কোলমোগোরভ জটিলতা কী একটি সার্জেক্টিভ ফাংশন?

Question

আসুন আমরা টিউরিং-মেশিনগুলির একটি এনকোডিং এবং একটি সর্বজনীন টুরিং-মেশিন, ইউ, ঠিক করি যে ইনপুট (টি, এক্স) ইনপুট এক্স-তে যে ফলাফল আউটপুট দেয় (সম্ভবত উভয়ই চিরকাল চলমান) out সংক্ষিপ্ততম প্রোগ্রামের দৈর্ঘ্য হিসাবে পি, কে (এক্স) এর কোলমোগোরভ জটিলতা নির্ধারণ করুন, যেমন ইউ (পি) = x।

এমন কোনও এন কি আছে যে সকলের জন্য এন> এন এর সাথে কে (এক্স) = এন আছে?

লক্ষ্য। আমরা যদি সার্বজনীন ট্যুরিং-মেশিনগুলিকে অন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করি তবে উত্তরটি নেতিবাচক হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ইউ কে বিবেচনা করুন যা ইনপুট (টি, এক্স) টি টি সিমুলেট করে এক্স (টি, এক্স) এর দৈর্ঘ্য যদি 100 দ্বারা বিভাজ্য হয় এবং অন্যথায় কিছুই করে না does সর্বজনীন টিউরিং-মেশিনের বিভিন্ন সংজ্ঞার জন্য কাউন্টারিক্স উদাহরণগুলি পেতে কেউ এই উদাহরণকে বিভিন্ন উপায়ে পরিবর্তন করতে পারে।

Comments

আপনি যা চেয়েছিলেন তা থেকে দূরে, তবে আমি মনে করি যে এটির চিত্রটি প্রমাণ করা শক্ত নয় $K$ নির্বিশেষে ইতিবাচক লিনিয়ার ঘনত্ব রয়েছে $U$। এটি উদাহরণস্বরূপ বোঝাচ্ছে$K(x)$অসীম প্রায়শই সম্মিলিত।

— ড্যান ব্রুমলেভ

Answer 1

কোনও গভীর অন্তর্দৃষ্টি সহ কেবল একটি বর্ধিত মন্তব্য: সম্ভবত আপনি কোনও টুরিং মেশিনের এনকোডিংয়ে প্রতারণা করতে পারেন, এবং একটি কৃত্রিম এনকোডিং তৈরি করতে পারেন যা একটি surjective কলমোগোরভ জটিলতার দিকে নিয়ে যায়:

• $0$ টুরিং মেশিনের প্রতিনিধিত্ব করে যা আউটপুট করে $0$ (1 রাষ্ট্র টিএম);
• $0p$ টুরিং মেশিনের প্রতিনিধিত্ব করে যা আউটপুট করে $p+1$ (বাইনারি স্ট্রিং দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা সংখ্যা $p$এক যোগ করুন); এটি কেবলমাত্র একটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য টিএম এর অন্তর্নিহিত "জিপড" সংস্করণ যা ফলাফল আউটপুট করে$p+1$;
• $1p$ প্রতিনিধিত্ব করে $p+1$একটি স্ট্যান্ডার্ড গণনার মধ্যে তৃতীয় টুরিং মেশিন (গণনা ইতিমধ্যে অন্তর্ভুক্ত টিএমএস এড়িয়ে যেতে পারে $0$ এবং $0p$)।

ইনপুটটিতে সংশ্লিষ্ট সর্বজনীন টিএম $bx$ এর মান কী তা পরীক্ষা করে $b$, যদি হয় $0$ তারপরে এটি কেবল আউটপুট করে $x+1$অন্যথায় এটি টিএম অনুকরণ করে $M_{x+1}$ ($M_0$ কখন $x$খালি স্ট্রিং); মনে রাখবেন যে$M_{x+1}$ ইনপুটগুলি এম্বেড করে।

সমস্ত স্ট্রিং জন্য $x$, $1 \leq K(x) \leq |x|+1$; এবং সকলের জন্য$n \geq 1$ সেখানে $2^{n}$ দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং $n$ কিন্তু আছে শুধুমাত্র $2^{n-1}-1$ দৈর্ঘ্যের প্রোগ্রাম $< n$ যে ব্যবহার করে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে $1p$এনকোডিং; এবং শুধুমাত্র$2^{n}-1$ দৈর্ঘ্যের প্রোগ্রাম $n$ যে ব্যবহার করে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে $1p$এনকোডিং; কমপক্ষে একটি স্ট্রিং$x'$ দৈর্ঘ্যের $n$ কোনও প্রোগ্রামের সাথে প্রতিনিধিত্ব করা যায় না $1p$ দৈর্ঘ্যের $\leq n$; তবে এটি অবশ্যই প্রোগ্রামের সাথে প্রতিনিধিত্ব করতে পারে$0x'$ দৈর্ঘ্যের $n+1$ (যদি কোনও প্রোগ্রাম থাকে তবে আমরা চিন্তা করি না $1p$ একই দৈর্ঘ্যের $n+1$ এটি এটি উত্পন্ন করে)।

আমরা এটি সবার জন্য উপসংহারে নিতে পারি $n > 1$, একটি স্ট্রিং আছে $x', |x'|=n$ যেমন যে $K(x') = n+1$ (সুতরাং এই নির্দিষ্ট কে surjative)।