স্কোয়ার গ্রিডে লুকানো বহুভুজ ধাঁধাটির জটিলতা?

Question

Hiroimono একটি জনপ্রিয় কমপ্লিট ধাঁধা। আমি সম্পর্কিত ধাঁধার গণ্য জটিলতায় আগ্রহী।$NP$

সমস্যা হল:

ইনপুট : একটি x স্কোয়ার গ্রিড এবং পূর্ণসংখ্যা পয়েন্টগুলির একটি সেট দেওয়া$n$$n$$k$

প্রশ্ন : বহুভুজ কোণে পয়েন্ট সংখ্যা কমপক্ষে হয় এমন একটি পুনর্গঠন বহুভুজ (এর পক্ষগুলি বা এক্সিস সমান্তরাল ) আছে ?$x$$y$$k$

বহুভুজের প্রতিটি কোণ অবশ্যই ইনপুট পয়েন্টগুলির একটিতে থাকতে হবে (সুতরাং কেবল কোনও ইনপুট পয়েন্টে মোড় অনুমোদিত)।

এই সমস্যাটির জটিলতা কী? সমাধানটি উত্তল আবরণীয় বহুভুজের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকলে জটিলতা কী?

13 এপ্রিল সম্পাদনা করুন: বিকল্প গঠন: প্রদত্ত পয়েন্টগুলিতে সর্বাধিক কোণ সহ একটি পুনরাবৃত্তাকার বহুভুজটি সন্ধান করুন।

Comments

ডাব্লিক প্রোগ্রামিং দ্বারা উত্তল পুনরাবৃত্তাকার বহুভুজগুলি বহুবর্ষে দ্রবণীয় হওয়া উচিত নয়?

— পিটার শর

হ্যাঁ, এটা করা উচিত।

— জেফি

@ জেফি, সাধারণ নন-উত্তল ক্ষেত্রে কীভাবে? আপনার প্রবণতা কি?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

এর মধ্যে অনেক সমস্যার জন্য আপনার সেরা বাজি হ'ল প্ল্যানার 3 এস্যাট বা এমনকি প্ল্যানার এনএই-স্যাট জাতীয় কিছু দিয়ে শুরু করা। এটি মারাত্মকভাবে কুৎসিত হবে, তবে পরিকল্পনাগুলি আপনাকে আপনার প্রয়োজনীয় কাঠামো দেয়।

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ কেবল একটি নোট: চারপাশে গুগল করে দেখতে পেলাম NAE3SAT এর প্ল্যানার সংস্করণটি পি ( portal.acm.org/… ) এ রয়েছে।

— মারজিও দে বায়াসি

Answer 1

আমি এই অদ্ভুত হ্রাস সম্পর্কে চিন্তা করেছি (এটি ভুল হওয়ার সম্ভাবনা বেশি :-)। ধারনা: ডিগ্রী অর্জন গ্রিড গ্রাফ উপর হ্যামিল্টনিয়ান পথ থেকে হ্রাস ; প্ল্যানার গ্রাফের প্রতিটি নোড এমনভাবে স্থানান্তরিত হতে পারে যাতে প্রতিটি "সারি" ( y মান) এবং প্রতিটি "কলাম" ( x মান) সর্বাধিক একটি নোড থাকে। গ্রাফটি পরিমাপযোগ্য হতে পারে এবং প্রতিটি নোডকে অনেকগুলি পয়েন্ট সহ একটি বর্গক্ষেত্র গ্যাজেট দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে; গ্যাজেটগুলির মধ্যে অনুভূমিক লিঙ্কগুলি (মূল গ্রাফের প্রান্তগুলি) স্বতন্ত্র সারিগুলিতে জোড়া পয়েন্টের সাহায্যে তৈরি করা হয়েছে, স্বতন্ত্র কলামগুলিতে পয়েন্টের জোড় ব্যবহার করে উল্লম্ব লিঙ্কগুলি। নোড ট্র্যাভারসালগুলি স্কোয়ার গ্যাজেটের "বহু পয়েন্ট" ব্যবহার করতে বাধ্য হয়।$\leq 3$$y$$x$

নোড গ্যাজেটটি নিম্নলিখিত চিত্রটিতে প্রতিনিধিত্ব করা হয়েছে:

এর 3 টি "ইন্টারফেস পয়েন্ট" (স্বতন্ত্র কলাম / সারিগুলিতে), এবং সি × সি পয়েন্টগুলির অভ্যন্তরীণ সীমানা রয়েছে । একটি পললাইন যা গ্যাজেটটিকে একটি ইন্টারফেস পয়েন্ট থেকে অন্য ইন্টারফেসে প্রবেশ করে সেগুলিতে অনেকগুলি কোণ থাকতে পারে যা সি এর সাথে আনুপাতিক হয় (গ্যাজেটের তিনটি ট্র্যাভারসাল চিত্রটিতে প্রদর্শিত হয়), বিশেষত কোণার পয়েন্টগুলির সংখ্যা 2 ডিগ্রি থেকে 2 ডিগ্রি সেন্টিগ্রেডের মধ্যে থাকে + 2 (গ্যাজেটের মোট পয়েন্টের সংখ্যা সি × সে - 4 + $[W,N,E]$$C \times C$$C$$2C$$2C+2$$C \times C - 4 + 6$)। গ্যাজেটটি অন্যান্য ইন্টারফেস পয়েন্ট সংমিশ্রণগুলি ( , [ ই , এস , ডাব্লু ] , [ এস , ডাব্লু , এন ] ) পেতে ঘোরানো যেতে পারে " ।$[N,E,S]$$[E,S,W]$$[S,W,N]$

এখন আমরা প্ল্যানার গ্রিড গ্রাফটি এমনভাবে স্থানান্তর করতে পারি যে প্রতি জোড়া নোডের জন্য , x 1 ≠ x 2 এবং y 1 ≠ y 2 । একটি সাধারণ 4 × 3 গ্রিডের নিম্নলিখিত চিত্রটি দেখুন । এরপরে, আমরা গ্রাফটি স্কেল করতে পারি এবং উপরের গ্যাজেটের সাথে প্রতিটি নোড প্রতিস্থাপন করতে পারি। এই পর্যায়ে প্রতিটি গ্যাজেটটি "বিচ্ছিন্ন": একটি পললাইন এক গ্যাজেট থেকে অন্য গ্যাজেটে যেতে পারে না।$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$$x_1 \neq x_2$$y1 \neq y_2$$4 \times 3$

$E$$W$

$4 + 2C$$2e$

$n$$e$$C > (4n+2e)$$k = 2Cn$

Answer 2

$V$

দ্বিতীয়ত, মার্টেন ল্যাফলার এবং এ্যালিনা ম্যামফোর্ডের এই রচনার একটি সুন্দর আপডেট রয়েছে, একটি গবেষণাপত্রে, " পয়েন্ট সেটগুলিতে সংযুক্ত রেকটিনিয়ার গ্রাফস ," কমপিটেশনাল জ্যামিতির জার্নাল , 2 (1), 1-15, 2011. তাদের বিমূর্তি থেকে:

$V$