সর্বাধিক ওজন "ন্যায্য" মিলছে

আমি গ্রাফের সাথে সর্বোচ্চ ওজনের মিলের বৈকল্পিকের প্রতি আগ্রহী, যাকে আমি "সর্বাধিক ফেয়ার ম্যাচিং" বলি।

ধরে নিন যে গ্রাফটি পূর্ণ $E=V\times V$ ), এর এমনকি বহু সংখ্যাসমুহ রয়েছে এবং ওজন একটি লাভজনক ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়েছে । একটি মানানসই দেওয়া , বোঝাতে দ্বারা প্রান্ত মুনাফা সঙ্গে মিলেছে হয়। $p:{V\choose 2}\to \mathbb N$ $M$ $M(v)$ $v$

মিলে যাওয়া হ'ল একটি মিলে যাওয়া মিল, যদি কোনও দুটি উল্লম্বের জন্য আপনার : $M$ $u,v\in V$

(\forall w \in V : p ({w, v}) \geq p ({w, u})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u)$

অর্থাৎ, যদি থাকে প্রান্তবিন্দু জন্য , ম্যাচিং একটি প্রান্তবিন্দু করার একটি প্রান্তবিন্দু তা মিলে বেশী মুনাফা দেয় , একটি ন্যায্য ম্যাচিং চলা আবশ্যক । $w\in V$ $w$ $v$ $u$ $M(v)\geq M(u)$

আমরা কি দক্ষতার সাথে সর্বাধিক ওজন মেলা মেলাতে পারি?

আকর্ষণীয় কেসটি হ'ল যখন গ্রাফ দ্বিপক্ষীয় হয় এবং ন্যায্যতা কেবলমাত্র একদিকে প্রযোজ্য হয়, এটি ধরে নেওয়া হয় যে , এবং আমাদের একটি লাভ ফাংশন দেওয়া হবে । $G=(L\cup R,L\times R)$ $p:L\times R\to \mathbb N$

একজন ফেয়ার দ্বিপাক্ষিক মেলা একটি মেলা যেমন যে কোন দুটি ছেদচিহ্ন জন্য : $G$ $u,v\in L$

(\forall w \in R : p ({v, w}) \geq p ({u, w})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u)$

সর্বাধিক ওজন মেলা দ্বিপক্ষীয় মিলটি আমরা কত দ্রুত খুঁজে পেতে পারি?

দ্বিপক্ষীয় বিশেষ ক্ষেত্রে থেকে এই সমস্যার প্রেরণা আসে। ধরুন আপনার কাছে কর্মী এবং কাজ রয়েছে এবং কর্মী কাজ থেকে লাভ উত্পাদন করতে পারি । এখানে সমস্যাটি হ'ল একটি যুক্তিসঙ্গত নকশা করা (এক অর্থে শ্রমিকরা "ছিঁড়ে ফেলা" "বোধ করবেন না) যখন মোট পরিশোধের পরিমাণ সর্বাধিক করা যায় ((এখানে একটি কার্যনির্বাহী কার্যবিধি এবং সামাজিক বেনিফিটের মধ্যে একটি বাণিজ্য রয়েছে) is $n$ $m$ $i$ $p_{i,j}$ $j$

যদি আমরা মুনাফার পরিমাণ হিসাবে কর্মীদের নিয়োগের সামাজিক-কল্যাণ (বা কারখানার লাভ) সংজ্ঞায়িত করি।

কাজের নিয়োগকারীর ক্ষমতার জন্য বিভিন্ন পরিস্থিতিতে দেখে আমরা নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি পাই:

যদি আমাদের কোনও কাজের জন্য কোনও কর্মী নিযুক্ত করার অনুমতি দেওয়া হয় তবে আমরা কারখানাকে দক্ষতার সাথে অনুকূল করতে পারি (কেবলমাত্র একটি সর্বাধিক ওজনের মিলের সন্ধান করুন)।
যদি প্রতিটি কর্মী নিজেই কোনও কাজ বেছে নেয় তবে ধরে নেওয়া যায় যে তার কাজটি নির্বাচিত হবে (প্রতিটি কাজের জন্য কেবলমাত্র একটি একক কাজ বেছে নেওয়া যেতে পারে) যদি তিনি এই কাজটি বেছে নিয়েছেন এমন সবচেয়ে যোগ্য কর্মী হওয়া উচিত, তবে শ্রমিকরা '' লোভী 'রূপান্তরিত হবে will 'ভারসাম্য। কারণটি হ'ল যে কর্মী সর্বাধিক উপার্জন করতে পারে ( ) সেগুলি সবচেয়ে লাভজনক কাজ এবং আরও অনেক কিছু বেছে নেবে। মেলানোর জন্য লোভী অ্যালগরিদমের আনুমানিক হারের দ্বারা, এটি সর্বাধিক সামাজিক-কল্যাণের একটি 2-সান্নিধ্য দেওয়া উচিত। $i=\mbox{argmax}_i \max_j p_{i,j}$

আমি মাঝে মধ্যে কিছু খুঁজছি ধরে নেওয়া যাক আমরা কর্মীদের চাকরিতে নিয়োগ করতে পারি, তবে তাদের প্রতিশ্রুতি দিতে হবে যে কোনও "কম-যোগ্য" শ্রমিক তাদের চেয়ে বেশি উপার্জন করতে পারে না।

আমরা কীভাবে কর্মীদের দক্ষতার সাথে "ন্যায্যতা" প্রতিশ্রুতিবদ্ধ সর্বাধিক ওজন খুঁজে পাব?

— আর বি
সূত্র

স্পর্শকাতরভাবে, দ্বিতীয় (দ্বিপক্ষীয়) ক্ষেত্রে, উদাহরণ তৈরি করা সহজ বলে মনে হয় যেখানে প্রতিটি "ন্যায্য" মিলনই প্রথম শ্রমিককে 1 টি লাভ দেয় এবং বাকী শূন্য, যদিও সেখানে "অন্যায়" ম্যাচগুলি প্রথম শ্রমিককে লাভ দেয়! এবং অন্য সকলে profit লাভ করে । একইভাবে, যেখানে সর্বোচ্চ-ওজন ন্যায্য ম্যাচিং প্রতিটি কর্মী মুনাফা দেয় উদাহরণ , যদিও প্রতিটি কর্মী মুনাফা দান অন্যায্য matchings আছে ।

1 - 2 ϵ

$1−2\epsilon$

1 - ϵ

$1−\epsilon$

2 / n

$2/n$

{1 - ϵ, 1 - 2 ϵ}

$\{1-\epsilon,1-2\epsilon\}$

— নিল ইয়ং

@ নিল ইউং - আমি কী ধরে নিচ্ছি যে লাভগুলি আলাদা হলে এই পরিস্থিতিগুলি থাকতে পারে না?

— আরবি

এটি গেম তত্ত্বের একটি স্ট্যান্ডার্ড ইস্যুর মতো বলে মনে হচ্ছে যেখানে বিকল্পগুলির মধ্যে পার্থক্য করার অক্ষমতা সামাজিক কল্যাণকে উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করে।

— আরবি

উফফ, আমি আমার মন্তব্যটি প্রত্যাহার করে নিই - আমি নিশ্চিত নই যে এই উদাহরণগুলি সর্বোপরি উপলব্ধিযোগ্য!

— নিল ইয়ং

আমি বিশ্বাস করি যে "সর্বাধিক ওজন মেলা দ্বিপক্ষীয় মিল" আপনি যেমনটি নির্ধারণ করেছেন এটি এনপি-হার্ড। আরও বেশি, ন্যায্য দ্বিপক্ষীয় মিলের অস্তিত্ব নির্ধারণ করা এনপি-হার্ড।

প্রুফ স্কেচ দেওয়ার আগে, স্বজ্ঞাততার জন্য, নিম্নলিখিত ছোট উদাহরণটি বিবেচনা করুন। নিন যেখানে , । নিন যেমন যে জন্য এবং , যখন জন্য এবং । তারপরে এবং সমান, এই অর্থে যে সমস্ত , সুতরাং যে কোনও সুষ্ঠু মিলের ক্ষেত্রে অবশ্যই এবং একই লাভ দেওয়া উচিত। সুতরাং, একমাত্র ন্যায্য ম্যাচগুলি মেলে match $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $L=\{a,b\}$ $R=\{c,d,e,f\}$ $p$ $p(u,w) = 0$ $u\in L$ $w\in\{c,d\}$ $p(u,w) = 1$ $u\in L$ $w\in\{e,f\}$ $a$ $b$ $p(a, w) = p(b, w)$ $w\in R$ $a$ $b$ $a$ এবং থেকে এবং , বা তারা এবং থেকে এবং সাথে মেলে । এই ধরণের গ্যাজেট ব্যবহার করে আমরা মিলের প্রান্তগুলিতে সমন্বয় জোর করতে পারি। এটি হ্রাসের ভিত্তি। $b$ $c$ $d$ $a$ $b$ $e$ $f$

এখানে একটি প্রমাণ চেষ্টা করা হয়। এটি কিছুটা জড়িত। সম্ভবত কিছু ভুল রয়েছে তবে আশা করি যে কোনও ভুল সংশোধন করা যেতে পারে।

লেমামা ১. প্রদত্ত এবং সমস্যার মধ্যে বর্ণিত হিসাবে, মধ্যে একটি ন্যায্য মিল রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করে এনপি হয় -hard। $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$

প্রুফ স্কেচ প্রমাণটি কিউবিক গ্রাফগুলিতে ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেট থেকে হ্রাস দ্বারা হয়। আসুন ইনডিপেন্ডেন্ট সেটের একটি প্রদত্ত উদাহরণ হয়ে উঠুন যেখানে কিউবিক গ্রাফ (প্রতিটি প্রান্তের ডিগ্রি 3 থাকে)। আমরা কীভাবে একটি গ্রাফ এবং লাভ ফাংশন নির্মাণ করবেন তা বর্ণনা করি: এমন যে সাথে একটি দ্বিপক্ষীয় মিল রয়েছে যদি এবং কেবলমাত্র এর যদি স্বতন্ত্র আকারের । $(G=(V,E),k)$ $G'$ $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$ $G$ $k$

এর শীর্ষবিন্দু জোড়ায় আসবে, যাদের অংশীদার বলা হয় । অনুরূপভাবে মধ্যে ছেদচিহ্ন জন্য । প্রতিটি প্রান্তবিন্দু জন্য , আমরা দিন এর অংশীদার বোঝাতে । এবং এর অংশীদার প্রতিটি শীর্ষবিন্দু সমান হবে , যার অর্থ আমরা ফলস্বরূপ, যে কোনও সুষ্ঠু মিলের জন্য অবশ্যই একই এবং অর্পণ করতে হবে । এরপরে, আমরা এর মান বোঝাতে ব্যবহার করি । $L$ $R$ $v\in L\cup R$ $v'$ $v$ $\ell\in L$ $\ell'\in L$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r) for all r \in R .

$p(\ell, r) = p(\ell', r) \text{ for all } r\in R.$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

π (ℓ, r)

$\pi(\ell, r)$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r)

$p(\ell,r) = p(\ell', r)$

উপরন্তু, প্রতিটি জোড়া জন্য মধ্যে , এবং অংশীদারদের প্রতিটি জোড়া মধ্যে , নয়তো আমরা তৈরি অথবা আমরা করতে সাবেক ক্ষেত্রে, তাই আমরা যদি বলি অনুমতি এবং সাথে মানানসই করা এবং (কারণ এমনটি একই মুনাফা নির্ধারণ হবে এবং , যেমন প্রয়োজন)। পরেরটির ক্ষেত্রে, আমরা বলতে আমরা প্রতিরোধ এবং হচ্ছে (উভয়) থেকে মিলেছে থেকে এবং $\ell$ $L$ $r, r'$ $R$

π (ℓ, r) = π (ℓ, r^{'})

$\pi(\ell, r) = \pi(\ell, r')$

π (ℓ, r) \neq π (ℓ, r^{'}) .

$\pi(\ell, r) \ne \pi(\ell, r').$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$ (কারণ এটি করার ফলে profit এবং তে একই লাভ অর্জিত হবে না )।

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

প্রদত্ত গ্রাফ ঘনক্ষেত্র হওয়ায় এটি, এবং যে কোনো স্বাধীন সেট আকারের মধ্যে ঠিক ঘটনার হল প্রান্ত। স্বরলিপি কর্মের যে জন্য অনুমান । $G=(V,E)$ $3|V|=2|E|$ $I$ $k$ $G$ $3k$ $V=\{1,2,\ldots,n\}$

প্রতিটি প্রান্ত জন্য, নিম্নলিখিতটি করুন। $\{i, j\}\in E$

অংশীদার ছেদচিহ্ন একজোড়া যোগ করুন করার । $r(\{i,j\}), r'(\{i,j\})$ $R$
শেষবিন্দু জন্য , ছেদচিহ্ন অংশীদার একজোড়া যোগ থেকে । সেট যার ফলে এবং সাথে মানানসই করা এবং । $i$ $\ell(i,j), \ell'(i,j)$ $L$
$π (ℓ (i, j), r ({i, j})) = π (ℓ (i, j), r^{'} ({i, j})) = i,$ $\pi(\ell(i,j), r(\{i,j\})) = \pi(\ell(i,j), r'(\{i,j\}))= i,$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$
সমান্তরালভাবে, অন্য প্রান্তের : অংশীদারি উল্লম্বের আরও এক জোড়া যুক্ত করুন থেকে , এবং সেট করুন যার ফলে এবং এবং সাথে মিলিত হতে হবে । $j$ $\ell(j,i), \ell'(j,i)$ $L$
$π (ℓ (j, i), r ({i, j}) = π (ℓ (j, i), r^{'} ({i, j})) = j,$ $\pi(\ell(j,i), r(\{i,j\}) = \pi(\ell(j,i), r'(\{i,j\}))= j,$ $\ell(j,i)$ $\ell'(j,i)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$

এবং প্রতিটি For এর জন্য এখনও অবধি যুক্ত করা হয়েছে, যদি এই জুটি সুস্পষ্টভাবে (উপরের) সাথে সাথে মিলে যাওয়ার অনুমতি না দেওয়া হয় , তবে নির্ধারণ করে ম্যাচটি এবং প্রতিটি কিছু কিছু অনন্য সংখ্যা। $\ell\in L$ $r\in R$ $\ell, \ell'$ $r, r'$ $\pi(\ell, r)$ $\pi(\ell, r')$

এর পরে, যোগ জোড়া ফিলার করার ছেদচিহ্ন । প্রতিটি ফিলার ভার্টেক্স এবং প্রতিটি , সেট । $3(|V|-k)$ $R$ $r$ $\ell(i,j)\in L$ $\pi(\ell(i,j), r) = 0$

অবশেষে, দু'রকমের যোগ এবং করার জন্য (অংশীদারদের) দুই ছেদচিহ্ন সহ, এবং (এছাড়াও অংশীদারদের) এর । সেট , যার ফলে এবং সাথে মানানসই করা এবং । প্রতিটি অন্যান্য শীর্ষবিন্দুর জন্য, কিছু অনন্য সংখ্যায় সেট করুন । (অতএব, যে কোনও ন্যায্য ম্যাচিং অবশ্যই এবং থেকে এবং সাথে )) প্রতি every এর জন্য $L_0$ $L'_0$ $L$ $R_0$ $R'_0$ $R$ $\pi(L_0, R_0) = \pi(L_0, R'_0) = 1$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $r\in R$ $\pi(L_0, r)$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ , প্রতিটি ঘটনার প্রান্তের জন্য , set এবং । $\{i,j\}\in E$ $\pi(\ell(i,j), R_0) = i$ $\pi(\ell(i,j), R'_0) = |V|-i+1$

যে হ্রাস সম্পূর্ণ। শেষ করার জন্য, আমরা প্রমাণ করি যে এটি সঠিক।

প্রথমে মধ্যে কোন জোড় পূর্ববর্তীটির উপর , অর্থাৎ $\ell(i,j),\ell(i',j')\in L$

(\forall r \in R) π (ℓ (i, j), r) \leq π (ℓ (i^{'}, j^{'}), r) .

$(\forall r\in R)~\pi(\ell(i,j),r) \le \pi(\ell(i',j'), r).$

এবং কে প্রান্তের অর্পিত মুনাফার কথা বিবেচনা করে , এই শর্তটি কেবলমাত্র হলেই পূরণ করা যায় , এবং, বাকি প্রান্তের জন্য এর সংজ্ঞা পরিদর্শন করলে , শর্তটি যথেষ্ট। সুতরাং যথাযথ হয় যদি কেবলমাত্র এটি এবং কে এবং , এবং এছাড়াও, প্রতিটি , এর জন্য একই লাভ দেয় $R_0$ $R'_0$ $i=i'$ $\pi$ $i=i'$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$

N (i) = {ℓ (i, j) : {i, j} \in E} \cup {ℓ^{'} (i, j) : {i, j} \in E} .

$N(i) = \{\ell(i,j) : \{i,j\}\in E\} \cup \{\ell'(i,j) : \{i,j\}\in E\}.$

প্রথমত, অনুমান একটি স্বাধীন সেট আছে আকারের । নীচে থেকে সাথে একটি সুষ্ঠু মিল পান । $G$ $I$ $k$ $G'$ $I$

ম্যাচ এবং করার এবং । $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$

প্রতিটি প্রান্তবিন্দু জন্য যাক তার তিনটি ঘটনা প্রান্ত হতে। প্রতিটি প্রান্তের জন্য match এবং এর অংশীদার থেকে এবং । এর মধ্যে সবাই ছেদচিহ্ন দেয় লাভ । $i\in I$ $\{i,j_1\}, \{i,j_2\}, \{i,j_3\}$ $\{i, j_h\}$ $\ell(i,j_h)$ $\ell'(i,j_h)$ $r(\{i,j_h\})$ $r'(\{i, j_h\})$ $N(i)$ $i$

প্রত্যেকের জন্য ছেদচিহ্ন , তিন প্রান্ত প্রত্যেকের জন্য ঘটনার ম্যাচ ও তার সহযোগী ফিলার ছেদচিহ্ন কিছু অনন্য যুগল থেকে এবং তার অংশীদার । এটি লাভ এ সমস্ত শীর্ষে দেয় । $|V|-k$ $i\in V\setminus I$ $\{i,j\}$ $i$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r$ $r'$ $N(i)$ $0$

অতএব, এই মিলটি ন্যায্য।

এর পরে, অনুমান ন্যায্য ম্যাচিং হয়েছে । $G'$ $M$

$M$ অবশ্যই এবং থেকে এবং । ভিআই-তে প্রতিটি জন্য , মিলটি অবশ্যই প্রতিটি ভার্টিক্সকে তে একই লাভ করতে হবে। এ প্রতিটি , এর অংশীদার এছাড়াও । সুতরাং, হ্রাসের পরিদর্শন করে, এই জাতীয় প্রতিটি শীর্ষের মুনাফা অবশ্যই হয় (যে ক্ষেত্রে এর সমস্ত ছয়টি উল্লম্বটি উল্লম্ব এবং তাদের অংশীদারদের সাথে মিলে যায়) বা শূন্য (এই ক্ষেত্রে এর সমস্ত ছয়টি উল্লম্ব মধ্যে পূর্ণদৈর্ঘ্যের সাথে মিলে গেছে )। দিন $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ $N(i)$ $\ell(i,j)\in N(i)$ $\ell'(i,j)$ $N(i)$ $i$ $N(i)$ $r(\{i,j\})$ $N(i)$ $R$ $I$ পূর্বের কেসটি ধরে তার জন্য শীর্ষ প্রান্তের সেট। প্রতিটি প্রান্ত , শীর্ষবিন্দু এবং এর অংশীদারগুলির জন্য প্রতিটি একটি করে একটি ভার্টেক্সের সাথে মিলে যায়। এটি অনুসরণ করে যে একটি স্বাধীন সেট। যেহেতু গর্ত ইত্যাদি বোজানো ছেদচিহ্ন সংখ্যা , মাপ অন্তত হতে হবে । $\{i,j\}$ $r(\{i,j\})$ $I$ $6(|V|-k)$ $I$ $k$

QED (?)

আমি মনে করি এটি মূলত সঠিক, যদি কিছুটা বিশৃঙ্খলা হয়। আপনি যদি কোনও ভুল দেখতে পান বা প্রমাণকে সহজ করার কোনও উপায় দেখান তবে আমাকে জানান।

উপরের হ্রাসটি ধরে নিল এটি নেওয়া ঠিক আছে। যদি এটি অনাকাঙ্ক্ষিত হয় তবে আমি অনুমান করব যে আমরা দিয়ে প্যাড করতে পারি ফিলার , এবং প্রান্তগুলি বাদে তাদের সমস্ত প্রান্তকে 0 লাভ প্রদান করে । ফিলার শীর্ষগুলি অন্য কোনও শীর্ষবিন্দু দ্বারা প্রভাবিত হয় না (না প্রাধান্য পায়) তা নিশ্চিত করতে আমরা পরবর্তী প্রান্তগুলিতে মুনাফা নির্ধারণ করতে পারি। $|R|>|L|$ $L$ $|R|-|L|$ $R_0$ $R'_0$

— নিল ইয়ং
সূত্র