কম্পিউটার বিজ্ঞানে টপোলজির প্রয়োগ

61

আমি কম্পিউটার সায়েন্সের টপোলজির অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে একটি সমীক্ষা লিখতে চাই। আমি কম্পিউটার বিজ্ঞানে টপোলজিকাল ধারণাগুলির ইতিহাসটি কভার করার পরিকল্পনা করেছি এবং বর্তমান কয়েকটি উন্নয়নও হাইলাইট করব। যদি কেউ নীচের যে কোনও প্রশ্নের বিষয়ে ইনপুট দিতে পারে তবে এটি অত্যন্ত সহায়ক হবে helpful

কম্পিউটার বিজ্ঞানে টপোলজির ব্যবহারের কালানুক্রমিক বর্ণনা করে এমন কোনও কাগজপত্র বা নোট রয়েছে?
টপোলজি টু কম্পিউটার সায়েন্সে ফলাফলের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ কী?
গণনা সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি অর্জন করতে টপোলজি ব্যবহার করে বর্তমান কাজের সবচেয়ে আকর্ষণীয় ক্ষেত্রগুলি কী কী?

ধন্যবাদ!

— বেন
সূত্র

8

এই অন্যান্য প্রশ্নের বেশ কয়েকটি উত্তর এখানে প্রাসঙ্গিক: cstheory.stackexchange.com/questions/1920/…

— জোশুয়া গ্রাচো

1

টপোলজিকাল অবজেক্টগুলিকে গণনা করার জন্য, বা মডেল ডেটাতে টপোলজিকাল কনস্ট্রাক্টস ব্যবহারের জন্য অ্যালগরিদমে কাজ সম্পর্কে কী? সেটা কি হিসাবের মধ্যে আসে ?

— সুরেশ ভেঙ্কট

7

এটি একটি দীর্ঘ সমীক্ষা হতে চলেছে ।

— জেফি

2

আপনি সফল হয়েছেন? আপনার সমীক্ষার একটি লিঙ্ক প্রশংসা করা হবে!

— তারেক

এটি প্রোগ্রামিংয়ে টপোলজির একটি সুন্দর অ্যাপ্লিকেশন সম্পর্কিত একটি পোস্ট: math.andrej.com/2007/09/28/…

— হোল্ডেন লি

33

ব্যক্তিগতভাবে, আমি মনে করি টপোলজির সবচেয়ে আকর্ষণীয় প্রয়োগ ছিল হেরলিহি এবং শভিতের কাজ। তারা অ্যাসিনক্রোনাস বিতরণ করা গণনা চিহ্নিত করতে বীজগণিত টপোলজি ব্যবহার করেছিল এবং গুরুত্বপূর্ণ জ্ঞাত ফলাফলের নতুন প্রমাণ দিয়েছে এবং বহু দীর্ঘস্থায়ী খোলা সমস্যা ছুঁড়ে দিয়েছে। তারা সেই কাজের জন্য 2004 এর গোডেল পুরস্কার জিতেছিল।

"টপোলজিকাল স্ট্রাকচার অফ অ্যাসিঙ্ক্রোনাস কম্পিউটেশন" মরিস হারেলিহির এবং নীড় শবিত, এসিএমের জার্নাল, খণ্ড। 46 (1999), 858-923,

— মার্ক রিটব্ল্যাট
সূত্র

5

"সবচেয়ে আকর্ষণীয়" ? এখন তাদের লড়াই আছে! :)

— সুরেশ ভেঙ্কট

28

টোপোলজি হ'ল জ্যামিতিক, বীজগণিত, মেট্রিক, পয়েন্ট-সেট এবং (স্ব-বঞ্চিত) অর্থহীন টপোলজি সহ বিচিত্র সাবফিল্ড সহ এমন একটি পরিপক্ক শৃঙ্খলা। কম্পিউটার বিজ্ঞানও মোটামুটি বিস্তৃত এবং অনেকগুলি গাণিতিক উপ-অঞ্চল রয়েছে, তাই আমি সিএসে টপোলজিক্যাল ধারণাগুলির প্রচুর প্রয়োগ আশা করবো expect মার্শাল স্টোন বলেছিলেন "সর্বদা টপলজলাইজ করুন" এবং প্রয়োজনীয় ব্যাকগ্রাউন্ড সহ কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা প্রায়শই থাকেন। যথেষ্ট বেলা কয়েকটি উদাহরণ।

এই উদাহরণগুলি টপোলজি দ্বারা সমাধান করা কেবলমাত্র হার্ড সিএস সমস্যা নয়। কখনও কখনও একটি টপোলজিকাল ধারণাটি খুব ভাল সিএস সেটিংয়ে স্থানান্তর করে বা সিএসের একটি উপ-অঞ্চলের ভিত্তি দেয়।

প্রজেকশনাল লজিকের কমপ্যাক্টনেস উপপাদ্যটি টাইকোনফের উপপাদ্যটির পরিণতি। প্রথম অর্ডার যুক্তির জন্য সংক্ষিপ্ততা সাধারণত ভিন্নভাবে প্রমাণিত হয়। কমপ্যাক্টনেস ক্লাসিক মডেল তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার।
বুলিয়ান বীজগণিতগুলির জন্য প্রস্তরটির প্রতিনিধিত্বমূলক উপপাদ্য প্রজেকশনাল লজিক, বুলিয়ান বীজগণিত এবং কয়েকটি টপোলজিকাল স্পেসের মডেলগুলির সাথে সম্পর্কিত tes বীজগণিত যুক্তি এবং প্রোগ্রামিং ভাষার শব্দার্থবিদ্যায় ব্যবহৃত কাঠামোর জন্য প্রস্তর-ধরণের দ্বৈত ফলাফল প্রাপ্ত করা হয়েছে।
নিক পিপ্পেঞ্জার নিয়মিত ভাষার বুলিয়ান বীজগণিতায় স্টোনটির উপপাদ্য প্রয়োগ করেছিলেন এবং নিয়মিত ভাষা সম্পর্কে বেশ কয়েকটি তথ্য প্রমাণের জন্য টপোলজি ব্যবহার করেছিলেন। ভাষা তত্ত্বের টপোলজিতে আরও সাম্প্রতিক কাজের জন্য জিন-এরিক পিনের মন্তব্য দেখুন।
আনুষ্ঠানিক পদ্ধতিতে, সুরক্ষা এবং প্রাণবন্ত সম্পত্তি সম্পর্কে ধারণা রয়েছে। প্রতিটি লিনিয়ার-সময় সম্পত্তি সুরক্ষা এবং একটি জীবন্ত সম্পত্তি হিসাবে ছেদ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। প্রমাণটি প্রাথমিক টোপোলজি ব্যবহার করে।
মার্টন এসকার্ডি অসীম সেটগুলি অনুসন্ধান করার জন্য অ্যালগরিদম এবং লিখিত প্রোগ্রামগুলি তৈরি করেছেন। আমি বিশ্বাস করি যে কমপ্যাক্টনেস সেই কাজের একটি মূল উপাদান।
পোলিশ টপোলজিস্টদের কাজ (যেমন কুর্তোভস্কি) আমাদের ক্লোজার অপারেটরদের দিয়েছে। জালাগুলিতে বন্ধ অপারেটরগুলি বিমূর্ত ব্যাখ্যার তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ অঙ্গ, যা স্থির প্রোগ্রাম বিশ্লেষণকে অন্তর্নিহিত করে।
বন্ধ অপারেটর এবং অন্যান্য টপোলজিক্যাল ধারণাগুলি গাণিতিক মরফোলজির ভিত্তি।
মডেল লজিক্সের অচলিতকরণে পোলিশ স্কুল থেকে ইন্টিরিওর অপারেটরদের ধারণাটিও গুরুত্বপূর্ণ।
অনেক কম্পিউটার বিজ্ঞান গ্রাফ ভিত্তিক কাঠামোর উপর ভিত্তি করে। কিছু অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে গ্রাফ এবং টোপোলজির দ্বারা সরবরাহিত প্রকারের তুলনায় সংযুক্তি এবং প্রবাহের আরও ভাল ধারণা প্রয়োজন প্রাকৃতিক পরবর্তী পদক্ষেপ। এটি সম্মতিসূত্র তত্ত্বের ভ্যান গ্লাববিকের উচ্চ-মাত্রিক অটোমেটা এবং সমবর্তী প্রোগ্রামগুলির শব্দার্থকগুলিতে জ্যামিতিক টপোলজির এরিক গৌবোল্টের প্রয়োগ সম্পর্কে আমার পড়া reading
সম্ভবত যে অ্যাপ্লিকেশনটি সবচেয়ে বেশি প্রেস করে তা হ'ল টোপোলজির প্রয়োগ (প্রাথমিকভাবে বীজগণিত, যদিও আরও সংশ্লেষমূলক উপস্থাপনাগুলিও উপস্থিত রয়েছে) বিতরণকৃত কম্পিউটিংয়ের নির্দিষ্ট ফল্ট-সহনশীলতার পরিস্থিতিগুলি চিহ্নিত করতে। উপরে উল্লিখিত হার্লিহী এবং শভিট ছাড়াও, বোরোস্কি এবং গাফনি এবং সাকস এবং জাহারাওগ্লুও এই জাতীয় প্রথম পদক্ষেপের পক্ষে প্রসফ দিয়েছিলেন। অ্যাসিঙ্ক্রোনাস কম্পিউটাবিলিটি কাঠামো এ জাতীয় আরও ফলাফল তৈরি করেছে।
ব্রাউউয়ারের নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদ্যটি আমরা অধ্যয়নরত বেশ কয়েকটি সমস্যার উত্থাপন করেছে। অতি সম্প্রতি অ্যালগরিদমিক গেম তত্ত্বের অধ্যয়নের মধ্যে, জটিলতা শ্রেণি পিপিএডি এবং নির্দিষ্ট পয়েন্ট সমস্যার জটিলতা শ্রেণি ফিক্সপি।
বোরসুক-উলাম প্রপাদে গ্রাফ এবং মেট্রিক এমবেডিংয়ের জন্য বেশ কয়েকটি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে। এগুলি জিয়া মাতুয়েকের বইতে আচ্ছাদিত।

এগুলি হল অনুর্বর উপরিলাভ আছে কি এ। শুভকামনা!

— বিজয় ডি
সূত্র

কি দুর্দান্ত তালিকা!

— ডেভ ক্লার্ক

24

ডোমেন থিওরি প্রকৃতিতে অত্যন্ত টপোলজিক্যাল, এবং টপোলজির এক-অফ অ্যাপ্লিকেশন হওয়ার কারণে এটি টপোলজির নিজস্ব সাবফিল্ড কমবেশি কম। প্রোগ্রামিং ভাষার বিশেষত ক্রিয়ামূলক ভাষাগুলির ডেনোট্যাশনাল শব্দার্থবিজ্ঞানের ক্ষেত্রে এর প্রয়োগ কম্পিউটার কম্পিউটার বিজ্ঞানের টপোলজির অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ অ্যাপ্লিকেশন। মানগুলি (ফাংশন সহ )কে ডিসিপিও (নির্দেশিত-সম্পূর্ণ আংশিক আদেশ) বা এই জাতীয় কিছু কাঠামোর পদার্থে শব্দার্থবিজ্ঞান দেওয়া হয়। পুনরাবৃত্ত ডোমেন সমীকরণ যেমন এই সেটিংয়ে সমাধান করা যায়, টাইপযুক্ত ল্যাম্বদা জাতীয় প্রাণীকে শব্দার্থতত্ত্ব প্রদান করে $D\cong [D\to D]$ $\lambda$ -calculus। শব্দার্থকগুলি মৌলিকভাবে অর্ডার দ্বারা প্রদত্ত আনুমানিক ধারণার উপর ভিত্তি করে এবং সমীকরণগুলির নূন্যতম নির্দিষ্ট পয়েন্ট সমাধান এবং সমাধানগুলি সাধারণত উপস্থিত থাকার গ্যারান্টিযুক্ত হয়।

ডায়নোটেশনাল শব্দার্থবিদ্যা থেকে উদ্ভূত হ'ল বিমূর্ত ব্যাখ্যার সাথে সংযোগ এবং প্রোগ্রাম বিশ্লেষণ এবং যাচাইকরণ।

বর্তমান গবেষণায় সম্মতি এবং কোয়ান্টাম ভাষার জন্য ডায়নোটেশনাল শব্দার্থিক সরবরাহ অন্তর্ভুক্ত।

আব্রামস্কি এবং জং মূল ধারণাগুলির একটি দুর্দান্ত সমীক্ষা দিয়েছেন: ডোমেন থিওরি ।

— ডেভ ক্লার্ক
সূত্র

18

সংযুক্ত উপাদানগুলির সংখ্যার উপর সীমাবদ্ধতা এবং অর্ধ-বীজগণিত জাত এবং হাইপারপ্লেন বিন্যাসের (এবং তাদের পরিপূরক) সংখ্যক বেটি সংখ্যার উপর ভিত্তি করে বীজগণিতের গণনা এবং সিদ্ধান্ত গাছের জন্য কয়েকটি নিম্ন সীমার জন্য ব্যবহার করা হয়েছে। মাত্র কয়েকটি বড় রেফারেন্সের জন্য দেখুন:

মাইকেল বেন-অর, বীজগণিত গণনা গাছের জন্য নিম্ন সীমানা, STOC 1983, পৃষ্ঠা 80-86।

অ্যান্ড্রু চি-চিহ ইয়াও, সিদ্ধান্ত গাছের জটিলতা এবং বেটি নম্বর, জে.কম্পুট। সিস্টেম বিজ্ঞান। 55 (1997), নং। 1, অংশ 1, 36-43 (STOC 1994)।

অ্যান্ডারস জর্জনার এবং লাসজলো লোভাস, লিনিয়ার ডিসিশন ট্রি, সাবস্পেসের ব্যবস্থা এবং মোবিয়াস ফাংশন, জে আমের। ম্যাথ। SOC। 7 (1994), না। 3, 677-706।

ভিন্ন তবে কিছুটা সম্পর্কিত শিরাতে, ব্লাম-শুব-স্যামেল মডেলের মূল-সন্ধানের জটিলতা কমিয়ে আনার জন্য স্যামেল টপোলজিটি বেশ আকর্ষণীয় উপায়ে (বিশেষত, ব্রেড গ্রুপের কোহমোলজি) ব্যবহার করেছিলেন:

স্যামেল, এস। অ্যালগরিদমের টপোলজিতে, আইজে কমপ্লেক্সিটি, 3 (2): 81-89, 1987।

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

সেগুলি উল্লেখগুলি তুলনামূলকভাবে পুরানো বলে মনে হচ্ছে। গবেষণা চালিয়ে যাওয়ার ধারাবাহিকতা রয়েছে নাকি এগুলি মোটামুটি এক-অফ ফলাফল ছিল?

— মার্ক রিটব্ল্যাট

ঠিক আছে, আমি তাদের এক-অফ বলব না, যেহেতু এই কৌশলগুলি ব্যবহার করে প্রচুর ফলাফল ছিল। আমি মনে করি আরও আধুনিক ফলাফলগুলি (গত দশক থেকে বলা হয়েছে) হয় সম্পূর্ণ ভিন্ন কৌশল ব্যবহার করে, বা তারা টপোলজিক্যাল দিকের চেয়ে আধিক-বীজগণিত জ্যামিতি দিকটি বেশি ব্যবহার করে।

— জোশুয়া গ্রাচো

(মার্কের প্রশ্নে

— সামলে

18

গণনীয় বিশ্লেষণ এবং উপর computability । $2^{\omega}$

এটি ডেভের উত্তর এবং ডোমেন তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত। এখানে মূল যুক্তি হ'ল কম্পিউটারিয়তা স্থানীয় ক্রিয়াকলাপ এবং সীমাবদ্ধ পর্যবেক্ষণের ভিত্তিতে অন্তর্নিহিত । আপনি টপোলজির একটি পরিমার্জনীয় ধারণা হিসাবে গণ্যতার কথা ভাবতে পারেন। সবচেয়ে স্পষ্ট উদাহরণ হ'ল:

সমস্ত (ওরাকল টিউরিং) গণনাযোগ্য ফাংশন অবিচ্ছিন্ন। অন্যদিকে, প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন একটি উপযুক্ত ওরাকল দিয়ে ওরাকল টিউরিং গণনাযোগ্য।

ক্লাউস ওয়েইরাউচের বই "কম্পিউটেবল অ্যানালাইসিস" তে আপনি আরও খুঁজে পেতে পারেন। আপনি স্টিভেন ভিকার্সের "টপোলজি উইথ লজিক" নামে একটি দুর্দান্ত বইটিও একবার দেখতে চাইতে পারেন।

— Kaveh
সূত্র

15

আপনার জরিপের জন্য প্রাসঙ্গিক হতে পারে এমন আরও দুটি কাগজপত্র ...

এম। গেহর্ক, এস গ্রেগ্রিফ, জে.ই. পিন, স্বীকৃতির একটি টপোলজিকাল পদ্ধতি, আইসিএএলপি 2010, দ্বিতীয় খণ্ড, কম্পিউটার বিজ্ঞানে বক্তৃতা নোট 6199, স্প্রঞ্জার ভার্লাগ, (2010), 151-162।

এম। গেহর্ক, এস গ্রেগ্রিফ, জে.ই. পিন, দ্বৈততা এবং নিয়মিত ভাষার ইক্যুয়েশনাল তত্ত্ব, আইসিএলপি ২০০৮ এর সেরা কাগজ পুরষ্কার, ট্র্যাক বি, আইসিএএলপি ২০০৮, দ্বিতীয় খণ্ড, কম্পিউটার সায়েন্সে লেকচার নোটস 5126, স্প্রঞ্জার ভার্লাগ, (২০০)), 246-257 5

— জিন-এরিক পিন
সূত্র

3

স্বাগত! আমি আপনার জরিপ নিবন্ধটি "অটোমেটা থিওরিতে প্রফিট পদ্ধতি" উপভোগ করেছি।

— নীল কৃষ্ণস্বামী

14

আন্ডেরা-রোজেনবার্গ-কার্প অনুমানের জন্য কানসার অনুমান এবং কান / সাকস / স্টুর্তেভ্যান্ট প্রমাণটি ভুলে যাবেন না।

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র

14

সেন্সর নেটওয়ার্ক এবং রোবোটিকের মতো স্টাফগুলিতে টপোলজি প্রয়োগ করে রবার্ট ঘোস্টের উল্লিখিত কাজটি আগে দেখা যায়নি ইলিনয়তে কিন্তু এখন ইউ পেন-এ। এখানে একটি সুন্দর সাক্ষাত্কার।

ডেটা বিশ্লেষণে টপোলজি প্রয়োগের ক্ষেত্রে গুনার কার্লসন এট আল এর কাজের সাথেও খুব সম্পর্কিত ।

সম্ভবত STOC / FOCS টিসিএস নয়, তবে অবশ্যই কম্পিউটার বিজ্ঞান।

— মুগজি রিউবাংগীরা
সূত্র

13

সম্মতি এবং মডেলিং সমবর্তী গণনাগুলি বোঝার তত্ত্বগুলি টপোলজিকভাবে ভালভাবে বোঝা যায়। পূর্ববর্তী উত্তরে উল্লিখিত অ্যাসিঙ্ক কম্পিউটারের শীর্ষস্থানীয় কাঠামোর বিষয়ে হার্লিহী ও শভিতের বিখ্যাত কাজ ছাড়াও- এরিক গাবল্ট জ্যামিতির সাথে মডেলিং সম্মতিতে কাজ করেছেন এবং স্ট্যানফোর্ড কনকুরেন্সি গ্রুপে সম্মিলনের জন্য চ স্পেস প্রয়োগের ক্ষেত্রে প্র্যাটের কাজও আকর্ষণীয় is যদিও আমি তাদের কাজের সাথে পরিচিত নই।

— kryptos
সূত্র

12

কেতায়েভ দ্বারা সমস্ত কাজ শুরু হয়েছিল একটি ফল্ট সহনশীল কোয়ান্টাম কম্পিউটারের টপোলজিকাল পদ্ধতির উপর। দেখুন Kitaev মূল কাগজ , উদাহরণস্বরূপ, জন Preskill বা বক্তৃতা নোট ।

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো
সূত্র

12

এখনও কেউ নির্দেশিত বীজগণিত টপোলজির কথা উল্লেখ করেনি , যা প্রকৃতপক্ষে একযোগের অধ্যয়নের জন্য উপযুক্ত বীজগণিত টপোলজিকাল সরঞ্জামবাক্স সরবরাহ করার জন্য তৈরি হয়েছিল।

গণনা তত্ত্বের বিষয়গুলিতে বেশ কয়েকটি নিম্ন মাত্রিক টপোলজিকাল পন্থাও রয়েছে, যা মোটামুটি নতুন:

ব্রেড তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে দোষ-সহনশীল যেকোনিক কোয়ান্টাম গণনার বিভিন্ন পন্থা। যেমন দেখুন এখানে এবং এখানে । অ্যাডিয়াব্যাটিক কোয়ান্টাম কম্পিউটেশনের নেটওয়ার্কগুলিও এখানে ।
ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসের জন্য ডায়াগ্রাম্যাটিক টপোলজি-ভিত্তিক আনুষ্ঠানিকতা (যেমন এখানে , পৃষ্ঠা 46-48, এবং এখানে ) এবং মিলনারের পাই পাই ক্যালকুলাসের জন্য ( এখানে )।
মডেল পুনরাবৃত্তি এবং মার্কভ চেইনগুলিতে রঙিন টাঙ্গলের সংমিশ্রণ ব্যবহার করে। যেমন দেখুন এখানে এবং এখানে । প্রকৃতপক্ষে এটি প্রমাণিত (অপ্রকাশিত) যে কোনও টুরিং মেশিন গণনা এবং যে কোনও পুনরাবৃত্ত প্রথম অর্ডার নিউরাল নেটওয়ার্ক এইভাবে মডেল করা যায়।
কোয়ান্টাম গণনার জন্য একটি উচ্চতর বিভাগীয় তাত্ত্বিক আনুষ্ঠানিকতা রয়েছে যেখানে টপোলজিকাল ডায়াগ্রামগুলি গণনাকে উপস্থাপন করে এবং টপোলজিক্যালি-সমতুল্য চিত্রগুলি অভিন্ন গণনীয় সামগ্রী সহ বিভিন্ন পদ্ধতি উপস্থাপন করে। এখানে দেখুন ।

— ড্যানিয়েল মোসকোভিচ
সূত্র

11

মেট্রিক এম্বেডিংগুলিতে কিছু অ্যাপ্লিকেশন।

মাতৌসেকের এই বইটি দেখুন: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

এই কাগজপত্রগুলি পরীক্ষা করে দেখুন:

দ্বি-লিপস্টিৎসকে নিম্ন-মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্পেসে এম্বেডিংস, জে মাতোসেক (১৯৯০) (তিনি নিম্ন সীমা প্রমাণের জন্য ভ্যান কাম্পেন তত্ত্বটি ব্যবহার করেছেন)
আর ডি, জে মাতোসেক এবং এ সিডিরোপল্লোসে মেট্রিক এম্বেডিংয়ের জন্য অপ্রয়োজনীয়তা

— Zouzias
সূত্র

10

এই বইটি পড়ুন:

এর সংরক্ষণাগারভুক্ত ওয়েবপৃষ্ঠাটি দেখুন

— rhl
সূত্র

আমি জানি না যে কম্পিউটেশনাল টপোলজি আসলেই সে খুঁজছিল কিনা। গণ্য টপোলজির বাইরে কি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে?

— মার্ক রিটব্ল্যাট

8

Ummm। হ্যাঁ. আফ্রার বইটি পরিষ্কারভাবে পৃষ্ঠের পুনর্গঠন এবং টপোলজিকাল শব্দদ্বার অপসারণ (যার মধ্যে কম্পিউটার গ্রাফিক্সে অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে) নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে, তবে উচ্চ-মাত্রিক ডেটা বিশ্লেষণ, বহুবিধ শিক্ষা, কম্পিউটার ভিশন, চিত্র প্রক্রিয়াকরণ, মাত্রিকতা হ্রাস, তথ্য পুনরুদ্ধার, গতিতে গণ্য টপোলজির প্রয়োগ রয়েছে পরিকল্পনা ইত্যাদি ইত্যাদি

— জেফি

8

এই বইটি পরীক্ষা করুন, গণনা সংক্রান্ত জটিলতা: একটি পরিমাণগত দৃষ্টিভঙ্গি, এটি রিসোর্স-সীমাবদ্ধ টপোলজিকাল সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করে কিছু জটিলতার শ্রেণীর আকার অধ্যয়ন করে।

$P$ $NP$ $P \ne NP$ $NP-P$ $NP$ $NP-P$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি
সূত্র

4

আসলে, পি-মেজার এবং পি-বিভাগ (যা তুরস্কিস্তানি উল্লেখ করছে) নিয়ে প্রচুর কাজ হয়েছে। জ্যাক লুটজ এই ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন এবং আপনি সহ-লেখকদের লিঙ্ক এবং ফরোয়ার্ড রেফারেন্সগুলি অনুসরণ করে তাকে সন্ধান করে এক টন কাগজপত্র পেতে পারেন।

— জোশুয়া গ্রাচো