টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলি একটি প্রদত্ত জটিলতার নীচে * সমস্ত * অ্যালগোরিদম প্রকাশ করতে পারে?

আমি জানি যে, ওয়াই কম্বিনেটর আদিম ছাড়া টাইপড ল্যাম্বদা ক্যালকুলির বেশিরভাগ ধরণের জটিলতা বাউন্ডেড, অর্থাত্ টাইপ সিস্টেমের এক্সপ্রিটিভিটি বাড়ার সাথে সাথে সীমাবদ্ধ জটিলতার কেবল কার্যগুলিই প্রকাশ করা যেতে পারে। আমি মনে করি যে, উদাহরণস্বরূপ, ক্যালকুলাস অফ কনস্ট্রাকশনস সবচেয়ে দ্বিগুণ তাত্পর্যপূর্ণ জটিলতা প্রকাশ করতে পারে।

আমার প্রশ্নটি উদ্বেগযুক্ত যে টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলি একটি নির্দিষ্ট জটিলতার নীচে সমস্ত অ্যালগরিদম প্রকাশ করতে পারে , বা কেবল কিছু? যেমন ল্যাম্বা কিউবে কোনও আনুষ্ঠানিকতা দ্বারা প্রকাশযোগ্য নয় এমন কোনও ক্ষতিকারক-সময়কালের অ্যালগরিদম রয়েছে? জটিলতার জায়গার "আকৃতি" কী যা সম্পূর্ণরূপে কিউবের বিভিন্ন শীর্ষে ছেয়ে যায়?

— jkff
সূত্র

আমি মনে করি উত্তরটি হ্যাঁ: আমরা সীমাবদ্ধ সময়ের সর্বজনীন টুরিং মেশিনটি প্রকাশ করতে পারি।

— কাভেহ

আপনি কি দ্বিগুণ ঘনিষ্ঠভাবে উপরের সীমানা সম্পর্কে নিশ্চিত? যদ্দুর মনে পড়ে, cóc সবচেয়ে ভাবপূর্ণ ল্যামডা ঘনক এর "কোণ", যা এটি সিস্টেম এফ (অর্থাত বহুরুপী অন্তর্ভুক্ত মানে

-calculus), যা যায় পথ অতিক্রম দোকর সূচকীয় ... যাই হোক, উত্তর স্পষ্টভাবে হল হ্যাঁ , উদাহরণস্বরূপ এখানে আমার উত্তর দেখুন । আপনি চাইলে আমি আরও বিস্তারিত উত্তর পোস্ট করতে পারি।

λ

$\lambda$

— দামিয়ানো মাজাজা

দুঃখিত, আমি আপনার প্রশ্নের ভুল ব্যাখ্যা করা, আপনি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা করছি না কিছু টাইপ

-calculi কিন্তু বিশেষভাবে সম্পর্কে টাইপ

ল্যামডা ঘনক এর -calculi। আমার ভয় কোন আকর্ষণীয় জটিলতা আছে আছি, তারা সবাই যদিও আমি শুধুমাত্র সিস্টেম এফ ও সিস্টেম এফ জন্য সুনির্দিষ্ট উত্তর জানা হয় পর্যন্ত খুব ভাবপূর্ণ,

।

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

_{ω}

$_\omega$

— দামিয়ানো মাজাজা

অ্যাকারম্যান ফাংশনটি নির্মাণের ক্যালকুলাসে প্রকাশ করা যেতে পারে, সুতরাং এটি ঠিক হতে পারে না যে এটি কেবল দ্বিগুণ ব্যয়যুক্ত।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

আমি মনে করি আমি কাকআর্ট বইটিতে এই সীমাবদ্ধতার বিষয়ে পড়েছি তবে আমার খুব সম্ভবত ভুল হয়েছে। ধন্যবাদ!

— jkff

আমি একটি আংশিক উত্তর দেব, আমি আশা করি অন্যরা শূন্যস্থান পূরণ করবে।

টাইপ করা (-calculi, একটি ডেটা স্বাভাবিক উপস্থাপনাগুলির ক্ষেত্রেও একটি টাইপ দিতে পারে চার্চ জন্য (ইউনারী) পূর্ণসংখ্যার, $\lambda$ $\mathsf{Nat}$ বাইনারি স্ট্রিং জন্য, Booleans জন্য) এবং আশ্চর্যের কিছু কি ফাংশন জটিলতা হয় / সমস্যাগুলি টাইপড শর্তাদি দ্বারা প্রতিনিধিত্বযোগ্য / সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য। আমি কেবল কিছু ক্ষেত্রে সুনির্দিষ্ট asnwer জানি, এবং সহজভাবে টাইপ করা ক্ষেত্রে এটি "উপস্থাপনযোগ্য / সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য" সংজ্ঞা দেওয়ার সময় ব্যবহৃত কনভেনশনটির উপর নির্ভর করে। যাইহোক, আমি এমন কোনও ক্ষেত্রে জানি না যেখানে দ্বিগুণ ঘনিষ্ঠভাবে উপরের গণ্ডি রয়েছে। $\mathsf{Str}$ $\mathsf{Bool}$

প্রথমে, ল্যাম্বদা কিউবে একটি সংক্ষিপ্ত পুনরুদ্ধার। এর 8 টি ক্যালকুলি কেবলমাত্র টাইপ করা -ক্যালকুলাস (এসটিএলসি) এর উপরে নিম্নলিখিত 3 ধরণের নির্ভরতা সক্ষম বা অক্ষম করে প্রাপ্ত হয় : $\lambda$

পলিমারফিজম : পদগুলি প্রকারের উপর নির্ভর করে;
নির্ভরশীল প্রকার : প্রকারগুলি শর্তাদি উপর নির্ভর করে;
উচ্চতর ক্রম : প্রকারের উপর নির্ভর করতে পারে।

(শর্তাদি শর্তাবলী নির্ভরতা সর্বদা আছে)।

পলিমারফিজম যুক্ত করে সিস্টেম এফ দেয় s এখানে, আপনি চার্চ পূর্ণসংখ্যাকে দিয়ে টাইপ করতে পারেন এবং একইভাবে বাইনারি স্ট্রিং এবং বুলিয়ানগুলির জন্য। Girard প্রমাণ ধরনের সিস্টেম এফ পদ ঠিক সংখ্যাসূচক ফাংশন যার সম্পূর্ণতা দ্বিতীয় ক্রম Peano গাণিতিক মধ্যে প্রতিপাদ্য হল প্রতিনিধিত্ব করে। এটি বেশ দৈনিক গণিত (পছন্দ মতো কোনও রূপ ছাড়াই), সুতরাং শ্রেণিটি বিশাল, একারম্যান ফাংশন এটির মধ্যে একরকম ক্ষুদ্র জীবাণু, এটি ফাংশনটি ছেড়ে দেওয়া $\mathsf{Nat}:=\forall X.(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$ $\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$ । আমি কোনো "স্বাভাবিক" সংখ্যাসূচক ফাংশন যা সিস্টেম এফ উদাহরণ প্রতিনিধিত্ব করা যাবে না সাধারণত diagonalization দ্বারা নির্মিত হয়, অথবা সিদ্ধান্ত মত দ্বিতীয় ক্রম পিএ, বা অন্যান্য স্ব-উল্লেখ ঠাট (এর দৃঢ়তা এনকোডিং জানি নাসিস্টেমের মধ্যে -সাম্য এফ নিজেই)। অবশ্যই সিস্টেম এফ আপনি ইউনারী পূর্ণসংখ্যার মধ্যে রূপান্তর করতে পারেনএবং তাদের বাইনারি উপস্থাপনাউদাহরণস্বরূপ, এবং তারপর পরীক্ষা প্রথম বিট 1 কিনা, তাই নির্ধার্য সমস্যার শ্রেণী (ধরণ শর্তাবলী দ্বারা) সমান বিশাল। $2^{2^n}$ $\beta$ $\mathsf{Nat}$ $\mathsf{Str}$ $\mathsf{Str}\rightarrow\mathsf{Bool}$

ল্যাম্বদা কিউবের অন্যান্য 3 টি ক্যালকুলি রয়েছে যার মধ্যে পলিমারফিজম অন্তর্ভুক্ত রয়েছে সুতরাং এটি কমপক্ষে সিস্টেম এফ হিসাবে প্রকাশিত হয় These এর মধ্যে রয়েছে সিস্টেম এফ (পলিমরফিজম + + উচ্চতর ক্রম), যা ঠিক উচ্চতর ক্রম বিশ্বের সেরা provably মোট ফাংশন প্রকাশ করতে পারেন, এবং ক্যালকুলাস কনস্ট্রাকশনস (সিওসি), যা কিউবের সর্বাধিক অভিব্যক্তিপূর্ণ ক্যালকুলাস (সমস্ত নির্ভরতা সক্ষম হয়)। গাণিতিক তত্ত্ব বা সেট থিউরিগুলির ক্ষেত্রে আমি কোটির প্রকাশের বৈশিষ্ট্য জানি না, তবে এটি অবশ্যই ভয়ঙ্কর হতে পারে :-) $_\omega$

আমি কেবল নির্ভরশীল প্রকারগুলি (মূলত সাম্যতা এবং প্রাকৃতিক সংখ্যা ছাড়াই মার্টিন-ল্যাফ টাইপ তত্ত্ব), উচ্চতর আদেশের ধরণ বা উভয়ই সক্ষম করে প্রাপ্ত ক্যালকুলি সম্পর্কে অনেক বেশি অজ্ঞ am এই ক্যালকুলিতে, প্রকারগুলি শক্তিশালী তবে পদগুলি এই শক্তিটিতে অ্যাক্সেস করতে পারে না, তাই আপনি কী পান তা আমি জানি না। গণনামূলকভাবে, আমি মনে করি না যে আপনি সাধারণ ধরণের চেয়ে বেশি বেশি প্রকাশ করতে পারেন তবে আমার ভুল হতে পারে।

সুতরাং আমরা এসটিএলসির সাথে রয়েছি। আমি যতদূর জানি, এটি আকর্ষণীয় (যেমন, মৈথুনিকভাবে বড় নয়) জটিলতা উপরের সীমানা সহ কিউবের একমাত্র ক্যালকুলাস। এটি সম্পর্কে টিসিএস.এসই সম্পর্কে একটি উত্তরহীন প্রশ্ন রয়েছে এবং বাস্তবে পরিস্থিতিটি কিছুটা সূক্ষ্ম।

প্রথমে আপনি পরমাণুর ঠিক যদি এবং সংজ্ঞায়িত , আছে Schwichtenberg এর ফলাফলের (আমি জানি সেখানে ওয়েবে যে কাগজ কোথাও একজন ইংরেজি অনুবাদ কিন্তু আমি এটা খুঁজে পাচ্ছি না এখন) আপনি বলে যে ধরনের ফাংশন ঠিক বর্ধিত polynomials হয় (সঙ্গে যদি-তারপর-আর)। আপনি কিছু "ঢিলা" অনুমতি দিলে, অর্থাত আপনি প্যারামিটার অনুমতি স্বেচ্ছায় instantiated করা এবং ধরন পরিপ্রেক্ষিতে বিবেচনা $X$ $\mathsf{Nat}:=(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$ $\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$ $X$ )। সুতরাং এসটিএলসিতে প্রতিনিধিত্বযোগ্য সংখ্যাসূচক ফাংশনগুলির শ্রেণিটি কিছুটা অদ্ভুত, এটি প্রাথমিক ফাংশনগুলির একটি কঠোর উপসেট তবে এটি সুপরিচিত কোনও কিছুর সাথে মিল নয়। স্বেচ্ছাসেবীরসাথে , আরও অনেক উপস্থাপন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, exponentials কোন টাওয়ার (যাতে আপনি দোকর সূচকীয় ছাড়িয়ে যেতে পারে) পাশাপাশি পূর্বসুরী ফাংশন, কিন্তু এখনও কোন বিয়োগ (যদি আপনি বাইনারি ফাংশন বিবেচনা তাদের টাইপ করতে চেষ্টা $\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}$ $A$ $\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}[A']\rightarrow\mathsf{Nat}$

উপরের সাথে সুস্পষ্ট বিপরীতে, মাইয়ারসনের এই কাগজটিতে এটি দেখানো হয়েছে যে কীভাবে একটি স্বেচ্ছাসেবী টুরিং মেশিন এর রূপান্তর ফাংশনটি এনকোড করতে হয় , যেখান থেকে আপনি টাইপ (কোনও ধরণের জন্য) উপর নির্ভর করে ) যা, একটি চার্চ পূর্ণসংখ্যা দেওয়া ইনপুট হিসাবে, সঞ্চালনের simulates ফর্মের ধাপের একটি সংখ্যা জন্য একটি নির্দিষ্ট প্রারম্ভিক কনফিগারেশন থেকে শুরু $M$ $\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$ $A$ $M$ $n$ $M$

2^{2^{⋮^{2^{n}}}},

$2^{2^{\vdots^{2^n}}},$ টাওয়ারের উচ্চতা স্থির করে। এটি এটি দেখায় না যে প্রতিটি প্রাথমিক সমস্যাটি এসটিএলসি দ্বারা নির্ধারিত হয়, কারণ এসটিএলসিতে কোনও বাইনারি স্ট্রিং (টাইপ

) রূপান্তর করার কোনও উপায় নেই যা

এর ইনপুটকে কনফিগারেশনের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য ব্যবহৃত টাইপটিতে উপস্থাপন করে

S t r

$\mathsf{Str}$

M

$M$

এ মায়ারসনের এনকোডিং। সুতরাং এনকোডিংটি কোনওভাবে "অ-ইউনিফর্ম": আপনি প্রতিটি ইনপুটটির জন্য একটি পৃথক শব্দ ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট ইনপুট থেকে প্রাথমিকভাবে দীর্ঘ-মৃত্যুদন্ড কার্যকর করতে পারেন, তবে এমন কোনও শব্দ নেই যা স্বেচ্ছাচারিত ইনপুটগুলি পরিচালনা করে।

M

$M$

আসলে, এসটিএলসি "অভিন্ন" সিদ্ধান্ত নিতে পারে তাতে এটি অত্যন্ত দুর্বল। যাক আমাদের কল ভাষায় বর্গ ধরণ কেবল টাইপ শর্তাবলী দ্বারা নির্ধার্য কিছু (উপরে মতো, আপনি টাইপিং মধ্যে অবাধ "ঢিলা" অনুমতি দিন)। যতদূর আমি জানি, এর একটি সুনির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য অনুপস্থিত। তবে, আমরা জানি যে $\mathcal C_{ST}$ $\mathsf{Str}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$ $A$ $\mathcal C_{ST}$ $\mathcal C_{ST}\subsetneq\mathrm{LINTIME}$ (নির্ধারক লিনিয়ার সময়) উভয়টি সংযুক্তি এবং সত্য যে এটি কঠোর, খুব পরিষ্কার ঝাঁকুনি যুক্তি দ্বারা দেখানো হতে পারে (এসটিএলসির স্ট্যান্ডার্ড ডোনোটেশনাল শব্দার্থ ব্যবহার করে সীমাবদ্ধ সেটগুলির বিভাগে)। প্রাক্তনটিকে সম্প্রতি দেখিয়েছিলেন তেরুই । পরেরটি মূলত স্ট্যাটম্যানের পুরানো ফলাফলগুলির একটি সংশোধন। সমস্যার উদাহরণ $\mathrm{LINTIME}\setminus\mathcal C_{ST}$ হ'ল বড় আকারের (একটি বাইনারি স্ট্রিং দেওয়া আছে, এটিতে 0 এর চেয়ে আরও 1s রয়েছে কিনা তা বলুন)।

(অনেক) পরে অ্যাড-অন: আমি সবেমাত্র জানতে পেরেছি যে উপরে আমি যে ক্লাসকে বলি তারা আসলে করে $\mathcal C_{ST}$ একটি সুনির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা ততোধিক অতি সাধারণ। 1996 এর এই সুন্দর কাগজে , হিলাব্র্যান্ড এবং কানেলাকিস প্রমাণ করেছেন, অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যেও

উপপাদ্য। (নিয়মিত ভাষায় $\mathcal C_{ST}=\mathsf{REG}$ $\{0,1\}$ )।

(এটি তাদের কাগজে থিওরেম 3.4))

আমি এটি দ্বিগুণ আশ্চর্যরূপে পেয়েছি: ফলাফলটি নিজেই আমি অবাক হয়েছি (এটি আমার কাছে কখনও ঘটেনি যে এত "ঝরঝরে" কোনও কিছুর সাথে সামঞ্জস্য করতে পারে) এবং এটি কতটা অল্প পরিচিত তা দ্বারা। এছাড়া মজাদার যে Terui এর প্রমাণ উপরের ব্যবহারসমূহ আবদ্ধ একই পদ্ধতি হিলেব্র্যান্ড এবং Kanellakis দ্বারা নিযুক্ত (ব্যাখ্যা কেবল টাইপ সসীম সেট বিষয়শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত -calculus)। অন্য কথায়, তেরুই (এবং আমি) খুব সহজেই এই ফলাফলটি পুনরায় আবিষ্কার করতে পারতাম না যদি আমরা "অদ্ভুত" শ্রেণি হওয়ার কারণে একরকম খুশী হতাম :-) $\mathcal C_{ST}$ $\mathrm{LINTIME}$ $\lambda$ $\mathcal C_{ST}$

(ঘটনাচক্রে, আমি "অজানা উপপাদ্য" সম্পর্কে একটি এমও প্রশ্নের এই উত্তরে আমার অবাক করে দিয়েছি )।

— দামিয়ানো মাজা
সূত্র

উত্তরটি কেবল আবার নামটি দেখতে উত্তর পড়া শেষ হয়েছে। আমি মনে করি আপনি ইতিমধ্যে আমার নিজের অধ্যাপকদের চেয়ে বেশি আমাকে শিখিয়েছেন। ইন্টারনেট একটি সুন্দর জিনিস। ধন্যবাদ।

— মাইয়াভিক্টর

@ দামিয়ানো মাজাজা আপনার উত্তরটি পছন্দ হয়েছে, তবে "অভিন্নতা" ধারণাটি এত তুচ্ছ নয়, তাই না?

— Andrea Asperti

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

দামিয়ানো তার দুর্দান্ত উত্তরে উত্থাপিত একটি প্রশ্নের উত্তর:

আমি কেবল নির্ভরশীল প্রকারগুলি (মূলত সাম্যতা এবং প্রাকৃতিক সংখ্যা ছাড়াই মার্টিন-ল্যাফ টাইপ তত্ত্ব), উচ্চতর আদেশের ধরণ বা উভয়ই সক্ষম করে প্রাপ্ত ক্যালকুলি সম্পর্কে অনেক বেশি অজ্ঞ am এই ক্যালকুলিতে, প্রকারগুলি শক্তিশালী তবে পদগুলি এই শক্তিটিতে অ্যাক্সেস করতে পারে না, তাই আপনি কী পান তা আমি জানি না।

$_\omega$

$\lambda{P}$ $\lambda{P}\omega$

আপনি যদি প্রস্তাবনামূলক প্রকার এবং বৃহত বিলোপগুলি যুক্ত করেন তবে নির্মাণগুলির অবিশ্বাস্য ক্যালকুলাসের শক্তি কী তা আমি জানি না।

— নীল কৃষ্ণস্বামী
সূত্র

ধন্যবাদ @ নীল! আমার ধারণা এখন আমাদের কাছে পুরো ছবি আছে।

— দামিয়ানো মাজাজা

আমি দামিয়ানের দুর্দান্ত উত্তরটি পরিপূরক করার চেষ্টা করব।

$\lambda$ $F$ $\mathrm{HA}_2$

$\cal{T}$ $\cal{L}$ $\cal{T}$ $\cal{L}$

$\cal{L}$

$F$ $\mathrm{HA}_2$
$T$ $\mathrm{PA}$ $F$

$\lambda$ $\mathrm{PTIME}$

সাধারণভাবে এটি গবেষণার একটি বৃহত উপায়, সুতরাং আমি কেবল আমার পূর্ববর্তী উত্তরগুলির একটি উল্লেখ করব ।

— কোডি
সূত্র

Cf. জটিলতা তাত্ত্বিক বৈকল্পের জন্য স্টিফেন কুক এবং আলাসডায়ার আরউখার্টের " সম্ভাব্য গঠনমূলক গাণিতিকের কার্যকরী ব্যাখ্যা ", 1993।

— কাভেহ