গম্বুজযুক্ত ট্রিউইথের প্ল্যানার গ্রাফগুলি গণনা করা হচ্ছে

Question

আমি নিম্নলিখিত সমস্যার জন্য রেফারেন্স খুঁজছি: প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা $n$ এবং $k$, সমস্ত অ-সমকামী পরিকল্পনাকারী গ্রাফগুলি গণনা করুন $n$ শীর্ষে এবং বৃক্ষ প্রস্থ $\leq k$। আমি তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিক ফলাফল উভয়ই আগ্রহী, তবে বেশিরভাগ ব্যবহারিক অ্যালগরিদমগুলি যে কোডগুলি সম্ভব এবং যতগুলি সম্ভব মূল্যের জন্য চালানো সম্ভব$n$ এবং $k$ (মনে $k \leq 5$ এবং $n \leq 15$)। আপনার যদি ইতিমধ্যে উত্তর থাকে তবে নীচের রামগুলিকে উপেক্ষা করুন।

সমস্ত অ-isomorphic গ্রাফগুলি গণনা করার জন্য নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি ঠিকঠাক কাজ করে $n$ শীর্ষে এবং বৃক্ষ প্রস্থ $\leq k$ (অর্থাত্ পরিকল্পনার সীমাবদ্ধতা বাদ দেওয়া হয়):

(ক) সমস্ত নন-আইসোমরফিক গ্রাফগুলি গণনা করুন $n-1$ শীর্ষে এবং বৃক্ষ প্রস্থ $\leq k$।

(খ) প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর জন্য $G$ চালু $n-1$ শীর্ষে এবং বৃক্ষ প্রস্থ $\leq k$, প্রতিটি চক্র $C$ চালু $\leq k$ শিখুন $G$ এবং প্রতিটি উপসেট $S$ প্রান্ত মধ্যে $C$, তৈরি $G'$ থেকে $G - S$ একটি নতুন ভার্টেক্স যুক্ত করে $v$ নিকটে $C$। যোগ$G'$ তালিকায় ${\cal L}$ on grahs $n$ শীর্ষে এবং বৃক্ষ প্রস্থ $\leq k$।

(গ) ছাঁটাই ${\cal L}$ একই গ্রাফের অনুলিপিগুলি সরিয়ে দিয়ে।

গাছের প্রস্থের প্ল্যানার গ্রাফগুলি গণনা করার জন্য এটি প্রসারিত করার একটি লোভনীয় উপায় $\leq k$হ'ল প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে নন-প্ল্যানার গ্রাফগুলি কেবল ফিল্টার আউট করা। দুর্ভাগ্যক্রমে এটি ট্রিউইথের সমস্ত প্ল্যানার গ্রাফ তৈরি করতে ব্যর্থ$\leq k$ (উদাহরণস্বরূপ, কারণ এটি কেবল গণনা করে $4$-গ্রাফ ডিজাইনার)।

অবশ্যই আমরা সমস্ত গ্রাফটি গণনা করতে পারি $n$ শীর্ষে এবং বৃক্ষ প্রস্থ $\leq k$ এবং কেবলমাত্র অ-পরিকল্পনাকারীগুলিকেই ফিল্টার আউট করুন তবে এটি কাজে লাগাতে ব্যর্থ হয় যে বেশিরভাগ গ্রাফগুলি অ-পরিকল্পনাকারী এবং খুব উপ-অনুকূল বলে মনে হয়।

Comments

আপনি কি নিশ্চিত যে আপনি এটি বাস্তবায়ন করতে এবং ফলাফলটি পরীক্ষা করতে চান? অ-সমজাতীয় গাছের সংখ্যা ইতিমধ্যে ঘনঘটিত।

— Saeed

@ সাeedদ: নিশ্চিত - ২০ টি নোডের জন্য গাছের সংখ্যা দশ লক্ষেরও কম, তাই আমি আশা করি এটি কমপক্ষে এর পক্ষে সম্ভব হবে $n \leq 15$।

— ড্যানিয়েলো

কিভাবে থেকে শুরু সম্পর্কে $n$সর্বোচ্চ চক্রের আকারের -ভারটেক্স কর্ডাল গ্রাফ $k + 1$, এবং এটিকে পরিকল্পনাকারী করতে প্রান্তগুলি সরান?

— Yixin Cao

@ যিক্সিন কও এগুলি গ্রাফগুলি + গাছের পঁচনগুলি গণনার অনুরূপ দেখায় (অর্থাত্ একই গাছের প্রতি গাছের ডেস্কে একবার একই চিত্র দেখা যায়)। এখনও পর্যন্ত এটি বেশ ধীর হয়ে গেছে (তবে কিছু অপ্টিমাইজেশন একটি এই পদ্ধতির

— বাস্তবায়ন

@ স্তানিয়েলো, আমি আপনার বক্তব্যটি দেখতে পেয়েছি কিন্তু আপনি কি এই অ্যাপ্লিকেশনটি দেখেছেন : cs.anu.edu.au/~bdm/plantri , তারা দাবি করে যে তারা এক সেকেন্ডে 1M প্ল্যানার গ্রাফ তৈরি করতে পারে ( আইসোমর্ফিজমের প্রতি শ্রদ্ধায়)। (এটি আপনি যা চান ঠিক তেমনটি নয়, 1-2-3 সংযুক্ত প্ল্যানার গ্রাফের জন্য এটি নিখুঁত বলে মনে হচ্ছে, যদিও 15 টি উল্লম্বে 4-5 সংযুক্ত প্ল্যানার গ্রাফ নেই)।

— Saeed

Answer 1

একটি দুর্দান্ত সফ্টওয়্যার রয়েছে যা আইসোমর্ফিজমের সাথে সম্পর্কিত ছোট প্ল্যানার গ্রাফ তৈরি করে যা সাহায্য করতে পারে। যেহেতু আমি দেখতে পাচ্ছি সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হ'ল নন-আইসোমর্ফিক প্ল্যানার গ্রাফ তৈরি করা হয়েছিল এবং সেই প্ল্যানার গ্রাফগুলির বেশিরভাগই (15 টিরও কম অংশে) ছোট গাছের প্রস্থের।

তাদের গাছের প্রস্থ প্রদত্ত মানের চেয়ে ছোট কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য $k$, একটি উপায় হ'ল এই গণনাটি গতি বাড়ানোর জন্য হিউরিস্টিক অ্যালগরিদম ব্যবহার করা, কেবলমাত্র সঠিক আলগোরিদিম ব্যবহারিক না হওয়ার ক্ষেত্রে। যেমন একটি প্ল্যানার গ্রাফ$G$ প্রথম আমরা একটি ব্যাস খুঁজে পেতে পারেন $G$ এবং সংশ্লিষ্ট পথ $P$ দৈর্ঘ্যের $d$(যা একটি ব্যাস)। তারপরে একটি শীর্ষবিন্দু সন্ধান করুন$v\in P$ যার সবচেয়ে দীর্ঘতম দূরত্ব রয়েছে ($l$) অন্য যে কোনও ভার্টেক্সে $u\in G\setminus P$ সমস্ত শীর্ষে মধ্যে $w\in P$। এর গাছপালা$G$ সর্বাধিক হয় $d+l$, যদি এটি এর চেয়ে ছোট হয় $k$ তারপরে আমাদের হয় অন্যথায় হয় অন্য কিছু হিউরিস্টিক অ্যালগরিদম প্রয়োগ করুন বা সঠিক অ্যালগরিদম চালান।

3-সংযুক্ত গ্রাফের চেয়ে কম গ্রাফের জন্য কাটা ছেদচিহ্নগুলি সন্ধান করে এবং তারপরে এই শীর্ষগুলি স্থির করে এবং অবশিষ্ট গ্রাফের গাছের প্রস্থটি সন্ধান করে তাত্পর্য প্রয়োগ করা সম্ভব। নোডের সংখ্যা কম হওয়ায় ($15$) যদি গ্রাফ হয় $4$সংযুক্ত থাকলে ব্যাসটি বড় নয় এবং আমি মনে করি সেখানে প্রথম হিউরিস্টিকের কাজ করা উচিত। (আমি জানি না সর্বাধিক 15 টি শীর্ষে কোনও 5 সংযুক্ত প্ল্যানার গ্রাফ রয়েছে কিনা, তবে আমরা জানি যে এখানে কোনও নেই)$t$জন্য সংযুক্ত প্ল্যানার গ্রাফ $t>5$)

গাছের প্রস্থের বৃহত্তম বাধা আকার হিসাবে $k$ জানা নেই আমরা প্রদত্ত গ্রাফের ট্রিউইথের উপরের দিকের মানটি সহজেই অনুমান করতে পারি না $G$। তবে মনে হচ্ছে কমপক্ষে প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য এটি এত বড় হওয়া উচিত নয় (এর জন্য একটি প্রমাণ দেওয়া উচিত)।

Answer 2

একজন সকল জোড়াকে গণনা করতে পারেন $G,B$ কোথায় $G$ সর্বাধিক গাছের প্রস্থ সহ প্ল্যানার গ্রাফ $k$, $B$ আকারের একটি ব্যাগ $k$ যেমন একটি গাছ পচনের অস্তিত্ব আছে $G$ সঙ্গে $B$ একটি ব্যাগ হিসাবে।

এখন প্রতিটি জুটির জন্য $G,B$ কোথায় $G$ হয়েছে $n-1$ শীর্ষস্থানগুলি আমরা একটি নতুন গ্রাফ তৈরি করি $G'$ প্রতিটি উপসেট জন্য $S$ এর $B$ একটি ভার্টেক্স যুক্ত করে $v$ সঙ্গে $S$ প্রতিবেশী হিসাবে এবং যাক $B'$ একটি আকার হতে $k$ এর উপসেট $B \cup v$। যোগ$G',B'$ যদি $G'$ ইহা ইতিমধ্যে পাওয়া যেকোন জুটির কাছে পরিকল্পনাকারী এবং আইসমোর্ফিক নয়।

কতগুলি এন্ট্রি সংরক্ষণ করতে হবে তার উপর একটি সহজ উপরের আবদ্ধ $n \choose k$গণিত গ্রাফের সংখ্যাটি গুন করলেও এটি হতাশাবাদী বাউন্ডু। ট্রিউইথ কে-এর বেশিরভাগ গ্রাফের জন্য, সাইজের কে-এর বেশিরভাগ সাবসেটগুলি ব্যা ব্যাগ রাখতে পারে না, যেমন ক$k \times n$ গ্রিড কেবল আছে $n \cdot 3^{k-1}$ সম্ভাব্য ব্যাগ

আমি বিশ্বাস করি এটি নন প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য পাশাপাশি অ্যালগরিদমটি সম্পাদন করবে যেহেতু প্রতিটি জোড় জি, বি এর জন্য আমরা বি কে একটি চক্র তৈরি করে একটি গ্রাফ পাই, এই গ্রাফগুলির বেশিরভাগই নন আইসমোর্ফিক হবে।

এটির গতি বাড়ানোর জন্য এমন কয়েকটি কৌশল প্রয়োগ করা যেতে পারে, আমি তা দেখার পরামর্শ দেব: http://www.siam.org/meetings/alenex04/abstacts/HBodlaender.pdf

Comments

সব গণিত গ্রাফ বেষ্টিত থাকবে না pathwidth treewidth বদলে?

— ড্যানিয়েলো

আমি আপনি ঠিক মনে করেন. বি 'এর পছন্দ খুব সীমিত।

— মার্টিন ভ্যাশেল 14