লিনিয়ার এক্সটেনশন গ্রাফের জন্য ডিগ্রি সেট করে

একটি রৈখিক এক্সটেনশন একটি poset এর এর উপাদানে একটি রৈখিক অর্ডার , যেমন যে মধ্যে বোঝা মধ্যে সবার জন্য । $L$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $L$ $x,y\in\mathcal{P}$

একটি রৈখিক এক্সটেনশন গ্রাফ একটি poset, রৈখিক এক্সটেনশন সেটে এসে গ্রাফ যেখানে দুই রৈখিক এক্সটেনশন সংলগ্ন হয় ঠিক যদি তারা দ্বি FF উপাদান এক সংলগ্ন swap 'র মধ্যে Er।

নীচের ছবিতে পোসেটটি পোসেট নামে পরিচিত , এবং এর লিনিয়ার এক্সটেনশন গ্রাফ রয়েছে যেখানে । $N$ $a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

বিকল্প পাঠ (এই চিত্রটি কাজ থেকে নেওয়া হয়েছে ।)

আপনি যখন লিনিয়ার এক্সটেনশন গ্রাফগুলি (এলইজি) অধ্যয়ন করেন তখন আপনি একটি ধারণা (অনুমান) নিয়ে আসতে পারেন যে যদি - একটি এলইজি -র সর্বাধিক ডিগ্রি, ta - শ্রদ্ধেয়, ন্যূনতম ডিগ্রি, তবে কোনও এলইগির ডিগ্রি সেটটি এবং তাদের মধ্যে প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, আসুন একটি পোসেট গ্রহণ করা যাক শেভ্রন নামে পরিচিত, তারপরে EG এবং সাথে তার LEG L in এবং এছাড়াও অনুসারে আমাদের অনুমানের জন্য, 4 এবং 3 ডিগ্রি সহ উল্লম্বগুলি গ্রাফটিতে থাকে। সুতরাং, প্রশ্নটি আমরা এই অনুমানটিকে প্রমাণ বা প্রমাণ করতে পারি? $\Delta$ $\delta$ $\Delta,\delta$ $\mathcal{G}$ $\Delta(\mathcal{G})=5$ $\delta(\mathcal{G})=2$

এলইজি সম্পর্কে এবং তারা কীভাবে দেখতে লাগে সে সম্পর্কে ম্যারিকে ম্যাসো গবেষণামূলক প্রবন্ধে এখানে পড়তে পারেন । শেভ্রন এবং এর এলইজি গবেষণার 23 পৃষ্ঠায় দেখা যাবে।

ডিগ্রি সেটগুলিতে কাপুর এসএফ এট আল এর ক্লাসিকাল পেপার " গ্রাফের জন্য ডিগ্রি সেট " রয়েছে।

graph-theory co.combinatorics

— ওলেকসান্ডার বান্দারেঙ্কো
সূত্র

লিনিয়ার এক্সটেনশন গ্রাফ কি? এর অর্থ হল, আপনি কি সংজ্ঞাটিকে প্রশ্নটিতে ভাঁজ করতে পারেন যাতে এটি আরও কিছুটা স্বাবলম্বিত হয়?

— সুরেশ ভেঙ্কট

এই অনুমান সুন্দর। অনুমানের জন্য কোনও অনুপ্রেরণা বা পরিচিত অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে? (অন্য কোনও অনুমানকে হ্রাস বলুন))

— সিসিয়ান-চিহ চাং 之之

@ হুসেন-চিহ চ্যাং প্রেরণাটি এই অনুমানের জন্য যখন এটি প্রমাণিত হয় তখন আমরা নির্দিষ্ট প্রদত্ত রৈখিক এক্সটেনশন গ্রাফের সর্বাধিক এবং ন্যূনতম ডিগ্রি জেনে মাত্র সেট ডিগ্রির বিষয়বস্তু জানব।

— ওলেকসান্ডার বান্দারেঙ্কো

আমি মনে করি এটি গতকালই প্রমাণ করেছি। এইভাবে প্রমাণের স্কেচটি এখানে যায়। প্রথমে নিম্নলিখিত লিমা প্রমাণিত হয়।

লেমা । যাক একটি আংশিক আদেশ, - - তার রৈখিক এক্সটেনশন গ্রাফ এবং - দুই সংলগ্ন ছেদচিহ্ন । তারপরে । $\mathcal{P}$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $G(\mathcal{P})$ $|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

প্রমাণের স্কেচ।

একই সাথে, হ'ল এর লিনিয়ার এক্সটেনশনগুলি যেগুলির মধ্যে একটি, বলে , সংলগ্ন উপাদানগুলির একটি সংক্রমণ (সংলগ্ন স্থানান্তর) দ্বারা রূপান্তরিত হতে পারে । এটি দেখতে সহজেই ( উপরের চিত্র থেকে উদাহরণস্বরূপ, এবং বিবেচনা করুন ) যে কোনও লিনিয়ার এক্সটেনশনের যে কোনও উপাদান কমপক্ষে দুটিতে অতুলনীয় সংলগ্ন উপাদানের সংখ্যা পরিবর্তন করতে পারে: $v_1,v_2$ $\mathcal{P}$ $v_1$ $v_2$ $d$ $e$ $x_i$ $L=x_1x_2\dots x_n$

যদি একেবারে স্থানান্তরিত করা যায় তবে তার প্রতিবেশী কমপক্ষে একটি প্রতিবেশী, বলুন এটি অতুলনীয় ( , যদি তুলনীয় হয় তবে )। দ্রষ্টব্য: স্থানান্তরের আগে আমাদের কাছে এবং তাত্ক্ষণিক পরে - $x_i$ $x_{i+1}$ $x_i\parallel x_{i+1}$ $x_i\perp x_{i+1}$ $L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ । $L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
আমাদের উচিত incomparabilities সংখ্যা (মধ্যে প্রান্তবিন্দু হিসাবে রৈখিক এক্সটেনশন ডিগ্রী যাক মধ্যে) পরিবর্তন হতে পারে। আমরা প্রথমে এই জুটিটি । জন্য একই উপসংহার প্রতিসাম্য দ্বারা অনুসরণ করে। $G(\mathcal{P})$ $L$ $x_ix_{i+2}$ $x_{i-1}x_{i+1}$

যদি , তবে পরিবর্তন হয় না। যদি , তবে $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$ $x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ বৃদ্ধি পায় (হ্রাস) the প্রমাণের স্কেচটি সম্পন্ন হয়েছে। $deg(L)$

উপপাদ্য । যাক একটি রৈখিক এক্সটেনশন গ্রাফ -। তাহলে রয়েছে ছেদচিহ্ন সঙ্গে , তারপর আছে যেমন যে $G(\mathcal{P})$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $v_3\in G(\mathcal{P})$ । $deg(v_3)=k+1$

প্রমাণের স্কেচ।

Suppose $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ are adjacent in $G(\mathcal{P})$ , otherwise any vertex with degree $k$ in $G(\mathcal{P})$ is adjacent with some vertex if such exists with degree $k+1$ .

Let us consider the case where we have $L_1,L_2$ from the previous lemma such that

এবং

x_{i + 1} ⊥ x_{i + 2} \land x_{i} ∥ x_{i + 2},

$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$

x_{i - 1} ⊥ x_{i} \land x_{i - 1} ∥ x_{i + 1},

$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$

এভাবে । $deg(L_2)=deg(L_1)+2$

Let us now start transpose $x_{i+1}$ in the direction of $x_1$ . It is easy to see that eventually we could stop at the position where

x_{j} ⊥ x_{i + 1} \land x_{i + 1} ∥ x_{j + 1},

$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$ for some

j < i - 1

$j<i-1$ . The sketch of the proof is completed.

— Oleksandr Bondarenko
সূত্র

In the proof of the theorem, I don't follow the first sentence. Regarding notation, I've usually seen

x \sim y

$x \sim y$ used to denote that

x

$x$ and

y

$y$ are comparable.

— András Salamon

@András Salamon I added some clarification (degrees of

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$ ) to the first sentence of the theorem proof.

— Oleksandr Bondarenko

@András Salamon

x ⊥ y

$x\perp y$ is used in the same manner, e.g., here: smartech.gatech.edu/bitstream/1853/33810/1/…

— Oleksandr Bondarenko