সাবক্যাড্র্যাটিক সময়ে নিয়মিত ভাষার ছেদ ফাঁকা করার সিদ্ধান্ত নেওয়া

যাক NFAs কর্তৃক প্রদত্ত দুই নিয়মিত ভাষায় হতে ইনপুট হিসাবে। $L_1,L_2$ $M_1,M_2$

ধরে আমরা কিনা তা যাচাই করতে চাই । এটি স্পষ্টভাবে একটি চতুর্ভুজীয় অ্যালগরিদম দ্বারা সম্পন্ন করা যেতে পারে যা এর পণ্য অটোমেটনের গণনা করে তবে আমি আরও ভাবছিলাম যে আরও কার্যকর কিছু জানা আছে কিনা। $L_1\cap L_2\neq \emptyset$ $M_1,M_2$

কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য কোনও অ্যালগরিদম আছে ? দ্রুততম অ্যালগরিদম কী? $o(n^2)$ $L_1\cap L_2\neq \emptyset$

— আর বি
সূত্র

কারও ভাল ধারণা থাকলে দয়া করে আমাকে জানান, তবে বর্তমানে এটি একটি উন্মুক্ত সমস্যা। আপনি যদি লিনিয়ার সময় বলতে এই সমস্যাটি সমাধান করতে পারেন, তবে মূলত কোনও নন-ডিস্ট্রিমেন্টিক মেশিনের দ্বারা কেবলমাত্র মেমরির n বিট ব্যবহার করে সমাধান করা যায় এমন সমস্যা

মধ্যে নির্ধারিতভাবে সমাধান করা যেতে পারে

সময়।

2^{\frac{n}{2}}

$2^{\frac{n}{2}}$

— মাইকেল ওয়েহর

আমি মনে করি এটি এখনও যে কোনও উপ-চতুষ্কোণের জন্য উন্মুক্ত। আরও কিছু তথ্য: rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/…

— মাইকেল ওয়েহর

সুতরাং উদাহরণস্বরূপ (মাইকেল এর মন্তব্যের উপর ভিত্তি করে), শক্তিশালী তাত্পর্যপূর্ণ সময় অনুমানটি সূচিত করে যে প্রকাশক 2 হওয়া উচিত 2. আমি মনে করি এটি প্রকাশিত সময় অনুমান থেকেও প্রমাণিত হতে পারে ...

— রায়ান উইলিয়ামস

আর বি: মনে করুন আপনি আকারের দুটি DFAs শূন্যতা জন্য পরীক্ষা করতে পারেন

সময়

সঙ্গে

। এখন, আপনি যদি আছে

আকারের DFAs

, আপনাকে প্রথমে গুণফল নির্মাণ করতে পারেন

DFAs এবং অবশিষ্ট এর

DFAs। তারপরে, শূন্যতার জন্য পরীক্ষায় সময়

n

$n$

n^{1 + ε}

$n^{1+\varepsilon}$

ε < 1

$\varepsilon < 1$

k

$k$

n

$n$

k / 2

$k/2$

k / 2

$k/2$

যা

চেয়ে ভাল। ভিজেএন: এই পুরস্কারপ্রাপ্ত পেপারটি @ মিশেলওহর লিখেছেন যারা এই থ্রেডে মন্তব্য করেছিলেন। মাইকেল, আপনার যদি সময় থাকে তবে সম্ভবত আপনি একটি উত্তর জমা দিতে পারেন!

(n^{k / 2})^{1 + ε} = n^{\frac{1}{2} k + \frac{ε}{2} k}

$(n^{k/2})^{1+\varepsilon} = n^{\frac{1}{2}k + \frac{\varepsilon}{2}k}$

n^{k}

$n^k$

— মাইকেল ব্লন্ডিন

@ রায়ানউইলিয়ামস হাই রায়ান, আপনাকে কী এমন ভাবতে পরিচালিত করে যে দুর্বল ঘনঘটিত সময়ের অনুমানটি বোঝায় যে আমরা দুটি ডিএফএর জন্য দ্রুত ছেদটি ফাঁকা সমাধান করতে পারি না? অন্য কেউ আমার কাছে একবারও এটি প্রস্তাব করেছিলেন। :)

— মাইকেল ওয়েহর

সরল উত্তর : যদি আরও কিছু কার্যকর অ্যালগরিদম উপস্থিত থাকে যা সময়ে কিছু , তবে শক্তিশালী ঘনিষ্ঠ সময় অনুমানটি খণ্ডন করা হবে। $O(n^{\delta})$ $\delta < 2$

আমরা একটি শক্তিশালী উপপাদ্য প্রমাণ করব এবং তারপরে সহজ উত্তরটি অনুসরণ করবে।

উপপাদ্য : যদি আমরা সময়ের দুটি ডিএফএ'র জন্য ছেদহীন শূন্যতার সমস্যাটি সমাধান করতে পারি , তবে কেবলমাত্র মেমরির n টি বিট ব্যবহার করে অ-নিরস্তরভাবে সমাধানযোগ্য যে কোনও সমস্যা হ'ল in সমাধানযোগ্য সময়। $O(n^{\delta})$ $poly(n)\cdot2^{(\delta n/2)}$

ন্যায়সঙ্গত : ধরুন যে আমরা দুটি ডিএফএ-এর জন্য সময়ে শূন্যতার সমাধান করতে পারি । কেবলমাত্র একটি পঠন ইনপুট টেপ সহ একটি অ-নিয়ন্ত্রনমূলক ট্যুরিং মেশিন এমকে একটি পঠন / লেখার জন্য বাইনারি ওয়ার্ক টেপ দেওয়া হোক। দৈর্ঘ্য এন এর একটি ইনপুট স্ট্রিং দেওয়া যাক। মনে করুন যে এম বাইনারি ওয়ার্ক টেপে মেমরির n বিটের বেশি অ্যাক্সেস করতে পারে না। $O(n^{\delta})$

ইনপুট এক্স এ এম এর একটি গণনা কনফিগারেশনের একটি সীমাবদ্ধ তালিকা দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে। প্রতিটি কনফিগারেশন একটি রাজ্য, ইনপুট টেপ উপর একটি অবস্থান, কাজের টেপ উপর একটি অবস্থান এবং কাজের টেপ প্রতিনিধিত্ব করে মেমরি এর n বিট পর্যন্ত গঠিত।

এখন, বিবেচনা করুন যে কাজের টেপটি অর্ধেকভাবে বিভক্ত হয়েছিল। অন্য কথায়, আমাদের একটি বাম বিভাগ রয়েছে কোষ এবংডান বিভাগ $\frac{n}{2}$ কোষ। প্রতিটি কনফিগারেশন একটি বাম টুকরা এবং একটি ডান টুকরা টুকরা করা যেতে পারে। বাম টুকরাটিতে রাজ্য, ইনপুট টেপের অবস্থান, কাজের টেপের অবস্থান এবং $\frac{n}{2}$ বাম বিভাগ থেকে বিট। ডান টুকরাটিতে রাজ্য, ইনপুট টেপের অবস্থান, কাজের টেপের অবস্থান এবং $\frac{n}{2}$ ডান বিভাগ থেকে বিট। $\frac{n}{2}$

এখন, আমরা একটি ডিএফএ যার রাজ্যগুলি বাম টুকরো এবং একটি ডিএফএ যার রাজ্যগুলি ডান টুকরা। বর্ণমালার অক্ষরগুলি হ'ল নির্দেশগুলি যা কোন রাজ্যে যেতে হবে, টেপ মাথাগুলি কীভাবে চলা উচিত এবং কীভাবে ওয়ার্ক টেপের সক্রিয় সেলটি পরিচালনা করতে হবে তা নির্দেশ করে। $D_1$ $D_2$

ধারণাটি হ'ল এবং ইনপুট এক্স-তে এম এর গণনার সাথে সম্পর্কিত নির্দেশের তালিকায় পড়ে এবং একসাথে এটি বৈধ এবং গ্রহণযোগ্য কিনা তা যাচাই করে। এবং উভয়ই টেপ হেডগুলি কোথায় তা বরাবরই একমত হবে কারণ সেই তথ্যটি তাদের ইনপুট চরিত্রগুলিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। সুতরাং, আমরা যাচাই করতে পারি যে ওয়ার্ক টেপের অবস্থানটি বাম টুকরোতে থাকে এবং নির্দেশাবলীর যথাযথ পদক্ষেপ থাকে এবং ডান টুকরোতে কখন যাচাই করে। $D_1$ $D_2$ $D_1$ $D_2$ $D_1$ $D_2$

মোট ইন, সর্বাধিক হয় রাজ্যের প্রতিটি DFA তে এবং সর্বাধিক স্বতন্ত্র বর্ণমালা অক্ষর। $poly(n) \cdot 2^{n/2}$ $poly(n)$

প্রাথমিক অনুমানের দ্বারা, এটি অনুসরণ করা হয় যে আমরা দুটি ডিএফএর সময়ে শূন্যতার শূন্যতা সমাধান করতে পারি । $poly(n) \cdot 2^{(\delta n /2)}$

আপনি এটি সহায়ক খুঁজে পেতে পারেন: https://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-tters-intersication-of-finite-automata/

সিএনএফ-স্যাট হ'ল মেমরির বিটগুলি যেখানে কে ভেরিয়েবলের সংখ্যা। পূর্ববর্তী নির্মাণটি দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যে আমরা যদি সময়ে দুটি ডিএফএ'র জন্য চৌরাস্তাটি অ শূন্যতার সমাধান করতে পারি, তবে আমরা সিএনএফ-স্যাট সমাধান করতে পারি সময়। সুতরাং, সহজ উত্তর ধরে। $k+O(\log(n))$ $O(n^{\delta})$ $poly(n) \cdot 2^{(\delta k/2)}$

মন্তব্য, সংশোধন, পরামর্শ, এবং প্রশ্ন স্বাগত জানানো হয়। :)

— মাইকেল ওয়েহার
সূত্র

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

k

$k$

k

$k$

(2 k - 2)

$(2k-2)$

k

$k$

N S p a c e (2 \cdot \log (n)) \subseteq D T i m e (n)

$NSpace(2 \cdot \log(n)) \subseteq DTime(n)$

N S p a c e (2 \cdot \log (n))

$NSpace(2 \cdot \log(n))$

2 \cdot \log (n)

$2\cdot \log(n)$ দ্বিমুখী পঠনযোগ্য কেবল ইনপুট টেপ এবং দ্বি-মুখী বাইনারি ওয়ার্ক টেপটি পড়ার / লেখার দ্বি-বিভাজনযুক্ত ট্যুরিং মেশিনের জন্য স্থান।

— মাইকেল ওয়েহর