কীভাবে বোসনস্যাম্পলিং কাগজ জটিল ম্যাট্রিকগুলির সহজ ক্লাস এড়ানো যায়?

Question

ইন রৈখিক অপটিক্স এর গণনীয় জটিলতা ( ECCC TR10-170 ), স্কট Aaronson এবং Alex Arkhipov তর্ক কোয়ান্টাম কম্পিউটারের দক্ষতার শাস্ত্রীয় কম্পিউটার কৃত্রিম হতে পারে তাহলে বহুপদী অনুক্রমের তৃতীয় স্তর collapses। প্রেরণাদায়ী সমস্যাটি রৈখিক-অপটিক্যাল নেটওয়ার্ক দ্বারা সংজ্ঞায়িত বিতরণ থেকে নমুনা দেওয়া; এই বিতরণটি নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের স্থায়ী হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। শাস্ত্রীয় ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্সের সমস্ত এন্ট্রি অ-নেতিবাচক, এবং তাই সম্ভাব্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম উপস্থিত রয়েছে, যেমন মার্ক জের্রাম, অ্যালিস্টায়ার সিনক্লেয়ার এবং এরিক ভিগোদা (জেএসিএম 2004, দোই: 10.1145 / 1008731.1008738)। কোয়ান্টামের ক্ষেত্রে এন্ট্রিগুলি জটিল সংখ্যা। নোট করুন যে সাধারণ ক্ষেত্রে (যখন এন্ট্রিগুলি অ-নেতিবাচক হওয়ার প্রয়োজন হয় না) ভ্যালেন্টের ক্লাসিক 1979 এর ফলাফলের দ্বারা স্থায়ী ফ্যাক্টরের মধ্যেও স্থায়ীটি প্রায় অনুমান করা যায় না।

কাগজ একটি বন্টন সংজ্ঞায়িত একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি , এবং একটি স্যাম্পলিং সমস্যা$D_A$$A$

BosonSampling
ইনপুট: ম্যাট্রিক্স নমুনা: বন্টন থেকে ডি $A$
$D_A$

কঠোরতার ফলাফল ব্যবহার করা শাস্ত্রীয় এবং কোয়ান্টাম ওয়ার্ল্ডের মধ্যে পৃথক হওয়ার দুর্বল প্রমাণ বলে মনে হয়, যেহেতু নির্দিষ্ট কোয়ান্টাম সেটআপে ম্যাট্রিকের শ্রেণি সমস্তই বিশেষ আকারে আসার সম্ভাবনা রয়েছে। তাদের জটিল এন্ট্রি থাকতে পারে, তবে এখনও অনেক কাঠামোর অধিকারী হতে পারে। সাধারণ সমস্যা # পি-হার্ড হলেও, এই জাতীয় ম্যাট্রিকগুলির জন্য একটি কার্যকর নমুনা পদ্ধতি উপস্থিত থাকতে পারে।

কাগজে বোসনস্যাম্পলিংয়ের ব্যবহার কীভাবে সহজ ক্লাস এড়ানো যায়?

কাগজটি প্রচুর পটভূমি ব্যবহার করে যা আমার কোয়ান্টাম জটিলতায় নেই। এই সাইটের সমস্ত কোয়ান্টাম মানুষ দেওয়া, আমি সত্যিই সঠিক দিকে একটি পয়েন্টার প্রশংসা করব। যদি কেউ আবিষ্কার করে যে নির্দিষ্ট পরীক্ষামূলক সেটআপে জটিল-মূল্যবান ম্যাট্রিকের শ্রেণিটি বাস্তবে বন্টনের একটি শ্রেণীর সাথে সামঞ্জস্য করা যায় যা থেকে নমুনা করা সহজ হয় তবে কীভাবে যুক্তিগুলি ধরে রাখা উচিত? বা কোয়ান্টাম সিস্টেমে অন্তর্নিহিত এমন কিছু আছে যা নিশ্চয়তা দেয় যে এটি ঘটতে পারে না?

Answer 1

আপনার প্রশ্নের জন্য ধন্যবাদ! সঠিক বা আনুমানিক বোসনস্যাম্পলিংয়ের জন্য আপনি কঠোরতার ফলাফলগুলিতে আগ্রহী কিনা তার উপর নির্ভর করে দুটি উত্তর রয়েছে।

সঠিক ক্ষেত্রে, আমরা প্রমাণ করেছি যে কোনও এন-বাই-এন জটিল ম্যাট্রিক্স এ দেওয়াতে, আপনি একটি অপটিক্যাল পরীক্ষা তৈরি করতে পারেন যা সম্ভাব্যতা | পের (এ) | এর সাথে সমানুপাতিক একটি নির্দিষ্ট আউটপুট উত্পাদন করে ^ঘ । এর ফলে, বোঝা যাচ্ছে যে কোনও ধ্রুপদী বহু-কালীন অ্যালগরিদম অপটিক্যাল পরীক্ষার (পরীক্ষার বর্ণনা হিসাবে ইনপুট হিসাবে দেওয়া হয়) ঠিক একই বিতরণ থেকে নমুনা করতে পারে না, যদি না পি ^{# পি} = বিপিপি ^{এনপি থাকে} । বাস্তবে আমরা এটি শক্তিশালী করতে পারি, একটি একক ডিস্ট্রিবিউশন ডি _এন দিতে (কেবলমাত্র ইনপুট দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে N) যা পলি (এন) আকারের অপটিক্যাল পরীক্ষার সাহায্যে নমুনা তৈরি করা যেতে পারে, তবে এটি পলি (এন) এ ধ্রুপদীভাবে নমুনা করা যায় না ) পি ^{# পি} = বিপিপি ^{এনপি ব্যতীত সময়} ।

আনুমানিক ক্ষেত্রে, পরিস্থিতি আরও জটিল। আমাদের মূল ফলাফলটি বলে যে, যদি এমন কোনও ধ্রুপদী বহু-কালীন অ্যালগরিদম থাকে যা প্রায় প্রায় অপটিক্যাল পরীক্ষার অনুকরণ করে (আউটপুটগুলির উপর সম্ভাব্যতা বন্টন থেকে নমুনা অর্থে যে 1 / বহু (এন) -রূপে দূরত্বের বন্ধ রয়েছে), তবে বি.পি.পি. ^এনপি , আপনি আনুমানিক | পার (এ) | ² , আইড গাউসিয়ানদের গড় 0 এবং বৈকল্পিক 1 এর এন-বাই-এন ম্যাট্রিক্স এ এর ​​উচ্চ সম্ভাবনার সাথে।

আমরা অনুমান করি যে উপরের সমস্যাটি # পি-হার্ড (খুব কমপক্ষে, বিপিপি ^{এনপিতে নয়} ) এবং আমাদের কাগজের 57-82 পৃষ্ঠাগুলি সমস্তই সেই অনুমানের প্রমাণ হিসাবে রয়েছে।

অবশ্যই, সম্ভবত আমাদের অনুমানটি মিথ্যা এবং আইড গাউসীয় ম্যাট্রিক্সের আনুমানিক স্থায়ীদের জন্য একটি পলি-টাইম অ্যালগরিদম দিতে পারে। এটি একটি অদ্ভুত ফলাফল হবে! যাইহোক, আমরা যে 85 85% কাজের কাজ করেছি তার সম্পূর্ণ বিন্দুটি ছিল যতটা সম্ভব পরিষ্কার, সহজ এবং "কোয়ান্টাম-মুক্ত" এমন একটি কঠোরতা অনুমানের উপর ভিত্তি করে নেওয়া। অন্য কথায়, অনুমানের পরিবর্তে

"আমাদের পরীক্ষায় উদ্ভূত কিছু অদ্ভুত, বিশেষ ম্যাট্রিকগুলির স্থায়ী স্থিরতা হ'ল # পি-হার্ড,"

আমরা দেখাই যে এটি অনুমান করা যথেষ্ট হয়েছে

"আইআইডি গাউসিয়ান ম্যাট্রিক্সের স্থায়ীত্বগুলি অনুমান করা # পি-হার্ড" "

Comments

কাগজের লেখক যখন কাগজ সম্পর্কে প্রশ্নের উত্তর এখানে দেন তখন সর্বদা আমাকে খুশি করে তোলে :)

— সুরেশ ভেঙ্কট