

@ এমিলজেবেক: আপনার মন্তব্যের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! আমি বুঝতে পারি যে পুনরাবৃত্ত ফাংশনগুলির কোডিংয়ের আশেপাশে কোনও উপায় থাকবে না, তবে আমি কোডিং সম্পর্কিত এবং পরে কী আনুষ্ঠানিক তা স্পষ্টভাবে আলাদা করতে চাই।

— হ্যানো বেকার

λ

$\lambda$

Y

$Y$

φ

$\varphi$

N \to (N \to N)

$\mathbb{N}\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

(N \to N) \to (N \to N)

$(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

Y

$Y$

কোডি, আপনি কী বিভাগটি ব্যবহার করছেন তা আপনি বিশদভাবে বলতে পারেন, কারণ এটি সেই স্থান যেখানে আমি অন্যান্য উত্সগুলি অনুসরণ করতে পারি না।

— হ্যানো বেকার

আমি সম্ভবত আপনার প্রশ্নের সরাসরি উত্তর দিচ্ছি না, তবে গুডেলের উপপাদ্য এবং ওয়াই-কম্বিনেটর সহ প্রচুর প্যারাডক্সার একটি সাধারণ গাণিতিক সাধারণীকরণ রয়েছে। আমি মনে করি এটি প্রথম লভের দ্বারা অনুসন্ধান করেছিলেন। এছাড়াও দেখুন [2, 3]।

এফডাব্লু লভের, ডায়াগোনাল আর্গুমেন্ট এবং কার্টেসিয়ান বন্ধ বিভাগগুলি ।
ডি। পাভলভিক, প্যারাডক্সের কাঠামোর উপর ।
এনএস ইয়ানোফস্কি, স্ব-রেফারেন্সিয়াল প্যারাডক্সেস, অসম্পূর্ণতা এবং স্থির পয়েন্টগুলির কাছে সর্বজনীন দৃষ্টিভঙ্গি ।

— মার্টিন বার্গার
সূত্র

{Lind}^{1} \times {Lind}^{1} \to {Lind}^{0}

$\text{Lind}^1\times\text{Lind}^1\to\text{Lind}^0$

@ হ্যানোবেকার এটি কোডিংয়ের পক্ষে বেশ কঠিন এবং সংবেদনশীল হতে পারে।

— মার্টিন বার্গার

আপনার প্রশ্নের উত্তর আমার কাছে নেই তবে আমার কাছে এটি রয়েছে:

হিসাবে প্রতি উইকিপিডিয়া বলছে

$Q(x, y)$ $p$
$φ_{পি} ≃ λ Y । প্রশ্নঃ (পি, Y)$ $\varphi_p\simeq \lambda y.Q(p, y)$ $\varphi$ $\mathbb{N}$

$\lambda$

$\phi$ ${\mathscr T}$ $n$
$টি ⊢ φ (\bar{এন}) \Leftrightarrow টি ⊢ \exists Y, φ_{এন} (Y) = 0$ ${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n}) \Leftrightarrow {\mathscr T}\vdash \exists y, \varphi_n(y)=0$

এটি আপনি যা চান তা ঠিক নয়, তবে একটি অভ্যন্তরীণকরণ কৌশল আপনাকে আরও শক্তিশালী বক্তব্য দিতে পারে

${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n})\leftrightarrow \exists y, \varphi_n(y) = 0$

এখন আবার এটি লজিক্যাল ফিক্স-পয়েন্ট উপপাদ্য নয়, তবে এটি একই উদ্দেশ্যে কাজ করতে পারে।

প্রুফ: সংজ্ঞায়িত করুন $Q(x,y)$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত পুনরাবৃত্তি ফাংশন হতে
$প্রশ্নঃ (এক্স, Y) = 0 iff টি ⊢ φ (\bar{এক্স}) সর্বাধিক Y ধাপ$ $Q(x,y) = 0 \mbox{ iff }{\mathscr T}\vdash \phi(\overline{x})\mbox{ in at most $y$ steps}$ এটা দেখতে সহজ $Q$ (মোট) পুনরাবৃত্তি। মনে রাখবেন যে $\exists y, Q(x, y)$ expresses the fact " ${\mathscr T}$ proves $\phi(\overline{x})$ ", and that this is true iff ${\mathscr T}\vdash\exists y,Q(\overline{x}, y)$ (we are assuming $\omega$ -consistency). Now a simple application of the Kleene Recursion Theorem on $Q$ gives us the desired conclusion. $\square$

With a little thought, you can probably strengthen this argument to give you the full theorem directly without the internalization.

— cody
সূত্র

Thank you for your answer! Let me go slowly to see if I understand you: In your first statement, can

φ : N ≅ C (N, N)

$\varphi:{\mathbb N}\cong\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$ be completely arbitrary, or do you at least want the induced Currying map

C (N^{2}, N) \to Map (N, C (N, N)) ≅ Map (N, N)

$\text{C}({\mathbb N}^2,{\mathbb N})\to\text{Map}({\mathbb N},\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N}))\cong\text{Map}({\mathbb N},{\mathbb N})$ to have image in the partial recursive functions

C (N, N)

$\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$ , and that the induced evaluation

N^{2} \to N

${\mathbb N}^2\to{\mathbb N}$ ,

(n, m) \mapsto φ (n) (m)

$(n,m)\mapsto\varphi(n)(m)$ be computable?

— Hanno Becker

With these assumptions, I understand the statement is true; however, though - as in many of these types of statements - the similarity with the

Y

$Y$ -combinator in

λ

$\lambda$ -calculus is striking, I do not see how you would make it a formal consequence of the latter. Could you elaborate?

— Hanno Becker

For the first point: you are correct, you want

φ

$\varphi$ to be "sane" in the sense you describe. For the second point: the

Y

$Y$ combinator essentially expresses

Y f ≃ f (Y f)

$Y\ f\simeq f(Y\ f)$ . The recursion theorem says essentially the same thing: take

p := Y Q

$p:= Y\ Q$ . However, the theory of partial recursive functions allows for slightly more generality: the code of a function is distinct from the function itself. The equivalent in

λ

$\lambda$ -calculus would be having a quote and eval operation as in Lisp. In this sense, the recursion theorem is more general than the existence of the

Y

$Y$ combinator.

— cody