যদি পি = এনপি হয় তবে আমরা কি গোল্ডবাচের কনজেকচার ইত্যাদির প্রমাণ পেতে পারি?

এটি আমার দক্ষতার বাইরে একটি নির্লজ্জ প্রশ্ন; অগ্রিম ক্ষমা

গোল্ডবাচের কনজেকচার এবং গণিতে অনেকগুলি অমীমাংসিত প্রশ্নকে প্রাকটিক্যাল ক্যালকুলাসে সংক্ষিপ্ত সূত্র হিসাবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কুকের কাগজ "কম্পিউটারগুলি কি গণিতের প্রুফগুলিকে নিয়মিত আবিষ্কার করতে পারে?" হিসাবে অনুমান যে সূত্র

\forall n [(n > 2 \land 2 | n) \supset \exists r \exists s (P (r) \land P (s) \land n = r + s)]

$\forall n [( n > 2 \wedge 2 | n) \supset \exists r \exists s (P(r) \wedge P(s) \wedge n = r + s) ]$

যদি আমরা বহু-বহু-দীর্ঘকালীন প্রমাণগুলির দিকে মনোযোগ সীমাবদ্ধ রাখি, তবে এই জাতীয় প্রমাণ সহ তত্ত্বগুলি এনপিতে রয়েছে in সুতরাং যদি পি = এনপি, আমরা নির্ধারণ করতে পারি যে উদাহরণস্বরূপ গোল্ডবাচের অনুমানটি বহুবর্ষের সময় সত্য।

আমার প্রশ্ন হ'ল: আমরা কি বহুপাক্ষিক সময়ে একটি প্রমাণ প্রদর্শন করতে সক্ষম হব?

সম্পাদনা করুন । পিটার শোর এবং কাভের মন্তব্য অনুসারে, আমার দাবিটি যোগ্য হওয়া উচিত ছিল যে আমরা নিশ্চিত করতে পারি যে গোল্ডবাচের অনুমানটি সত্য যদি এটি একটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ সহ তত্ত্বগুলির মধ্যে একটি হয়। আমরা অবশ্যই জানি না!

— জোসেফ ও'রউর্ক
সূত্র

প্রথমত, গোল্ডবাচের অনুমানের একটি সংক্ষিপ্ত (<1000 পৃষ্ঠাগুলি) প্রমাণের জন্য, একটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ থাকতে হবে। পি = এনপি এর সাথে কোন লাভ নেই।

— পিটার শর

@ সুরেশ, @ কাভেঃ আপনার মনে হচ্ছে এটি ভুল হয়ে গেছে। এখানে আমাদের কাছে এনপি অনুসন্ধান সমস্যার একটি কংক্রিট উদাহরণ রয়েছে। যে পরিমাণটি এখানে প্রাসঙ্গিক তা হ'ল উপপাদকের প্রমাণ (উপযুক্ত ফরমাল সিস্টেমে) এর অস্তিত্ব ।

— ক্রিস্টোফার আরনসফেল্ট হ্যানসেন

আরেকটি মন্তব্যটি হ'ল আমরা আসলে একটি অ্যালগরিদম লিখতে পারি, যদি পি = এনপি যদি বিবৃতিটির দৈর্ঘ্য এবং সংক্ষিপ্ত প্রমাণের দৈর্ঘ্যে বহুবচনীয় সময়ে উপস্থিত থাকে তবে প্রদত্ত বিবৃতিটির প্রমাণ খুঁজে পাবে। (এই বহুপদী সমস্ত তত্ত্বগুলির জন্য আবদ্ধ একটি আবদ্ধ), তবে এটি "জ্যোতির্বিজ্ঞান" অ্যালগরিদম হবে।

— ক্রিস্টোফার আরনসফেল্ট হ্যানসেন

@ জো: না, আমি এখনই আলগোরিদিমটি ঠিক এখনই লিখতে পারি! (এমনকি পি = এনপি কিনা তাও জানা নেই)। লেভিনের সর্বজনীন অনুসন্ধান হিসাবে পরিচিত এটি ধারণা।

— ক্রিস্টোফার আরনসফেল্ট হ্যানসেন

@ ক্রিস্টোফার: দুর্দান্ত! এলএস সম্পর্কে জানতেন না। আমি দেখতে পাচ্ছি যে মার্কাস হুটারের এলএস-তে বিভিন্ন ধরণের উন্নতি হয়েছে: "সমস্ত ভাল-সংজ্ঞায়িত সমস্যার জন্য দ্রুততম এবং সংক্ষিপ্ততম অ্যালগরিদম"। কম্পিউটার সায়েন্সের ফাউন্ডেশনগুলির আন্তর্জাতিক জার্নাল, 13 (3): 431-443, 2002.

— জোসেফ ও'রউর্ক

উত্তর:

প্রকৃতপক্ষে!

যদি পি = এনপি, কেবলমাত্র আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে গোল্ডব্যাচের কনজিকিউর (বা অন্য কোনও গাণিতিক বিবৃতি) এর জন্য দৈর্ঘ্যের n এর প্রমাণ রয়েছে কি না, তবে আমরা এটি দক্ষতার সাথেও খুঁজে পেতে পারি!

কেন? কারণ আমরা জিজ্ঞাসা করতে পারি: প্রথম বিট সত্তার উপর শর্তযুক্ত একটি প্রমাণ আছে ... তবে, সেখানে কি প্রথম দুটি বিট সত্তার উপর শর্তযুক্ত একটি প্রমাণ রয়েছে ...., এবং আরও ...

এবং আপনি কিভাবে এন জানতে হবে? ক্রমবর্ধমান ক্রমে আপনি কেবল সমস্ত সম্ভাবনার চেষ্টা করবেন। আমরা যখন সম্ভাব্যতার জন্য একটি পদক্ষেপ নিই তখন আমরা সম্ভাব্যতার জন্যও একটি পদক্ষেপ চেষ্টা করি 1 .. (আই -1)।

— ডানা মোশকভিত্জ
সূত্র

এই লেভিনের সর্বজনীন অনুসন্ধান অ্যালগরিদম না?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তি

@ তুরস্কিস্তানি: হ্যাঁ, এটি!

— ডানা মোশকভিত্জ

ডানা এই প্রশ্নের উত্তর দিয়েছেন। তবে এখানে ব্যবহারিক দিক সম্পর্কে কিছু মন্তব্য রয়েছে।

নোট করুন যে জেডএফসিতে কোনও প্রদত্ত বাক্য প্রমাণযোগ্য কিনা তা পরীক্ষা করা অনির্বাচিত। এর কোনও ফল নেই। (প্রকৃতপক্ষে ) এর অর্থ জিসির মতো প্রথম-আদেশ বাক্য নয়, প্রপোজেশনাল টাউটোলজির পক্ষে প্রমাণগুলি পাওয়া সহজ । $P=NP$ $P=NP$ $P=coNP$

$NP$ $l$ $P=NP$ $l$

$P=NP$ $l$ $l$ $P=NP$ $P$ $DTime(n^2)$ ), তারপরে এই অ্যালগরিদমটি গ্রহণ করা সম্ভব এবং খুব বড় দৈর্ঘ্যের প্রমাণ যাচাই করার জন্য এটি চালানো যেতে পারে যা যে কোনও প্রমাণের চেয়ে বড় হতে চলেছে যে কোনও মানুষ আসতে পারে, এবং যদি অ্যালগরিদম কোনও উত্তর না খুঁজে পায় তবে বাক্য প্রমাণ করা কার্যত অসম্ভব। ডানা যে কৌশলটি উল্লেখ করেছেন তা প্রমাণ খুঁজে পেতে এখানেও কাজ করবে।

ব্যবহারিক উপায়ে:

$P=NP$ $DTime(10000n^{10000})$
এটি কেবলমাত্র একটি প্রমাণ পেলে (অর্থাত্ জেডএফসিতে বাক্যটি একটি অনির্বচনীয় বাক্য নয়) তদতিরিক্ত, প্রমাণটি সম্ভবত সংক্ষিপ্ত হওয়া উচিত।
$P\neq NP$ $NP=DTime(n^{\log^* n})$

— Kaveh
সূত্র

(n^{10})

$(n^{10})$