নির্দেশিত গ্রাফগুলির প্রচ্ছদ সময়

কোনও গ্রাফে এলোমেলো পদচারনা দেওয়া কভার সময়টি প্রথমবারের মতো (ধাপের প্রত্যাশিত সংখ্যা) যে প্রতিটি হাঁটাচটি দ্বারা প্রতিটি ভার্টেক্স আঘাত (আচ্ছাদিত) হয়েছে। সংযুক্ত পুনর্নির্দেশিত গ্রাফগুলির জন্য, কভারের সময়টি দ্বারা উপরের সীমানা হিসাবে পরিচিত । কভার টাইম এক্সফেনশিয়াল সহ দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত ডিজিট্রাফ রয়েছে । এর উদাহরণ, একটি দিকচক্র , এবং প্রান্তগুলি , শীর্ষে । শীর্ষস্থানীয় থেকে শুরু করে , ভার্টেক্স পৌঁছানোর জন্য এলোমেলো হাঁটার প্রত্যাশিত সময়টি হ'ল । আমার দুটি প্রশ্ন আছে: $O(n^3)$ $n$ $(1, 2, ..., n, 1)$ $(j, 1)$ $j = 2, ..., n − 1$ $1$ $n$ $\Omega(2^n)$

1) বহিরাগত কভার টাইম সহ নির্দেশিত গ্রাফগুলির জ্ঞাত শ্রেণিগুলি কী কী? এই শ্রেণীর সংশ্লিষ্ট অন্তিক ম্যাট্রিক্স (বলতে বৈশিষ্ট্য দ্বারা গ্রাফ-তত্ত্বীয় বৈশিষ্ট্যাবলী (বা) দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে $A$ )। উদাহরণস্বরূপ, যদি $A$ প্রতিসম হয় তবে গ্রাফের কভারের সময়টি বহুপদী om

2) আরও সাধারণ উদাহরণ রয়েছে (উপরে উল্লিখিত চক্র উদাহরণের মতো) যেখানে কভার সময়টি তাত্পর্যপূর্ণ?

3) কোয়াস্টি-বহু-বহির্ভুত কভার টাইমের উদাহরণ রয়েছে?

আমি এই বিষয়টিতে ভাল জরিপ / বইয়ের জন্য কোনও পয়েন্টারকে প্রশংসা করব।

— শিব কিন্তালী
সূত্র

তোমার চক্র উদাহরণ সম্ভবত নির্দেশ ঘের সঙ্গে গ্রাফ থেকে সামান্য সাধারণ যেতে পারে একটি সূচকীয় কভার সময়ের সাথে সাথে ।

g

$g$

2^{Ω (n / g)}

$2^{\Omega(n/g)}$

— ডেরিক স্টোলি

এছাড়াও, প্রসারণকারী গ্রাফগুলির দ্রুত কভার সময় থাকতে পারে।

— ডেরিক স্টোলি

মিহাইলের কাগজটিতে বর্ণনা করা হয়েছে যে নিয়মিত ডিজিট্রাফ এবং এমনকি সাধারণ মার্কভ চেইনের কনভার্জেনশন হারগুলি কীভাবে চালনার ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ করা যায়। এটি আবরণ সময় আবদ্ধ করতেও ব্যবহৃত হতে পারে (আমার ধারণা)। দেখুন: ieeexplore.ieee.org/iel2/260/2317/00063529.pdf

— Zeyu

@ জায়েউ, একটি উত্তর হওয়া উচিত!

— সুরেশ ভেঙ্কট

"নির্দেশক গ্রাফগুলির জন্য চেপিলিয়ান এবং চেজার অসাম্য" সম্পর্কিত ফ্যান চুংয়ের একটি কাগজ সম্ভবত প্রাসঙ্গিক। এটিতে ফিলের পূর্ববর্তী কাজের কিছু পয়েন্টার রয়েছে। springerlink.com/content/pn149711511373w9

— চন্দ্র Chekuri

উত্তর:

~~স্পষ্টতই বহুবর্ষীয় মিশ্রণের সময় বহুপদী কাভারের সময় বোঝায়।~~ (ভাল, না সাধারণ। আমরা নিশ্চল সম্ভাব্যতা অন্তত প্রয়োজন প্রতিটি প্রান্তবিন্দু এ।) সুতরাং Mihail এর কাগজ পরীক্ষা সঁচালন এবং মার্কভ অভিসৃতি চেইন-একটি expanders এর সংযুক্তিকরণ চিকিত্সা যা নিয়মিত দ্রুত মিক্সিং প্রমাণ পরিচালনার উপর ভিত্তি করে নির্দেশিত গ্রাফ এবং সাধারণ মার্কভ চেইন। $1/poly(n)$

এছাড়াও রিউনগোল্ড, ট্রেভিসান এবং বধন দ্বারা নিয়মিত ডিজিট্রাফগুলি এবং আরএল বনাম এল সমস্যা সম্পর্কিত কাগজ সিউডোরান্ডম হাঁটছেন । মিহাইলের কাজ অনুসরণ করছেন তারা সংজ্ঞায়িত পরামিতি যা সমতূল্য , পরম মান দ্বিতীয় বৃহত্তম eigenvalue যখন গ্রাফ সময় উলটাকর এবং সাধারণ মার্কভ চেইন জন্য দেহাবশেষ ভালভাবে সংজ্ঞায়িত। এই পরামিতিটি মিশ্রণের সময়কে আবদ্ধ করতে ব্যবহৃত হয় । $\lambda_\pi(G)$ $\lambda_2(G)$ $G$ $G$

— Zeyu
সূত্র

মিক্সিং বারের জন্য, তথাকথিত পোনারে ধ্রুবক ব্যবহার করে (যা অপরিবর্তনীয় সেটিংয়ের বর্ণালি ফাঁকের একটি সাধারণীকরণ) ব্যবহার করে সম্পর্কিত কাঠামোর কাজও রয়েছে। লরেন্ট Saloff অনুরোধকে কিছু নোট (হয়েছে springerlink.com/content/27114435w5149665 ) এই কাঠামোর মধ্যে মার্কভ চেইনস চিকিত্সা। তেতালি এবং মন্টিনিগ্রো র একটি মনোগ্রাফ ( অনুষদ.আমল.ইডু / রমনটেনিগ্রো / রিসার্চ / টিটিএস008- জার্নাল.পিডিএফ )ও রয়েছে। অবশ্যই, এটি মিক্সিং বার সম্পর্কে, তবে জেইয়ের নির্দেশিত কভার টাইম বাউন্ডিংয়ের জন্য কার্যকর হতে পারে।

— পীযুষ

কলিন কুপার এবং অ্যালান ফ্রিজের এলোমেলো ডিজিট্রাফগুলির প্রসঙ্গে ফলাফলের একটি সেট রয়েছে যা আগ্রহী হতে পারে। সেগুলি অনির্দিষ্ট নির্দেশ গ্রাফে একটি সহজ এলোমেলো হাটা বৈশিষ্ট্য অধ্যয়ন যখন । তারা প্রমাণ করেছে যে: $D_{n,p}$ $np=d \log n, d>1$

জন্য , whp প্রচ্ছদে সময় থেকে asymptotic হয় । তাহলে সঙ্গে , কভার সময় মধ্যে asymptotic হয় । $d > 1$ $D_{n,p}$ $d \log (d/(d-1)) n \log n$ $d=d(n) \rightarrow \infty$ $n$ $n \log n$
যদি এবং তবে WHP । $p = d \log n/n$ $d>1$ $C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$
যাক দিন মধ্যে সমাধান বোঝাতে এর । যাক এর দৈত্য উপাদান বলে । তারপরে WHP $d>1$ $x$ $(0,1)$ $x = 1-e^{-dx}$ $X_g$ $G_{n,p},p=d/n$ । $C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$
তাহলে একটি ধ্রুবক এবং একটি র্যান্ডম উল্লেখ করে প্রান্তবিন্দু সেটে -regular গ্রাফ সঙ্গে তারপর whp $r \geq 3$ $G_{n,r}$ $r$ $[n]$ $r \geq 3$ । $C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$
যদি একটি ধ্রুবক হয় এবং গড় ডিগ্রি পছন্দনীয় সংযুক্তি গ্রাফকে নির্দেশ করে তবে WHP $m \geq 2$ $G_m$ $2m$ । $C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$
তাহলে এবং মধ্যে একটি র্যান্ডম জ্যামিতিক গ্রাফ হয় বলের আকার যেমন একটি প্রান্তবিন্দু প্রত্যাশিত মাত্রায় মধ্যে asymptotic যে , তারপর whp $k \geq 3$ $G_{r,k}$ $\mathcal{R}^k$ $r$ $d \log n$ । $C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$

দেখুন কুপার, সি, & মোটা, এ নিশ্চল বিতরণ এবং র্যান্ডম digraphs উপর র্যান্ডম পেশার সময় কভার। সম্মিলিত তত্ত্ব জার্নাল, সিরিজ বি (2011)।

— Juho
সূত্র